Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в математический анализ. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
им. В.Ф. Уткина
А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова
ВВЕДЕНИЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Рязань 2023
УДК 517
Введение в математический анализ: учебное пособие /
А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн.
ун-т. – Рязань, 2023. – 80 с.
Приведены основные теоретические сведения по теме «Введение
в математический анализ». Содержит задачи для практических занятий
и самостоятельной работы по теме «Введение в математический
анализ», изучаемой в дисциплине «Математика».
Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по
направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»,
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»,
38.03.05 «Бизнес-информатика».
Табл. 1. Ил. 4. Библиогр.: 10 назв.
Комплексные числа, последовательность, функция, предел,
непрерывность
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного
радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой
д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)
ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа
Появление комплексных чисел было ответом на попытки
человечества занумеровать точки плоскости и трёхмерного
пространства; решить часто встречающиеся (колебания, собственные
частоты) уравнения типа; найти именно n корней из единицы (почти
все студенты, не знакомые с комплексными числами, утверждают, что
этот корень равен 1 и других значений нет) и т.д.
Отечественные и зарубежные историки математики пришли к
выводу, что комплексные числа впервые появились не позднее 1545
года в трудах итальянского врача, фамилию которого знают
практически все люди, – Джероламо Кардано («карданный вал»,
«карданов подвес», «карданная передача» – его изобретения). К
сожалению, сам Кардано посчитал их «игрой разума» и «бесполезным
понятием» (даже общепризнанный гений, И. Ньютон не считал
нововведение числами и, почти как Г. Лейбниц, относил их к чему-то
«загадочному» и «мистическому»).
Первым пользу комплексных чисел оценил Рафаэль Бомбелли. В
изданной в г. Болонья в 1572 г. «Алгебре» он с их помощью
исследовал кубические уравнения, нашёл все три значения
3
1
,
установил простейшие правила действий над этими числами. «Бум» в
области использования комплексных чисел произошёл только в конце
XIX – XX вв. и был вызван необходимостью решения многих задач,
поставленных пришедшейся на это время научно-технической
революцией.
Определение 1. Комплексным числомz называется
упорядоченная пара действительных чисел x и y:
( , )z x y=
Число x
– действительная часть и обозначается символом
Re z
:
Rexz=
(от
лат. Realis – действительный), число y – мнимая часть z и
обозначается
Imz
:
Imxz=
(от латинского Imaginarius – мнимый).
Если
0y =
, то
( ,0)zx=
, z совпадает с действительной частью
x
. Поэтому
( ,0)xx=
.
Определение 2. Комплексное число
(0,1)
называется мнимой
единицей и обозначается символом i:
(0,1)i =
.
Определение 3. Два комплексных числа
( , )z x y= и( , )z x y=−
называются сопряженными .
2
Например, сопряженным к числу
(2,3)z =
является
(2, 3)z =−
, к
числу
( 3, 2)z = − −
будет
( 3, 2)z =−
.
Определение 4. Два комплексных числа
1 1 1
( , )z x y=
и
2 2 2
( , )z x y=
равны тогда и только тогда, когда
12
xx=
и
12
yy=
Определение 5.
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )z z x y x y x x y y+ = + = + +
-сумма
комплексных чисел:
1 1 1
( , )z x y=
и
2 2 2
( , )z x y=
.
Определение 6.
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( , ) ( , ) ( , )z z x y x y x x y y x y x y = = − +
-
произведение комплексных чисел:
1 1 1
( , )z x y=
и
2 2 2
( , )z x y=
Мнимая
единица обладает следующим свойством:
2
1i =−
.
Определение 7. Запись
z x iy=+
называется алгебраической
формой комплексного числаz.
Выберем ПДСК на евклидовой плоскости. Так как комплексное
число z является парой
( , )xy
действительных чисел x и y, то
геометрической интерпретацией комплексного числа является его
изображение точкой M на плоскости с декартовыми координатами x
и y (рис.1).
Множество действительных чисел изображается на оси абсцисс
()OX
, которая называется действительной осью, множество всех
мнимых чисел – на оси ординат
()OY
(кроме точки О) – мнимая ось.
Комплексное число – это радиус-вектор точки
( , )M x y
OM
.
Евклидова плоскость называется комплексной плоскостью.
Введем ПСК следующим образом:
полярную ось совместим с положительной
полуосью
()OX
, а полюс – с началом
координат O
Полярные координаты r и точки z
называют соответственно модулем и
аргументом комплексного числа z
Обозначение: z– модуль комплексного числа z,
argz
–
аргумент комплексного числаz, то есть
rz=
,
arg z
=
.
Так как
cosxr
=
,
sinyr
=
, то
3
cos sin (cos sin )z x iy r i r r i
= + = + = +
.
Определение 8. Запись
(cos sin )z r i
=+
называется
тригонометрической формой записи комплексного числа z.
( )
в 1-й или 4-й четверти или на положительной
части действительной оси рис. 2 ,
при 0, во 2-й четверти или на отрицательной
при 0 (
)
arctg 0 (
g z
x
x
arct
y
y
x
y
x
+
=
( )
части действительной оси рис. 3 ,
0, к. ч. в 3-й четверти) (рис.4), (1)
при 0, z на положительной части мнимой оси ,
2
при 0, z на
arctg 0 (
0 ( )
0 (
2
y
x
xy
xy
xy
−
=
=
− отрицательной части мнимой оси).
Определение 9.
i
z r e
=
- показательная форма записи
комплексного числа z.
4
§ 2. Действия над комплексными числами
Таблица 1
Действия
Алгебраи-
ческая
Тригонометрическая
Показа-
тельная
( , )z x y=
x iy+
(cos sin )ri
+
,
где
22
r x y=+
,
определяется по
формуле (1)
i
re
( , )z x y=−
x iy−
(cos sin )ri
−
i
re
−
12
zz
12
12
()
()
xx
i y y
+
+
12
zz
1 2 1 2
1 2 2 1
()
()
x x y y
i x y x y
−+
++
1 2 1 2
12
(cos( )
sin( ))
rr
i
++
++
12
()
12
i
r r e
+
1
2
z
z
2
( 0)z
1 2 1 2
22
22
2 1 1 2
22
22
x x y y
xy
x y x y
i
xy
+
+
+
−
+
+
1
12
2
12
(cos( )
sin( ))
r
r
i
−+
+−
12
()
1
2
i
r
e
r
−
n
z
,
n
N
(cos sin )
n
r n i n
+
формула Муавра
n in
re
,nz n N
,
2
(cos
2
sin ), 0, 1
n
k
k
z
n
k
i k n
n
+
= +
+
+ = −
2
0, 1
k
k
i
n
n
ze
kn
+
=
=
=−
Замечание 1. Умножение комплексных чисел производится по
правилу умножения многочленов с учетом того, что
2
1i =−
Замечание 2. Деление комплексных чисел производится по
правилу
1 1 2
2 2 2
z z z
z z z
=
(необходимо числитель и знаменатель домножить
на комплексное число, сопряженное знаменателю).
5
Извлечение корня из комплексного числа.
Теорема. При
0z
существует ровно n различных корней
k
из
числа
n
z
, которые вычисляются по формулам:
22
(cos sin )
n
k
kk
zi
nn
++
= +
или
2 k
i
n
n
k
ze
+
=
,(2) где
n
z
–
арифметический корень из положительного числа z,
0, 1kn=−
.
Из формулы (2) следует, что все комплексные числа
k
( 0,1,2,..., 1)kn=−
имеют один и тот же модуль
n
z
, а аргументы
точек
k
и
1k+
отличаются друг от друга на
2
n
. Следовательно,
комплексные числа
k
располагаются на окружности радиусом
n
Rz=
с центром в начале координат в вершинах правильного n-
угольника.
Пример 1.1. Найти
11
(1 )i−
.
◄ Запишем число
1zi=−
в тригонометрической форме. Здесь
1x =
,
1y =−
,
22
1 ( 1) 2z = + − =
. К. ч.
1zi=−
расположено в 4-й
четверти, следовательно, по формуле (1)
1
( 1)
14
arctg arctg
−
= = − = −
.
Тогда
1 2 (cos( ) sin( )) 2(cos sin )
4 4 4 4
z i i i
= − = − + − == −
По формуле Муавра
( 11)n =
:
11 11 11
11 11 11
11 1 11 1 10
11 11 3 3
(1 ) ( 2) (cos sin ) ( 2) (cos(2 ) sin(2 ))
4 4 4 4
3 3 2 2 1 1
( 2) (cos( ) sin( )) ( 2) ( ) ( 2) ( )
4 4 2 2
22
( 2) ( 2) (1 ) ( 2) ( 2) (1 ) ( 2) (1 ) 32 (1 ).
i i i
i i i
i i i i
−−
− = − = + − + =
= − = − − = − − =
= − + = − + = − + = − +
►
6
Пример 1.2. Найти
4
1 i−
.
◄ По формуле (2), последовательно полагая
0,1,2,3k =
,
получаем четыре значения корня из к. ч.
1zi=−
:
4
8
44
0
2 0 2 0
2 (cos sin ) 2(cos sin ),
4 4 16 16
ii
− + − +
= + = −
4
8
44
1
2 1 2 1
77
2 (cos sin ) 2(cos sin ),
4 4 16 16
ii
− + − +
= + = +
4
8
44
2
2 2 2 2
15 15
2 (cos sin ) 2(cos sin ),
4 4 16 16
ii
− + − +
= + = +
4
8
44
3
2 3 2 3
23 23
2 (cos sin ) 2(cos sin ).
4 4 16 16
ii
− + − +
= + = +
►
Пример 1.3. Решить уравнение
2
( 3 2 ) 5 0z i z i+ − + + − =
◄ Это квадратное уравнение относительно z. Здесь
1a =
,
32bi= − +
,
5ci=−
. По формуле корней квадратного уравнения:
2
( 3 2 ) ( 3 2 ) 4(5 )
3 2 15 8
2 2 1 2
i i i
b D i i
z
a
− − + + − + − −
− + − + − −
= = =
Далее необходимо извлечь корень из к. ч.
15 8i−−
. Можно
применить формулу (2). Покажем другой ход решения.
Запишем равенство
15 8i x iy− − = +
.
Возведем обе части в квадрат
2
15 8 ( )i x iy− − = +
,
но
2 2 2
( ) ( )( ) 2x iy x iy x iy x y ixy+ = + + = − +
, следовательно,
22
15 8 2i x y ixy− − = − +
.
По определению 4:
22
15,
2 8.
xy
xy
− = −
=−
Решая систему, находим
1
1x =
,
1
4y =−
и
2
1x =−
,
2
4y =
.
Окончательно
1
3 2 (1 4 ) 4 6
23
22
i i i
zi
− + − −
= = = −
,
2
3 2 ( 1 4 )
1.
2
ii
zi
− + − +
= = +
►
7
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ
§ 1. Понятие функции. График функции.
Способы задания функции
Математическим анализом называют систему дисциплин,
предметом изучения которых являются количественные соотношения
действительного мира. Эти соотношения выражаются с помощью
числовых величин, как и в арифметике. Но в арифметике (и в алгебре)
рассматриваются преимущественно постоянные величины, в анализе
же – переменные величины (характеризующие процессы). В основе
изучения зависимости между переменными величинами лежат понятия
функции и предела.
Функция - понятие, которое относится к установлению соответствия
между элементами двух множеств.
Определение 1. Если задано правило f, по которому каждому
элементу x из множества X поставлен в соответствие единственный
элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X задана
функция
()y f x=
,
xX
,
yY
.
X
- область определения функции, Y - область значений функции.
В дальнейшем будем рассматривать числовые функции, В этом
случае переменная величина x называется независимой переменной
или аргументом, величина y – зависимой переменной или функцией.
(Число y, соответствующее данному значению x, называется
частным значением функции в точке x.
Определение 2. Множество точек
( )
, ( )x f x
плоскости
XOY
называется графиком функции
()y f x=
.
Функция может быть задана:
1) аналитически (с помощью формул);
2) графически;
3) с помощью таблицы.
При аналитическом задании функция может быть определена:
1) явно – уравнением вида
()y f x=
или
11
22
( ), ( ),
( ), ( );
f x x D D f
y
f x x D D f
=
2) неявно – уравнением вида
( , ) 0F x y =
;
8
3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной –
параметра –
( ),
( ),
x x t
y y t
=
=
.t T R
Примеры
1. Явное задание:
1)
yx=
,
( ) | 0D f x x x= = +
,
( ) | 0E f y y x= = +
;
2) Функция Дирихле
0, ,
1, ;
х иррациональное
y
х рациональное
−
=
−
3)
yx=
– целая часть x (наибольшее
целое, не превосходящее x),
()D f x x R= =
,
()E f y y Z= =
;
4)
y signx=
определяет знак x,
1, 0,
0, 0,
1, 0.
x
signx x
x
==
−
2. Неявное задание:
1)
sin 0
xy
e x y+ − =
. Нельзя в явном
виде выразить y через x;
2) уравнение
( , ) 0F x y =
может определять не одну, а несколько
функций вида
()y f x=
. Так, уравнение
22
10xy+ − =
определяет две
функции:
2
1
( ) 1y f x x= = + −
и
2
2
( ) 1y f x x= = − −
.
3. Параметрическое задание:
cos ,
sin ,
xt
yt
=
=
0 t
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]