Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи статистического анализа в строительстве. Корреляционный, регрессионный и факторный анализ. Учебно – методическое пособие
.pdf
21
2.2 Статистические оценки
X
),( xf
X
),( xf
X
},...,{},{
21 niВ
xxxnxх
X
),...,(
21
**
nnn
xxx
*
B
mx
*
min max
0.5( )m x x
*
max
0.75mx
*
n
)(
*
n
М
n
n
М )(
*
1)(
*
n
n
P
0
0)(
*
n
n
D
)(min)(
**
n
ef
n
DD
)(/)(
**
n
ef
nef
DDk
*
n
1)(
*
n
nef
k
Пусть распределение наблюдаемой случайной непрерывной величины
(признак генеральной совокупности) задаѐтся функцией плотности веро-
ятности
что вид функции
ций, а параметр
, где параметр или параметры распределения. Допустим,
известен или ограничен некоторым классом функ-
неизвестен и должен быть оценѐн по выборке
, где n – объѐм выборки.
Точечной статистической оценкой параметров распределения или ха-
рактеристик наблюдаемой случайной величины
называется построенная
по данным выборки объема n величина:
.
Например, статистическими оценками математического ожидания величины
могут быть такие оценки:
Оценка
является случайной величиной, т.к. зависит от случайной
,
или
.
выборки. Для того, чтобы оценки, получаемые по данным различных выбо-
рок соответствовали истинному значению параметра , оценка должна
удовлетворять следующим требованиям [8].
Оценка должна быть несмещенной, т.е. еѐ математическое ожидание
должно совпадать с истинным значением параметра для любого объѐма n
или хотя бы асимптотически несмещѐнной:
.
Оценка должна быть состоятельной, т.е. с ростом объѐма выборки
оценка должна сходиться по вероятности к истинному значению параметра:
для любого
.
Для состоятельности оценки достаточно выполнения следующего:
.
Построенная оценка для использования на практике должна быть эф-
фективной, т.е. еѐ дисперсия должна быть минимальной среди всех
возможных оценок при фиксированном объѐме выборки:
.
Коэффициент эффективности оценки
пень эффективности оценки
, если
показывает сте-
, то говорят об асим-
птотической эффективности оценки.
Отметим, что на практике не всегда удаѐтся удовлетворить всем перечисленным требованиям к оценке, но введѐнные свойства оценок позволяют
проранжировать имеющиеся оценки по их качеству.
22
Как пример рассмотрим оценки математического ожидания
mXM )(
dXD )(
*
B
mx
*
Â
dD
*
()M m m
0)/()(
*
ndmD
n
*
d
dd
n
n
dM
1
)(
*
0
1
)(
*
n
n
dD
*
.d
*2
1
Â
n
d D S
n
2*
Sd
ddM )(
*
2
S
S
*
n
*
(θ θ ε) γ
n
P
γ
**
nn
*
n
},1;{ nixх
iB
(,ζ)X N m
γγ
εε
ÂÂ
õ m õ
*
Â
mõ
1
( )/( / )
Ân
õ m S n t
1n
и дисперсии
наблюдаемой случайной величины Х.
Построим точечные оценки:
,
и рассмотрим их свойства.
Поскольку можно вычислить, что для оценки m* справедливо:
;
при
,
то из этого следует несмещѐнность и состоятельность оценки m*.
Рассматривая же оценку
Из чего следует состоятельность, но смещѐнность оценки
, можно получить что:
;
.
Смещѐность
оценки здесь легко может быть исправлена, если рассмотрим оценку:
.
Оценка
так как
является уже не только состоятельной, но и несмещѐнной,
. Величина
называется исправленной (несмещѐнной)
выборочной дисперсией, а величина
- исправленным среднеквадратиче-
ским выборочным отклонением (выборочный стандарт).
В отличие от точечных оценок типа
интервальные оценки за-
дают интервал значений, где оцениваемый параметр находится с заданной
вероятностью, т.е. это оценки типа
.
Надѐжностью оценки (доверительной вероятностью) называется веро-
ятность
, с которой оцениваемый параметр находится в интервале:
.
Полуширина доверительного интервала
соответствующей надѐжности
(нахождения по
величины
оценки случайной величины
. Для построения доверительного интервала
) необходимо знать закон распределения
.
Пусть в выборке
величина
c неизвестными параметрами распределения m и .
наблюдается нормальная случайная
называется точностью оценки,
Построим доверительный интервал для математического ожидания m:
принимая за точечную оценку m, величину
чина
нью свободы.
,
и учитывая, что вели-
имеет распределение Стьюдента с
степе-
23
Решение уравнения
( ε) γ
B
P x m
ε
()γ
//
Â
xm
Ð
S n S n
)( ttР
nSt /
γ
(1 γ, 1) . .2 (1 γ, 1)
î áð
t t n СТЬЮ ДЕН ТРАСП Õ n
SS
S
*
2
1
22
/)1(
nnS
2
)( SP
)
)1(
(
2
2
2
2
nS
Р
22
11
n
S
n
S
22
11
( , 1) 2. . ( , 1)
22
î áð
n ÕÈ Î ÁÐÏ Õ n
эквивалентно решению уравнения:
относительно
при заданном значении
, или
Его решение получим в виде
Стьюдента (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Двухсторонняя квантиль Стьюдента
Построим теперь доверительный интервал для среднеквадратического
отклонения
:
.
, где
двухсторонняя квантиль
Принимая за оценку
имеет
,
Решение уравнения
величину
-распределение с n - 1 степенью свободы.
относительно при заданном параметре
эквивалентно решению уравнения:
тогда получим его решение в виде
квадрат» квантилями (рис. 2.6).
.
и учитывая, что величина
,
, где величины
являются правосторонними «хи-
24
14,87
Â
õ
2
62.32S
95,0
7.89S
γ
. .2 (1 γ, 1) 2,042t ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐ Õ n
γ
2.042 7,89/ 31 2.894
2
1 γ
χ 2. . ( , 1) 49.98
2
ÕÈ Î ÁÐÏ Õ n
2
1 γ
χ 2. . ( , 1) 16.79
2
ÕÈ Î ÁÐÏ Õ n
31 1 31 1
6.305 7.89 ζ 7.89 10.546
49.98 16.74
),( xf
X
});,(~{
0
xfXH
X
Рис. 2.6. Двухсторонняя «хи-квадрат» квантиль
Пример. Наблюдается выборка полуденных температур в Мае объѐмом
n =31 со средним выборочным значением
сией
. Построить доверительные интервалы для неизвестного ма-
тематического ожидания m и среднеквадратического отклонения
дѐжности
.
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение
и несмещѐнной диспер-
при на-
.
Через обратное распределение Стьюдента находим
, тогда
и
тогда доверительный интервал для математического ожидания m будет:
14.87+2.894 < m <14.87+2.894 или 11.976< m <17.674.
Для построения доверительного интервала среднеквадратического от-
клонения через обратное распределение «Хи-квадрат» находим
, тогда:
.
2.3. Проверка статистических гипотез
Имея дело со случайными величинами, в различных областях челове-
ческой деятельности часто приходится высказывать предположения о виде
распределения случайной величины или о значениях еѐ параметров. Эти
предположения строятся с целью прогнозирования поведения случайной ве-
личины и принятия решений в условиях неопределѐнности.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде
распределения случайной величины
параметров распределения
или/и о значении неизвестных
:
– статистическая гипотеза.
25
Высказанная статистическая гипотеза должна быть проверена по ре-
{ ( , ); ;ζ}
B
H X N m m x S
)},({
0
xfXН
X
0
Н
1 2 3
, , ,..Í H H
Х
},...,{
21 nВ
xxxх
,Ê
)/(0Hkf
K
)/(jKHkf
В
х
()
í àá i
k k x
,Ê
kr
К
0í àá kr
k Ê Í
0í àá kr
k Ê Í
зультатам наблюдений (измерений) случайной величины [11], в результате
чего, гипотеза принимается или отвергается с определѐнной степенью риска
совершить ошибку. Примером статистической гипотезы может быть предпо-
ложение о том, что наблюдаемая в выборке случайная величина является
нормальной с определѐнными значениями параметров:
.
Выдвинутая статистическая гипотеза Н должна быть проверена. Как и в лю-
бой другой науке, критерием еѐ проверки является опыт, т.е. наблюдение
(измерение) случайной величины. Критерий проверки должен отвергать или
принимать гипотезу по результатам наблюдения. При этом могут быть совершены ошибки двух родов [6]:
1. Отвергнута верная гипотеза с вероятностью α,
2. Принята не верная гипотеза с вероятностью β.
Исключить эти ошибки полностью невозможно («не ошибается тот, кто ни-
чего не делает»), но их можно постараться минимизировать. Учитывая сказанное, при построении критерия проверки статистической гипотезы необходимо сначала задаться допустимым уровнем риска на совершение ошибки
1 рода, как наиболее значимой, а затем минимизировать ошибки 2 рода.
Пусть необходимо проверить гипотезу
основной гипотезы
тернативных гипотез
(«нулевой») рассмотрим ещѐ одну или несколько аль-
каждая из которых противоречит основной.
, помимо
Построим критерий, однозначно принимающий или отвергающий проверяемую гипотезу по полученной в наблюдении за случайной величиной
борке
объѐма n. Критерий проверки гипотезы состоит из
вы-
двух составляющих:
Во-первых, в качестве критерия принимается некоторая случайная ве-
личина
новной
тез
ляемы по наблюдаемой выборке
с известным распределением при условии справедливости ос-
и хотя бы частично известным для альтернативных гипо-
j=1, ..m. Кроме того, значения критерия должны быть вычис-
, т.е.
.
Во-вторых, строится решающее правило для критерия проверки, со-
гласно которому гипотеза будет приниматься или отвергаться. Для этого, назовем критической областью критерия те значения величины
рых гипотеза отвергается. Критическую область будем обозначать
при кото-
. То-
гда решающее правило критерия проверки будет следующим:
отвергается (по наблюдаемой выборке),
принимается (нет оснований отвергать гипотезу).
26
Точки значения критерия
,Ê
kr
К
kr
k
í àá
k
0
05,0
025,0
005,0
dxHkfKkP
kr
K
Kkr
)/()(
0
kr
k
j
0
H
j
H
j
K
jK
kr
dxHkf 1)/(
0
H
j
H
j
H
max)1(
j
где критическая область критерия проверки
отделяется от области принятия гипотезы, называются критическими
точками критерия
. Как построить критическую область критерия?
Принцип максимального правдоподобия утверждает, что наблюдаемые
события имеют большую вероятность и наоборот, маловероятные события
ненаблюдаемые. Согласно этому принципу наблюдаемое значение критерия
должно иметь в рамках проверяемой гипотезы большую вероятность. В
противном случае, если вероятность наблюдаемой величины мала, проверяе-
мую гипотезу нужно отвергать в пользу иных альтернативных гипотез.
Зададимся вероятностью ошибки 1-го рода, как наиболее значимой.
Исключить такую ошибку при проверке гипотезы невозможно (
), на
практике обычно эту вероятность задают достаточно малой величиной
;
;
и называют уровнем значимости гипотезы.
Если из условия
можно определить критические точки
однозначно, то задача построения
критической области критерия решена. В противном случае, когда ещѐ оста-
ѐтся свобода выбора критических точек, рассмотрим влияние альтернатив-
ных гипотез. Поскольку величина
гипотезу
при условии справедливости альтернативной гипотезы
- есть вероятность принять неверную
, то
есть вероятность правильного отбрасывания
сти
ной гипотезе
и еѐ называют мощностью критерия по отношению к альтернатив-
. Поэтому при заданном уровне значимости
при условии справедливо-
, критиче-
скую область критерия нужно строить так, чтобы мощность критерия была
максимальной
по отношению ко всем альтернативным гипоте-
зам.
Таким образом, критическими точками критерия являются квантили
его распределения, определенные согласно уровню значимости проверяемой
гипотезы.
27
},{
12
kkkkК
kr
21
,НH
{ ; }
Bi
x õ n
j
õ
0
{ ( ,ζ), }
jÂ
H X N m õ õ
10
HH
jB
n
xx
Kt
S
í àá
k
. .2 (α, 1)
êðèò
k ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐ Õ n
30, 14.87, 7.89,α 0.1
jB
x x S
30 14.87
1.918
7.89
í àá
k
1.697
êðèò
k
1
H
Рис. 2.7. Двухсторонняя критическая область критерия
при наличии двух альтернативных гипотез
На рис. 2.7 приведена графическая интерпретация алгоритма построения крити-
ческой области одномерного критерия. Видим, что структура критической облас-
ти зависит от наличия альтернативных гипотез и их «расположения» относительно основной.
Рассмотрим примеры.
Критерий Смирнова-Граббса. Рассмотрим проблему отсева грубых
ошибок при измерении нормальной случайной величины. Пусть мы имеем
нормальную выборку наблюдений
тезой является гипотеза о не грубой ошибке при измерении элемента
выборки. Тогда
объѐмом n, а проверяемой гипо-
,
. Критерием для провер-
этой
ки гипотезы является величина Стьюдента
.
Вычисляя значение
сти α проверяемой гипотезы
и критическую точку при заданном уровне значимо-
можно су-
дить о грубости данного измерения. Обычно на грубость измерения прове-
ряются крайние точки наблюдений (максимальная и минимальная). Проверим на грубость измеренную максимальную температуру в рассмотренной
выше выборке майских температурных измерений.
,
,
Видим, что при значимости проверяемой гипотезы в 10% критерий отклоня-
ет еѐ в пользу гипотезы
о грубости этого измерения. Таким образом, это
измерение грубое и его лучше убрать из выборки. Вывод критерия зависит от
точности измерения (еѐ объѐма n) и значимости гипотезы, то есть риска ошибиться при отклонении верной гипотезы. Так, если уровень значимости ги-
28
потезы повысить до 5%, то
2.042
êðèò
k
u
0
{ 0}Hu
B
u
B
nr
u
u
Kt
S
. .2 (α, )
êðèò
k ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐ Õ n r
,
Bu
uS
(α)
í àáë
êðèò
k
Gk
1G
,
BB
xy
;
ζζ
xy B B
xy
x y x y
r ÊÎ ÐÐÅË x y
1
1
;/
n
i i B B
i
x y x y ÑÓÌ Ì Ï ÐÎ ÈÇÂ x y n
n
2
2
2
1
xy
n
xy
rn
Êt
r
, то измерение уже не является гру-
бым.
Критерий Стьюдента о значимости измеренной величины. В стати-
стическом анализе очень часто используются критерии о значимости оценок
различных величин, построенных по выборке. Проверяемой гипотезой явля-
ется гипотеза о том, что истинная теоретическая величина
равна ну-
лю
, а в наблюдениях ее выборочный аналог
отличен от нуля.
Действительно ли наблюдаемое значение не нулевое (значимое), или это
произошло случайно на рассматриваемой выборке? Для ответа на этот вопрос очень часто в дальнейшем мы будем использовать критерий Стьюдента
рис. 2.8 в виде:
,
Рис. 2.8. Критерий Стьюдента проверки значимости величины
Здесь
статистическая оценка и еѐ несмещѐнная ошибка, r количество
степеней свободы выборки, потерянных при построении оценки. Для удобства часто вводится понятие жѐесткости критерия
.
Значимость проверяемой оценки имеет место быть при жѐсткости
, ко-
гда проверяемая гипотеза о нулевом значении теоретической величины от-
вергается.
Например, в качестве проверяемой величины часто используется вы-
борочный коэффициент корреляции между двумя выборками
одина-
кового объѐма.
,
Критерием является следующая величина Стьюдента:
.
29
3. Многомерные статистические данные
0δxx
xx
0
x
δ
x
x
Измерительные данные, с которыми работает инженер-исследователь
или аналитик в процессах проектирования, производства, эксплуатации и
мониторинга различных технических, экологических, социальноэкономических систем редко бывают одномерными. Обычно при исследова-
нии объекта или множества объектов измеряется несколько параметров объ-
екта. Таким образом формируется многомерный статистический набор дан-
ных. При строительстве и эксплуатации зданий и сооружений могут быть из-
мерены и запротоколированы множество различных параметров (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Факторы влияния на здание
Измеряемые величины в большинстве случаев являются случайными как по
своей природе, так и за счѐт ошибок измерения
,
где
мой величины,
- истинное или среднее значение величины,
- ошибка измерительного прибора и измеряющего субъек-
- флуктуация измеряе-
та. Виды измерений разнообразны и классифицируются по множеству при-
знаков (рис. 3.2).
30
Рис. 3.2.Виды измерений
Приведѐм несколько примеров наборов статистических данных, как документально оформленных измерений.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]