Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Визуализация течения жидкости в каналах. Монография
.pdf
2.1. Течение в диффузорах и каналах с волнообразными стенками
/2z = −
0z =
aw
A
A
Записывая правую часть формулы (2.1.12) для входного
(
) и среднего (
) сечений диффузора, будем иметь
wh wh
A
+ π=
01 00
π
Подставляя в равенство (2.1.13) значение
h
sh
1
. (2.1.13)
h по формуле
0
(2.1.9), получаем
/A waπ= ,
0
откуда
Aπ=
0
, (2.1.14)
то есть постоянная
при заданной длине диффузора зависит от постоянной a и скорости 0w . Постоянная a находится
по формуле (2.1.8) через геометрические характеристики диффузора , 1h и 2h . Скорость 0w не является заданной величиной, однако, с помощью уравнения (2.1.12) ее легко выразить
через секундный расход теплоносителя, который должен быть
задан, так что
w
=
0
2 sh
M
ha
+π
1
. (2.1.15)
h
1
Подставляя значение
по формуле (2.1.14) в формулы
(2.1.3), получаем окончательные расчетные зависимости для
определения поля скоростей, потенциала скоростей и функции
тока:
51
ГЛАВА II. Примеры использования модели
ar z
=− ππ
=+π π
=−ππ
21
hh
ah
ππ
/ 0,1021a =
потенциального течения несжимаемой жидкости
w
π
ar z
r
= ππ
w
0
w
z
1 ch sin ;
w
0
ϕ
w
0
ψ
w
0
sh cos ;
π
za r z
ra r z
ch cos ;
sh sin .
.
(2.1.16)
Формулы (2.1.16) удобны тем, что они записаны в безразмерном виде. К безразмерному виду целесообразно привести
также формулу (2.1.8) и уравнение (2.1.10):
hh
21
a
=
sh sh
−
π−π
;
(2.1.17)
hh
z
1
arcsin
=
−
sh
( )
0
. (2.1.18)
Рассмотрим пример, в котором
Тогда по формулам (2.1.17) и (2.1.18) находим
и 0/ 0,1326h = . Результаты расчета по формуле (2.1.18) пред-
ставлены в табл. 2.2.
По данным табл. 2.2 построена образующая диффузора, показанная на рис. 2.2.
Следует отметить, что рассматриваемое потенциальное течение не всегда может иметь место. Условием его существования является выполнение неравенства
52
hh
−
0
sh
ah
π
( )
/ 0,1h = ; 2/ 0, 2h = .
1
1
≤
. (2.1.19)
2.1. Течение в диффузорах и каналах с волнообразными стенками
/1
/2
/ 1, 5h =
hh
/h
/z
Таблица 2.2
Координаты образующей плоского диффузора
0,105 0,110 0,120 0,130 0,140 0,150 0,160 0,170 0,180 0,190 0,195
-0,385 -0,216 -0,101 -0,020 0,051 0,113 0,171 0,227 0,284 0,348 0,387
Рис. 2.2. Образующие плоского и осесимметричного диффузоров по данным табл. 2.2.
и 2.3: 1 — плоский канал; 2 — осесимметричный канал
не выполняется. Например, при
получаем
с такими геометрическими характеристиками существовать
не может.
с волнообразными стенками, спрофилированными по приведенным выше формулам, можно найти на фотографиях приведенных на рис. 2.3 и 2.4.
Можно взять также 1h , 2h и , при которых условие (2.1.19)
h = ,
1
−
0
sh
ah
π
( )
2,3
=
h = и
2
.
Это означает, что потенциальное течение в диффузоре
Примеры потенциального течения в конфузоре и канале
53
ГЛАВА II. Примеры использования модели
ww
wz
2
( ) ( )
потенциального течения несжимаемой жидкости
Рис. 2.3. Течение в канале с волнообразными стенками, спрофилированными
по модели потенциального течения
Рис. 2.4. Течение в конфузорном канале с волнообразными стенками,
спрофилированными по модели потенциального течения
2.1.3. Осесимметричный потенциальный поток в канале
с волнообразными стенками
Потенциальный поток в осесимметричном канале с волнообразными стенками получим наложением на осесимметричный однородный поток, движущийся вдоль оси z со скоростью
w , потока 6 из табл. 2.1. Характеристики однородного потока
0
1
0
w =
r
=
,
ϕ=
,
0z
,
0
2
wrψ=
,
0
так что в результате наложения получаем:
w AI r z
=νν
r
1
cos ;
sin ;
( ) ( )
cos ;
( ) ( )
A
sin .
( ) ( )
ν
(2.1.20)
54
w w AI r z
=−ν ν
00
z
A
wz I r z
ϕ= + ν ν
00
ν
1
2
wr I r z
ψ= − ν ν
01
2
2.1. Течение в диффузорах и каналах с волнообразными стенками
constψ=
( ) ( )
22
10
A
0z =
22
10
2 sin
Rz
R aR I R
− π π=
22
22
2;
2,
21
RR
2.
На границе канала
, что в соответствии с послед-
ним из уравнений (2.1.20) дает
где, как и выше,
2 sinR aR I R z R− ν ν=
aw=
и 0R – радиус канала при
ν
0
, (2.1.21)
.
Качественно форма осесимметричного канала, построенно-
го по уравнению (2.1.21), такая же, что и плоского канала
на рис. 2.1. В качестве входного патрубка может рассматриваться диффузорный участок канала длиною 2= λ , так что
ν=π и уравнение (2.1.21) может быть записано так:
, (2.1.22)
Записывая уравнение (2.1.22) для входного (
2z = − ) и вы-
ходного ( 2z = ) сечений диффузора, будем иметь:
(2.1.23)
. (2.1.24)
откуда
R
R aR I R
+ π=
1 11 0
− π=
R aR I R
2 21 0
1
a
=
2
RI RI
21 11
22
RR
−
21
π+ π
1
R
2
Массовый секундный расход теплоносителя через попереч-
ное сечение осесимметричного диффузора составляет:
R
M rw dr= π
∫
0
(2.1.25)
z
55
ГЛАВА II. Примеры использования модели
1n >−
11
nn
nn
xJxdxxJ x
++
Rz
w
=− ππ
потенциального течения несжимаемой жидкости
Подставляя в формулу (2.1.25) значение zw по второй из формул (2.1.20) и выполняя интегрирование с учетом того, что для
функций Бесселя при
x
∫
0
справедлива формула [16]:
( ) ( )
=
,
1
+
получаем
M R w A RI
=π− π π
Записывая правую часть формулы (2.1.26) для входного
и срединного сечений диффузора и подставляя значение
по первой из формул (2.1.23), убеждаемся, что и для осесимметричного диффузора справедлива формула (2.1.14), связывающая между собой величины A, a и
Скорость 0w в срединном сечении диффузора выражается
через секундный расход теплоносителя и геометрические характеристики диффузора по формуле
Окончательно расчетные формулы для осесимметричного
диффузора имеют вид:
w
r
w
0
w
z
w
0
ϕ
w
0
ψ
w
0
56
2
2 sin .
01
.
0
w
=
0
R aR I
π −π π
1 11
π
ar z
=ππ
I
π
=− ππ
1 sin ;
za r z
=+π π
1
2
2
M
2
2
R
1
1
ar z
r ar r z
cos ;
I
0
I
0
2
cos ;
I
1
(2.1.26)
.
(2.1.27)
sin .
(2.1.28)
2
R
0
2.1. Течение в диффузорах и каналах с волнообразными стенками
22
11
II
R
R
/ 0,1831a =
/R
/z
11
hR
22
hR
Эти формулы дают возможность рассчитать поле скоростей
в осесимметричном диффузоре, найти потенциал скоростей
и функцию тока.
Формула для определения постоянной a в безразмерной
форме выглядит так:
RR
21
a
1
=
2
R RR R
2 21 1
−
, (2.1.29)
π+ π
Из уравнения (2.1.22) получаем формулу для построения об-
водов осесимметричного диффузора:
2
R
−
z
1
arcsin
=
π
aR R
I
2
1
2
R
0
. (2.1.30)
π
Рассмотрим тот же пример, что и в предыдущем параграфе:
/ 0,1
= и 2/ 0, 2
1
ходим
= . По формулам (2.1.29) и (2.1.23) на-
и
( )
2
/ 0, 01575R =
0
. Результаты расчета
по формуле (2.1.30) представлены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Координаты образующей осесимметричного диффузора
0,105 0,110 0,120 0,130 0,140 0,150 0,160 0,170 0,180 0,190 0,195
-0,263 -0,171 -0,051 0,038 0,108 0,170 0,226 0,279 0,328 0,382 0,434
При расчетах значения модифицированной функции Бес-
селя брались по данным [17]. По данным табл. 2.3 построена
образующая диффузора, показанная на рис. 2.2 пунктирной линией. Из этого рисунка видно, что при
= и
= образу-
ющая осесимметричного диффузора идет ниже, чем плоского
диффузора.
57
ГЛАВА II. Примеры использования модели
22
0
1
1
2
RR
R
aR I
−
≤
π
1
/1R =
/2R
/ 1, 5R =
z
w
потенциального течения несжимаемой жидкости
Условием существования потенциального течения в осесим-
метричном диффузоре является выполнение неравенства
, (2.1.31)
которое нарушается для отдельных геометрических характеристик диффузора. Так, для примера, приведенного в параграфе
2.1.2, имеем: при
,
22
RR
−
2
aR I
1
= и
2
0
=
R
π
2, 28
,
следовательно, потенциальное течение в осесимметричном
диффузоре с такими характеристиками существовать не может.
2.1.4. Плоский и осесимметричный потоки в канале
с монотонно расходящимися и сходящимися границами
Потенциальный поток в плоском канале с монотонно расходящимися (диффузор) и сходящимися (конфузор) границами получим наложением на плоский однородный поток, движущийся вдоль оси
со скоростью
, потока 1 из табл. 2.1.
0
В результате наложения получаем поток со следующими характеристиками:
=
;
r
= −
z
wz A r z
0
w r Arz
0
;
0
1
( )
2
.
22
;
(2.1.32)
58
w Ar
w w Az
ϕ= + −
ψ= −
2.1. Течение в диффузорах и каналах с волнообразными стенками
0A >
0A <
−=
A
11 0
22 0
+=
−=
21
21
hh
hh
h
h
00
= =−=−
0 1 00 0 2
11
.
22
w Ah wh w Ah
+==−
Поток с характеристиками, определяемыми формулами
(2.1.32), при
является диффузорным, а при
— конфузорным. В первом случае границы канала монотонно расходятся, во втором — сходятся. В соответствии с выражением для
функции тока границы канала задаются соотношением
где
bw= .
h bhz h
0
, (2.1.33)
0
Рассматриваем диффузор длиною и помещаем начало координат оси z на его середине. Тогда, записывая соотношение
(2.1.33) для входного и выходного сечений диффузора, будем иметь:
h bh h
h bh h
2
2
;
,
(2.1.34)
откуда
−
2
b
=+ ,
(2.1.35)
где
1
h = и
1
2
h =.
2
Секундный массовый расход теплоносителя через поперечное сечение диффузора составляет:
hh
22 2 ,
M w dr w Az dr w Az h
z
∫∫
00
( ) ( )
(2.1.36)
следовательно
Из равенства (2.1.37), в частности, следует:
(2.1.37)
59
ГЛАВА II. Примеры использования модели
01
1.
21
1,
hh
12
2.hh
hh
=+−
потенциального течения несжимаемой жидкости
1
= +
h bh
2
(2.1.38)
В соответствии с формулой (2.1.35):
2
1
+=
b
2
h
2
(2.1.39)
+
следовательно
h
0
12
=
(2.1.40)
+
С учетом формул (2.1.35) и (2.1.40) из уравнения (2.1.33)
получаем следующую расчетную зависимость для построения
образующей плоского диффузора:
2
hh
h
=
h h h hz
+− −
( ) ( )
21 21
12
2
где все линейные величины отнесены к длине диффузора
,
(2.1.41)
.
Формулы (2.1.32) в безразмерном виде выглядят так:
w
r
=
;
br
w
0
w
z
= −
1;
w
0
ϕ
w
0
ψ
w
0
bz
1
z br z
r b rz
= −
2
22
( )
.
(2.1.42)
;
Потенциальный поток в осесимметричном канале с монотонно расходящимися или сходящимися границами получим
сложением однородного потока и потока 4 из табл. 2.1. Характеристики результирующего потока определяются формулами:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]