Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в математический анализ. Учебное пособие
.pdf
9
Данная система задает верхнюю половину окружности
единичного радиуса.
§ 2. Основные характеристики функции
Определение 1. Функция
()fx
с симметричной относительно
нуля областью определения X называется четной, если для любого
xX
выполняется равенство
( ) ( )f x f x=−
.
Из определения четной функции следует, что ее график
симметричен относительно оси ординат. Например, функции
2
yx=
,
yx=
являются четными.
Определение 2. Функция
()fx
с симметричной относительно
нуля областью определения X называется нечетной, если для любого
xX
выполняется равенство
( ) ( )f x f x− = −
.
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат. Например, функции
3
yx=
и
2yx=
являются нечетными.
Функция
2
y x x=+
не является ни четной, ни нечетной, так как
22
( ) ( )x x x x y− + − = −
. Такие функции называются функциями
общего вида.
Определение 3. Функция
()y f x=
называется периодической,
если существует такое число
0T
, что для любого
xX
выполнены
условия:
1)
;;x T X x T X+ −
2)
( ) ( )y f x T f x= + =
.
Число T называется периодом функции
()y f x=
.
Наименьший положительный период называют основным
периодом функции
осн
T
.
Если функция
()y f x=
периодическая с основным периодом
осн
T
, то период функции
()y f kx a=+
равен
осн
T
k
.
Определение 4. Функция f называется ограниченной на
множестве
()X D f
, если существует положительное число M
такое, что для всех
xX
выполняется
()f x M
.
10
Например, функция
sinyx=
ограничена на всей числовой оси;
3
yx=
ограничена на любом промежутке конечной длины, но не
ограничена на всей области определения
xR
.
Пусть
()y f x=
определена на множестве
()Df
и множество
()X D f
.
Определение 5. Если для любых
12
,:x x X
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
, то
()fx
возрастающая на X;
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
, то
()fx
неубывающая на X;
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
, то
()fx
убывающая на X;
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
, то
()fx
невозрастающая на X.
§ 3. Понятие обратной и сложной функции
Если уравнение
( )
y f x=
, а функция
( )
x g y=
, такая, что
( )
( )
y f g y=
, то функция
( )
x g y=
- обратная к функции
( )
y f x=
.
Очевидно, что
( )
( )
g f x x=
, т.е. функции
( )
fx
и
( )
gx
являются
взаимно обратными.
Например,
2
yx=
обратная к
yx=
при
[0, ), [0, ).xy + +
Если f и g – функции одной переменной, то функция h,
определенная соотношением
( ) ( ( ))h x g f x=
на области
( ) { ( ) : ( ) ( )}D h x D f f x D g=
, называется сложной функцией
(суперпозицией или композицией
()h g f x=
) функций f и g.
Например,
2
sinyx=
. Здесь
2
( ) sin , ( ) ( )f x x g x f x==
.
11
§ 4. Основные элементарные функции
1. Степенная функция
r
yx=
m
rn=
, где
m
– четное,
n
– нечетное
m
rn=
, где
m, n
– нечетные
m
rn=
, где
m
– нечетное,
n
– четное, или
r
–иррациональное
1r
01r
0r
2. Показательная функция
x
ya=
( )
0, 1aa
y
x
a>1
1
y
x
01<a<
1
12
3. Логарифмическая функция
a
y log x=
( )
0, 1aa
( ) ( )
0;Df= +
,
( )
Ef= R
.
4. Тригонометрические функции
Функции
y sin x=
и
y cos x=
являются периодическими с
наименьшим положительным периодом
2T=
.
Функции
tgyx=
и
ctgyx=
имеют наименьший положительный
период
T=
.
y
x
a>1
1
y
x
01<a<
1
y
x
y= xsin
1
1
y
y x=cos
x
Df( )=R Df( )=R
Ef( )=[-1;1] Ef( )=[-1;1]
- -
-
3
3
2
2
2
2
2
2
-1
-1
13
5. Обратные тригонометрические функции
6. Гиперболические функции
2
xx
ee
y shx
−
−
==
2
xx
ee
y chx
−
+
==
(гиперболический синус) (гиперболический косинус)
14
xx
xx
e e shx
y thx
chx
ee
−
−
−
= = =
+
xx
xx
e e chx
y cthx
shx
ee
−
−
+
= = =
−
(гиперболический тангенс) (гиперболический котангенс)
Определение 1. Элементарной называется функция, записанная
одной формулой и составленная из основных элементарных функций с
помощью символов четырех арифметических действий
, , , /+ −
и
операции суперпозиции функций.
Например,
cos
2
2
1 log
x
yx=
+
– элементарная функция.
Определение 2. Функцию называют рациональной, если в ней над
аргументом х проводится конечное число операций сложения,
вычитания, умножения, деления и возведения в степень (обозначается
()Rx
).
Замечание. К рациональным функциям относятся: многочлен
(полином, целая рациональная функция) степени
nN
с
вещественными коэффициентами
1
1 1 0
( ) ...
nn
n n n
P x a x a x a x a
−
−
= + + + +
( 0)
n
a
и дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов.
Определение 3. Функцию называют иррациональной, если в
составе алгебраических операций над аргументом х имеется
извлечение корня.
Определение 4. Рациональные и иррациональные функции
называют алгебраическими.
Определение 5. Функции
x
ya=
( 0, 1)aa
,
log
a
yx= ( 0, 0),aa
sinyx=
,
cosyx=
,
y tgx=, y ctgx=
,
arcsinyx=
,
arccosyx=
,
y arctgx=, y arcctgx=
и, составленные из них с
помощью конечного числа алгебраических операций, элементарные
функции называют трансцендентными.
15
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ФУНКЦИИ
Понятие предела является одним из основных понятий всей
математики, через понятие предела вводятся такие фундаментальные
понятия математики, как производная, определенный интеграл и т.д.
Понятие предела впервые определено Валлисом (Arithmetica
infinitorum, 1655 г.) и шотландским математиком Дж. Грегори. Валлис
применял совершенно строгую процедуру вычисления предела: после
составления числовой последовательности и установления ее общего
члена следовало доказательство того, что
,
n
aa
−
начиная с
некоторого номера
N
. Слово «предел» – лимит – произошло от
латинского limes – межа, граница, граничный камень. Словом limes
впервые воспользовался Ньютон, а употребляемый всюду символ lim
ввел впервые, по-видимому, Люилье (1786 г.).
Определение предела с и дал Коши в 1820 г. Выражения «
– метод доказательства», « – определение» стали привычными в
математике после работ Вейерштрасса. В 1861году Вейерштрасс
заменил точными формулировками на языке–, ввел понятие « –
окрестность точки», «верхней и нижней границ». Обозначения
( ) ( )
00
0 , 0f x f x+−
для пределов справа и слева ввел Дирихле
(1837 г.).
§ 1. Предел числовой последовательности
Пусть
1 2,..., ,...,n=N
.
Определение 1. Если любому натуральному значению n ставится
в соответствие единственное значение
n
a R
, то говорят, что задана
числовая последовательность
( )
n
a
,
nN
,
n
a
называется n-м
членом последовательности.
Из определения 1 следует, что задание числовой
последовательности равносильно заданию некоторой функции
( )
fn
натурального аргумента.
Примеры числовых последовательностей:
1)
1 1 1 1
: 1, , ,..., , ...
23nn
;
2)
( )
22
1 : 0, 3, 8, ..., 1,...nn−−
;
16
3)
( )
1 : 1,1,1,...,1,...
– стационарная последовательность.
Определение 2. Число
a
называется пределом
последовательности
( )
n
a
, если для любого положительного числа
существует натуральное число
N
такое, что для всех членов
последовательности с номерами
nN
выполняется неравенство
n
aa
−
.
Обозначается
lim
n
n
aa
→+
=
.
( )
( )
lim 0 :
nn
n
a a N N n N a a
→+
= −
.
Определение 3.
( )
lim ,
n
na→+
= + −
, если
( )
0
n n n
ε N n N : a ε a ε, a ε
− N
.
Определение 4. Последовательность
( )
n
a
называется
сходящейся, если
lim
n
n
aa
→+
=R
; если предел равен + или −, или
не существует, то последовательность
( )
n
a
называется расходящейся.
Если последовательность имеет конечный предел, то он
единственный.
Пусть
lim
n
n
aa
→+
=R
,
lim
n
n
bb
→+
=R
. Тогда:
1) существует
( )
lim
nn
n
a b a b
→+
=
;
2) существует
( )
lim
nn
n
a b a b
→+
=
;
3) если
0
n
n : b N
и
0b
, то существует
lim
n
n
n
a
a
bb
→+
=
.
Определение 5. Последовательность
( )
n
называется бесконечно
малой, если
lim 0
n
n→+
=
, т.е.
0:
n
N n N
N
.
Примеры:
1
n
,
1
2
n
,
( )
2
1
n
n
−
,
( )
1
ln 1n
+
и т.д.
Определение 6. Последовательность
( )
n
называется бесконечно
большой, если
lim
n
n→+
= +
, т.е.
17
0:
n
N n N
N
.
Примеры:
( )
n
,
( )
( )
1nn−
,
( )
3
n
,
( )
2
n
и т.д.
§ 2. Предел функции и его свойства
Пусть функция
()y f x=
задана на множестве действительных
чисел R. Выберем последовательность значений
( )
n
xR
такую, что
lim
n
nx→+
= +
. Этой последовательности соответствует
последовательность значений функции
( )
()
n
fx
.
Определение 1. Число А называют пределом функции
()fx
при
x → +
, если для любой последовательности
( )
n
xR
такой, что
lim
n
nx→+
= +
, соответствующая последовательность
( )
()
n
fx
сходится
к числу A
( lim ( ) )
n
n
f x A
→+
=
,
lim ( )xf x A
→+
=
.
Аналогично определяют предел функции при
x → −
.
Пусть функция
()y f x=
задана на числовом множестве
XR
.
Выберем последовательность значений
( )
n
xX
такую, что
0
lim
n
n
xx
→+
=
(число
0
x
может и не принадлежать множеству X). Этой
последовательности соответствует последовательность значений
функции
( )
()
n
fx
.
Определение 2. (определение предела функции по Гейне). Число
А
называют пределом функции
()y f x=
в точке
0
x
(при
0
xx→
),
если для любой последовательности точек
( )
n
xX
, отличных от
0
x
,
такой, что
0
lim
n
n
xx
→+
=
, соответствующая последовательность
( )
()
n
fx
сходится к числу A
( lim ( ) )
n
n
f x A
→+
=
. Факт существования предела
функции при
0
xx→
записывают так:
0
lim ( )xxf x A→=
.
Определение 3. (определение предела функции по Коши). Число
A
называется пределом функции
()y f x=
в точке
0
x
, если для
любого положительного числа существует положительное число
такое, что для всех x, удовлетворяющих условию
0
0 xx
−
,
выполняется неравенство
( )
f x A−
.
18
Определение 4. Функцию
()y f x=
называют бесконечно малой
функцией при
0
xx→
, если
0
lim ( ) 0
xxfx→
=
.
Определение 5. Функцию
()y f x=
называют бесконечно
большой функцией при
0
xx→
, если
0
lim ( ) ( )
xxfx→
=
.
Определение 6. Число А называют левосторонним пределом
функции
()y f x=
в точке
0
x
(пределом слева), если для любой
последовательности
( )
nf
xD
такой, что для любого
nN
0n
xx
,
из соотношения
0
lim
n
n
xx
→+
=
следует, что
lim ( )nf x A
→+
=
. Обозначение:
0
0
lim ( ) .
xx
f x A
→−
=
Определение 7. Число А называют правосторонним пределом
функции
()y f x=
в точке
0
x
(предел справа), если для любой
последовательности
( )
nf
xD
такой, что для любого
nN
0 n
xx
,
из соотношения
0
lim
n
n
xx
→+
=
следует, что
lim ( )
n
n
f x A
→+
=
. Обозначение:
0
0
lim ( )xxf x A
→+
=
.
Свойства пределов функций
1. Если предел функции в точке существует, то только один.
2. Функция
()y f x=
имеет в точке
0
x
предел тогда и только
тогда, когда левосторонний и правосторонний пределы в этой точке
существуют и равны между собой. В этом случае
0 0 0
00
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x f x f x A
→ + → − →
= = =
3. Если функции
()y f x=
и
()y g x=
определены на множестве
DR
,
0
lim ( )xxf x A→=
,
0
lim ( )xxg x B→=
( , )A R B R
, то
0
lim( ( ) ( )) ,
xx
f x g x A B
→
=
0
lim ( ) ( ) ,
xx
f x g x AB
→
=
0
()
lim ,
()
xx
f x A
g x B
→
=
(для всех
xD
( ) 0gx
,
0B
).
4. Если
0
lim ( )xxf x A→=
(
AR
) и
kR, 0k
, то
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
kf x k f x kA
→→
==
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]