Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи статистического анализа в строительстве. Корреляционный, регрессионный и факторный анализ. Учебно – методическое пособие
.pdf
11
стью самой случайной величины, что более удобно и позволяет изобразить
)()()(
22
XMXMXD
X
mXМ )(
2
)(xXD
)};0{[
Х
λ
( ) 1
x
X
F x e
λ
() λ
x
X
f x e
λ0
)(xF
X
)(xf
X
11
0)(
0
0 0
0
xxxx
edxeexdxexXM
2 2 2
2
0
00
2 2 1 2
( ) 0
x x x
M X x e dx x e x e dx
2
22
22
2 1 1
( ) ( ) ( )D X M X M X
CX
CXM )(, 0)( XD
его как и математическое ожидание на рис. 1.6. Между дисперсией и матема-
тическим ожиданием имеется простая связь
.
Рис. 1.6. Геометрическая иллюстрация понятий математического ожидания
и дисперсии
случайной величины
Пример. Рассмотрим случайную величинуX, определенную на множе-
стве возможных значений
со следующим законом распределе-
ния
,
, где параметр
. Такая случайная непре-
рывная величина называется показательной (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Функция распределения
случайной величины
и плотность распределения
показательной
Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоян-
ной величине, а еѐ дисперсия равна нулю:
Умножение случайной величины на постоянный множитель приводит к
следующему изменению еѐ характеристик:
const
.
12
)()( XMCXCM
,
)()(
2
XDСXСD
C
)()()()(
2121 kk
XMXMXMXXXM
Y
ζ
X
X
Xm
Y
1)(,0)( YDYM
X
Y
)()()( YDXDYXD
)()()( YMXMXYM
)};{(
Х
2
2
()
2ζ
1
( ) . ( , ,ζ,0)
ζ2
xm
f x Í Î ÐÌ ÐÀÑÏ x m
e
m
ζ 0, m
(,ζ)X N m
)(xf
, где
const.
Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин
равно сумме математических ожиданий этих величин:
.
Из вышеприведѐнных свойств можно заметить, что при преобразова-
нии случайной величины Xпо линейному закону в величину
.
Такое преобразование случайной величины называется центрированием и
нормированием, а характеристики получаемой величины называются стан-
дартными.
Для независимых случайных величин
и
имеет место:
,
.
Величины называются независимыми, если распределение любой из них не
зависит от того, какие значения принимает другая величина. В противном
случае величины являются статистически зависимыми.
1.3. Нормальная случайная величина
Случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон
Гаусса), если она определена в области
, а еѐ плотность рас-
пределения вероятностей имеет вид:
где
Нормальный закон распределения
и - параметры распределения (
).
наиболее часто встречает-
ся на практике. Главная его особенность – он является предельным законом,
которым приближаются другие, более сложные законы распределения [7].
Плотность вероятности
похожа на «колокол» (рис. 1.8).
При уменьшении только параметра , график функции сжимается и поднимается вверх по оси ординат. При изменении только параметра m, график
перемещается вдоль оси абсцисс.
Рис. 1.8. Функция плотности распределения нормальной величины
13
Функция распределения
)(xF
x
dttfxF )()(
2
2
()
2ζ
1
ζ 2π
tm
x
e dt
1
Ô( ) . ( , ,ζ,1)
2 ζ
xm
Í Î ÐÌ ÐÀÑÏ x m
2
2
0
1
()
2π
x
u
x e du
)(xF
1
x
2
x
)(
21
xXxP
2
1
21
Ô( ) Ô( ) Ô( )
ζ ζ ζ
x
x
x m x m
xm
( ε ε)P m X m
( ε)P X m
ε
2
ζ
3ζm
3ζm
(3ζ 3ζ)P m X m
2 (3ζ/ζ) 2 (3)
9973,0
[3ζ, 3ζ]mm
mXМ )(
2
()ζDX
60m
ζ 10
нормальной величины имеет вид:
,
где
- функция Лапласа. График функции распределения
изображен на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Функция распределения нормальной величины
Вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределѐнная нормально) примет значение в пределах от
до
вычисляется по обычной
формуле:
.
В частном случае, когда интервал симметричен относительно точки m, эта
формула выглядит так:
.
Рассмотрим вероятность того, что изучаемая случайная величина (рас-
пределѐнная нормально) примет значение в пределах от
до
:
,
т.е. вероятность значений изучаемой случайной величины именно на интервале
велика. Это утверждение составляет правило «трѐх
сигм». Числовые характеристики нормальной случайной величины будут:
,
.
Пример. Наблюдение за скоростью автомашин на определѐнном уча-
стке дороги показало, что скорость есть нормальная случайная величина с
математическим ожиданием 60 км/ч и среднеквадратическим отклонением
10 км/ч. Определить вероятность того, что:
- скорость на этом участке не превышает 80 км/ч,
- скорость не отклоняется от математического ожидания более чем на
20%.
Поскольку скорость есть нормальная величина с параметрами
и
, то по основным формулам находим:
14
)800( VP
80
0
80 60 0 60
Ô( ) Ô( ) Ô( ) Ô(2) Ô( 6) 0,477 0,5 0,947
ζ 10 10
xm
,
20% 60 12îò
)1260(VP
12
2 ( ) 2Ô(1,2) 2 0,385 0,770
10
)0(
max
vVP
max
max max
0
60 60
0 60
Ô( ) Ô( ) Ô( ) Ô( ) Ô( 6) 0,99
ζ 10 10 10
v
vv
xm
max
60
Ô( ) 0,49
10
v
33,2
10
60
max
v
3,8333,21060
max
v
, , ,..X Y Z
Y
( ) (ψ( ))
YX
F y F y
() ψ ( ) (ψ( ))
YX
f y y f y
ψ( )y
2
YX
( , ), 0X Rn a b b a
ψ( )yy
()
Y
ya
Fy
ba
11
()
2
Y
fy
ba
y
Y
,XY
()
X
f x y
()
Y
f y x
( ) ( )
Y
XX
f x f x y dy
( ) ( )
X
YY
f y f y x dx
.
Вычислим скорость, которую автомашины на этом участке не превы-
шают с вероятностью 0,99. Из уравнения
,
.
1.4. Системы случайных величин
Если рассматривается система случайных величин
, то между
ними могут быть следующие взаимные соотношения:
- они могут быть независимыми, когда распределение каждой из них не
зависит от того, какие значения примут другие величины. Например, Xтемпература воды на входе системы отопления жилого многоквартирного
дома, а
- количество жильцов, проживающих в доме, эти величины незави-
симы;
- они могут быть зависимы функционально, когда между значениями
величин имеется функциональная связь вида Y=φ(X). Так, площадь выражается через измерения случайных размеров. Связь между распределениями
величин устанавливается достаточно просто при взаимно однозначной
функциональной связи [4]:
,
,
где
обратная для φ(x) функция. Например, для равномерной X и
,
,
,
:
;
- случайные величины могут быть зависимыми статистически, когда
распределение каждой случайной величины зависит от того, какие значения
принимают другие величины. Например, X-температура воды на входе сис-
темы отопления жилого многоквартирного дома, а
- количество жильцов,
обратившихся с жалобой в ДУК на холод в квартирах , эти величины зависимы статистически.
Такая зависимость полностью может быть описана условными распре-
делениями величин. Так, для пары величин
даѐтся функцией двух переменных
или
условное распределение за-
, представляющих со-
бой распределения одной величины при заданном значении другой величи-
ны. Распределения самих величин связаны с условными распределениями
следующим образом:
,
,
15
причем, оказывается, что
( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
X Y Y X
f x f y x f y f x y f x y
( , )f x y
,
( , ) ( , ) ( , )
X x Y y
F x y P X x Y y f x y dxdy
( ) ( ) ( )
Y
Yy
Y x M x y f y x dy
( ) ( ) ( )
x
Xx
X y M y x f x y dx
( ) ( )g x Y x
( ) ( ), ( ) ( )
Y Y X X
f y x f y f x y f x
( , ) ( ) ( )
XY
f x y f x f y
( ) ( ) ( )M x y M x M y
( , ) ( ) ( ) ( )Cov X Y M X Y M X M Y
X
( ) ( ) ( ) ( , )M X Y M X M Y Cov X Y
( ) ( ) ( ) 2 ( , )D X Y D X D Y Cov X Y
( , )
ρ
( ) ( )
XY
Cov X Y
D X D Y
11
ХУ
0
ХУ
1
ХУ
, а
называет-
ся функцией совместного распределения и она связана с вероятностью зна-
чений величин через функцию совместного распределения
.
Часто рассматриваются условные математические ожидания величин
,
,
такая зависимость средних значений (математических ожиданий) от значения
других переменных называется регрессией. Функция регрессии
и
условные распределения иллюстрируются на рисунке 1.10.
Рис. 1.10. Функция регрессии для зависимых величин
В случае независимости величин условные распределения совпадают и
, а
,
.
В случае статистической зависимости введѐм понятие ковариационного
момента (ковариации):
,
который показывает степень статистической зависимости величин
и Y,
поскольку при независимости переменных он равен нулю, а для статистиче-
ски зависимых величин справедливы следующие формулы:
,
.
Введем также безразмерную величину коэффициента корреляции
,
обладающего следующими свойствами:
- его значение по модулю не превышает единицы
- для независимых величин X и Y
- для линейно зависимых величин
,
.
.
Это позволяет использовать коэффициент корреляции в качестве меры стати-
стической зависимости случайных величин. Говорят, что величины коррелируют между собой, если коэффициент корреляции не равен нулю.
16
2. Основные задачи и методы математической статистики
},1;{},......,,,{
321
Nixххххх
iNГ
},1;{},......,,,{
321
nixххххх
inB
Nnхх
ГВ
,
},1;{},......,,,{
321
niХХХХХХ
inB
i
Х
B
х
В
Х
},1;{ nixх
iB
j
x
Для установления закономерностей, которым подчинены случайные
события и случайные величины, теория вероятности, как и любая другая нау-
ка, обращается к опыту – наблюдениям, измерениям, экспериментам. Резуль-
таты наблюдений за случайными величинами объединяются в наборы статистических данных. Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки
статистических данных, а также их анализа с целью установления законов
распределения наблюдаемых случайных величин [2].
2.1. Выборочный метод
Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических
данных, при наблюдениях случайной величины:
.
Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или факто-
ром выборки. Генеральная совокупность есть статистический аналог слу-
чайной величины, еѐ объем N обычно велик, поэтому из неѐ выбирается
часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой
,
.
Использование выборки для построения закономерностей, которым подчи-
нена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать еѐ сплошного
(массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоѐмким процессом, а то и
просто невозможным. Однако выборка должна удовлетворять следующим
основным требованиям:
- выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,
- объѐм выборки должен быть небольшим, но достаточным для того,
чтобы полученные результаты еѐ анализа обладали необходимой степенью
надѐжности,
- данные в выборке не должны бать «засорены» грубыми измерениями,
содержащими нетипично большие ошибки измерений.
Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить как
случайную многомерную величину
у которой все компоненты
распределены одинаково и по закону распре-
деления наблюдаемой случайной величины. В этом смысле выборочные зна-
,
чения
вариантами
есть одна из реализаций величины
Возможные значения элементов выборки
выборки, причѐм число вариант m меньше, чем объѐм выбор-
.
, называются
17
ки
n
j
x
j
n
nnnn
m
.....
21
nnw
jj
/
j
x
},1;,{ mjnxV
jjxn
},1;,{ mjxV
jjxw
),( nx
),(x
minmax
xxR
),(1
jjj
xxh
mRh /
)1(
min
jhxx
j
B
х
j
h
j
n
nnjj/
hw
jj
/
},1;,{ mjnhH
jjxn
},1;,{ mjhH
jjx
},1;,{ mjwhH
jjxw
nn
m
j
j
1
11
mj
j
11
mj
j
hw
)lg(2,31 nm
),( nx
. Варианта может повторяться в выборке несколько раз, число повторе-
ния варианты
варианты
в выборке называется частотой варианты
.
Величина
называется относительной частотой
.
. Причѐм,
Упорядоченный по возрастанию значений набор вариант совместно с
соответствующими им частотами называется вариационно-частотным рядом
выборки:
;
.
Ломаная линия, соединяющая точки вариационно-частотного ряда на
плоскости
или
называется полигоном частот.
Вариационно-частотный ряд имеет существенный недостаток, а именно, ненаглядность полигона в случае малой повторяемости вариант, например, при
наблюдении непрерывного признака его повторяемость в выборке маловеро-
ятна. Более общей формой описания элементов выборки является гистограмма выборки.
Для построения гистограммы разобьѐм интервал значений выборки
на m интервалов
. Число элементов выборки
длины
с границами
, попадающих в интервал,
называется частотой
интервала, кроме того вводятся следующие вели-
чины:
~ относительная частота интервала,
~ плотность относительной частоты интервала.
j
Совокупность интервалов, наблюдаемой в выборке случайной величины и соответствующих им частот, называется гистограммой выборки. Разли-
чаются гистограммы частот, относительных частот и плотности частоты и
обозначаются соответственно:
,
,
.
Для частот гистограммы выполнены следующие условия нормировки:
,
,
Число интервалов гистограммы m должно быть оптимальным, чтобы, с
одной стороны, была достаточной повторяемость интервалов, а с другой сто-
роны не должны сглаживаться особенности выборочной статистики. Рекомендуется значение
. На плоскости
гистограмма пред-
ставляется ступенчатой фигурой.
18
Помимо полигона и гистограммы выборка характеризуется следующи-
n
i
iВ
x
n
х
1
1
n
i
BiВ
xx
n
D
1
2
)(
1
BВ
D
n
i
Bi
xx
n
S
1
22
)(
1
1
2
SS
31n
х
j
0
2
3
7
8
12
14
16
19
23
25
27
30
nj 2 1 1 2 3 4 2 3 6 2 1 3 1
ми основными числовыми характеристиками:
~ выборочное среднее;
~ выборочная дисперсия;
~ выборочное среднеквадратическое отклонение;
~ исправленная выборочная дисперсия;
~ исправленное выборочное среднеквадратическое
отклонение (выборочный стандарт).
Пусть, например, дана выборка полуденных температур месяца Май
своим вариационно-частотным рядом с объѐмом
.
Полигон и гистограмма данной выборки приводятся ниже на рис.2.1.
Рис. 2.1. Полигон и гистограмма частот выборки
Расчѐт основных выборочных характеристик может быть легко проведен с
помощью статистических функций приложения Excel-13 :
19
1
1
( ) 14,87
n
 i B
i
õ x ÑÐÇÍ À× x
n
;
2
1
1
( ) . ( ) 60,31
n
 i B Â
i
D x x ÄÈÑÏ Ã õ
n
ζ . ( ) 7.77
 B Â
D ÑÒÀÍ ÄÎ ÒÊËÎ Í Ã õ
2
. ( ) 62.32
1
BÂ
n
S D ÄÈÑÏ Â õ
n
2
. ( ) 7.89
Â
S S ÑÒÀÍ ÄÎ ÒÊËÎ Í Â õ
Х
Х
(,ζ)Õ N m
n
i
iВ
Х
n
Х
1
1
(,ζ / )
Â
Õ N m n
(,ζ)
i
Õ N m
ξ (0;1)N
n
aХ
В
/0
aХ
i
i
2
n
n
t
2
22
2
2
1
22
1
1
)(
1
S
nnD
aX
В
n
i
i
n
i
in
nS
aX
n
aX
n
t
B
B
B
n
n
/1/
)1/(
2
0
1
2
2
1
2
,
/
/
2
1
21
n
n
F
n
n
nn
;
;
;
.
Отметим, что все числовые характеристики выборки являются случай-
ными величинами, поскольку получены по случайно взятой выборке. На эле-
ментах другой выборки наблюдений над той же случайной величиной
числовые характеристики в общем случае изменят свое значение.
Рассмотрим выборочные распределения нормальных выборок. Если наблю-
даемая случайная величина
математическое ожидание,
ная величина среднего выборочного
. Здесь
является нормальной, т.е
, где m-
- среднеквадратическое отклонение, то случай-
так же является нормальной
нормальные случайные величины, совпа-
дающие с наблюдаемой величиной. Рассмотрим стандартные нормальные ве-
личины
и построим из них случайные величины Пирсона
в виде:
,
и Стьюдента
[4,8]:
,
Отсюда видно, что случайная величина выборочной дисперсии DВ распределена пропорционально «Хи-квадрат» случайной величине с n-1 степенью
свободы, а отклонение выборочного среднего от математического ожидания
распределено пропорционально t-величине Стьюдента с n-1 степенью свободы. При сравнении двух выборок объѐмов n1 и n2 часто используется случайная величина Фишера [8] со степенями свободы n1 и n2 :
Распределения этих величин, как функций от стандартных нормальных величин, хорошо изучены и построены их функции распределения, обратного
.
.
20
распределения и плотности вероятности распределения. Ниже рис. 2.2.-2.4
22
( ) 2. (χ , ,0)
n
f ÕÈ ÐÀÑÏ n
22
( ) 2. (χ , ,1)
n
F ÕÈ ÐÀÑÏ n
2
2. ( , )
p
ÕÈ Î ÁÐ p n
2
2. . ( , )ÕÈ Î ÁÐÏ Õ n
( ) . ( , ,0)
n
f t СТЬЮ ДЕН ТРАСП t n
( ) . ( , ,1)
n
F t СТЬЮ ДЕН ТРАСП t n
. ( , )
p
t ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐ p n
. . ( , )t ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐÏ Õ n
/2
. .2 ( , )t ÑÒÜÞ ÄÅÍ ÒÎ ÁÐ Õ n
( ) . ( , 1, 2,0)f F F ÐÀÑÏ F n n
( ) . ( , 1, 2,1)
ðàñï
F F F ÐÀÑÏ F n n
. ( , 1, 2)
p
F F Î ÁÐ p n n
α
. . (α, 1, 2)F F Î ÁÐÏ Õ n n
представлены графики и функции Excel для их вычисления.
,
Рис. 2.2. Функции распределения величины Пирсона
Рис. 2.3. Функции распределения величины Стьюдента
,
,
,
,
,
,
Рис. 2.4. Функции распределения величины Фишера
,
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]