Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Байесовы технологии. Их реализация в программной среде Hugin и применение в операционном риск-менеджменте. Учебное пособие
.pdf
Состояние каждого узла, имеющее значение 100.00, принадлежит наиболее
вероятной комбинации состояний. В данном случае наиболее вероятной комбинацией состояний при введенном свидетельстве является состояние «болеет»
узла Болеет и состояние «нет» узла Засохло (рис. 3.12). Таким образом, вероятность наиболее вероятной комбинации состояний данных узлов – это
PS = t, D = fL = t.
Исходя из теоремы Байеса:
PS = t, D = fL = t=
PS = t × D = f × L = t
PL = t
Распространение суммы в Hugin приводит к тому, что в левом нижнем углу главного окна появляется вероятность введенного свидетельства. Ввод свидетельства о том, что дерево облетело, и распространение суммы дает
PL = t= 0.1832. Ввод свидетельства о том, что дерево облетело, болеет, но
не засохло, и распространение суммы дает PS = t × D = f × L = t= 0.081.
Тогда,
0.081
PS = t, D = fL = t=
= 0.442
0.1832
Аналитическое решение
Для того чтобы определить наиболее вероятную комбинацию состояний
узлов Болеет и Засохло при условии, что дерево облетело, необходимо вычислить PS = i, D = jL = t
, i = t, f; j = t, f и сравнить их между собой:
i, j= i, j | max
,
(PS = i, D = jL = t
), i = t, f; j = t, f
Используя формулу Байеса, получаем:
, i = t, f; j = t, f
PS = i, D = jL = t=
PS = i × D = j × L = t
PL = t
PS = i × D = j × L = t= PS = i× PD = j× PL = tS = i, D = j,
i = t, f; j = t, f
0.1 × 0.9 × 0.9
PS = t, D = fL = t=
= 0.442
0.1832
0.9 × 0.9 × 0.02
PS = f, D = fL = t=
= 0.089
0.1832
0.1 × 0.9 × 0.95
PS = t, D = tL = t=
= 0.052
0.1832
31
PS = f, D = tL = t=
i= t, j= f, так как
0.1 × 0.9 × 0.85
= 0.418
0.1832
PS = t, D = fL = t= 0.442 = max
,
PS = i, D = jL = t
, i = t, f; j = t, f
Следует также пояснить, почему в списке узлов сети
PS = f, D = tL = t= 94.44% (рис. 3.12). Это объясняется тем, что в Hugin при
«Распространении максимума» значения всем состояниям задаются относительно вероятности наиболее вероятной комбинации состояний.
0.442
PS = t, D = fL = t=
× 100% = 100%
0.442
0.418
PS = f, D = tL = t=
× 100% = 94.44%
0.442
Байесовы сети с непрерывными переменными
Непрерывные случайные переменные при работе в Hugin должны иметь
Гауссовское (нормальное) распределение, зависящее от значений родительских
переменных.
Распределение непрерывной переменной Y с дискретными родительскими
переменными I и непрерывными родительскими переменными Z является Гауссовским (одномерным) распределением, обусловленным значениями родительских переменных:
PYI = i, Z = z
=
i
+
i
z;
i
. (3.1)
Следует заметить, что математическое ожидание линейно зависит от значений непрерывных родительских переменных, в то время как дисперсия не зависит от них; а от значений дискретных родительских переменных зависят и
мат. ожидание и дисперсия. Важно заметить, что в Hugin дискретные переменные не могут иметь непрерывных родителей.
3.2. Диаграммы влияния в Hugin
Механизм построения топологии ДВ в Hugin аналогичен описанному выше механизму построения обычной БС (подраздел 3.1). При этом узлы решения
и узлы полезности добавляются в ДВ с помощью кнопки «Узел решения» (decision tool) и «Узел полезности» (utility tool) в строке инструментов (рис. 3.13).
Рис. 3.13. Инструменты: «Узел решения», «Узел полезности»
32
В результате добавления всех узлов сети и связей между ними, установления узлам имени (согласно топологии ДВ на рис. 2.13), задания ТУВ случайным узлам и таблиц полезности узлам полезности (согласно данным табл. 2.1-
2.8), получим ДВ примера «Яблоня» в среде Hugin (рис. 3.14).
Рис. 3.14
Компиляция ДВ осуществляется аналогично компиляции БС, за исключением того, что компилятор проверяет ДВ еще и на наличие направленного пути
между всеми узлами решения ДВ.
Логический вывод в ДВ
Панель списка узлов в узлах решения показывает ожидаемую полезность
от выбора каждой альтернативы решения (вместо вероятности состояний, как в
случае случайных узлов).
Предположим, что в рассматриваемом примере «Яблоня», становится известно, что дерево облетело. Следует определить – осуществлять в этом случае
обработку дерева или нет.
Для этого необходимо:
ввести в панели списка узлов свидетельство о том, что дерево облетело
(состояние «да» узла Облетело);
распространить данное свидетельство, используя процедуру распро-
странения суммы.
В результате в панели списка узлов появятся обновленные вероятности со-
стояний случайных узлов и величина ожидаемой полезности от принятия каждой альтернативы решения в поле узла решения (рис. 3.15).
33
Рис. 3.15
Согласно данным, отраженным на рис. 3.15, ожидаемая полезность, получаемая при обработке дерева, равна 10234 $; тогда как ожидаемая полезность,
получаемая в случае отказа от обработки – 11514 $. Таким образом, оптимальное решение при данном свидетельстве – не проводить обработку дерева.
Аналитическое решение
Ожидаемая полезность от принятия k-ой альтернативы решения при усло-
вии, что дерево облетело, рассчитывается следующим образом:
EUT = k|L = t= UCostT = k
+ U
HarvS= i× PS= iS = j, T = k
i,j=t,f
× PS = j|L = t
, k = t, f
Как определено ранее PS = tL = t= 0.4939, PS = fL = t= 0.5061, тогда
EU(T==t)=(-8000)+(20000×0.99×0.5061+3000×0.01×0.5061+
+20000×0.8×0.4939+3000×0.2×0.4939)=10234
EU(T==t)=0+(20000×0.98×0.5061+3000×0.02×0.5061+
+20000×0.01×0.4939+3000×0.99×0.4939)=11514.
Предположим далее, что помимо информации о том, что дерево облетело,
также имеется свидетельство, что узел Засохло находится в состоянии «нет»
(сезон – дождливый), в этом случае ожидаемая полезность, получаемая при обработке дерева, равна 9138 $; а при отказе от нее – 5918 $ (рис. 3.16). Таким
образом, в данной ситуации оптимальным решением будет – проводить обработку дерева.
34
Рис. 3.16
Аналитическое решение
Ожидаемая полезность от принятия k-ой альтернативы решения при усло-
вии, что дерево облетело, но не засохло, рассчитывается следующим образом:
EU
T = k|L = t, =
= UCostT = k
+ U
i,j=t,f
HarvS= i× PS= iS = j, T = k
× PS = j|L = t, D = f,
k = t, f
P(S = j × L = t × D = f)
PS = jL = t, D = f=
, j = t, f
P(L = t × D = f)
PS = j × L = t × D = f= PS = j× PD = f× PL = tS = j, D = f, j = t, f
PL = t × D = f= PD = f× PL = tS = t, D = f× PS = t+
+P(D = f) × P(L = = f, D = f) × P(S = f),
PS = t × L = t × D = f= 0.1 × 0.9 × 0.9 = 0.081
PS = f × L = t × D = f= 0.9 × 0.9 × 0.02 = 0.0162
PL = t × D = f= 0.9 × 0.9 × 0.1 + 0.9 × 0.02 × 0.9 = 0.0972
0.081
PS = tL = t, D = f=
= 0.8333
0.0972
0.0162
PS = fL = t, D = f=
= 0.1667
0.0972
35
EU(T==t,D=f)=(-8000)+(20000×0.99×0.1667+3000×0.01×0.1667+
+20000×0.8×0.8333+3000×0.2×0.8333)=9138
EU(T==t,D=f)=0+(20000×0.98×0.1667+3000×0.02×0.1667+
+20000×0.01×0.8333+3000×0.99×0.8333)=5918.
3.3. Объектно-ориентированные сети в Hugin
Программная среда Hugin поддерживает создание ООС, соответствующих
только основным принципам концепции объектно-ориентированного программирования. Парадигма объектно-ориентированного моделирования в целом,
как известно, содержит также понятия подклассы (subclasses) и наследование
(inheritance). Таким образом, Hugin, по сути, обеспечивает поддержку моделирования проблемных областей через иерархические сети (hierarchical networks).
Для создания ООС в Hugin необходимо сначала построить топологию повторяющегося (структурно) фрагмента сети. Для рассмотренного в подразделе
2.5 примера «Болезни» она показана на рис. 3.17.
Рис. 3.17
Механизм построения топологии фрагмента сети в Hugin аналогичен описанному выше механизму построения БС (подраздел 3.1).
Для того чтобы данную подсеть (рис. 3.17) определить как узел-экземпляр,
в нее необходимо добавить т.н. узлы интерфейса (interface nodes). Узлы интерфейса подразделяют на узлы-входы (input nodes) и узлы-выходы (output nodes).
Узлы-входы экземпляра сети не являются реальными узлами, их следует
рассматривать как «метки» (placeholders) основных узлов подсети. Узлы-входы,
как правило, соединяются с основными узлами направленными связями, и в
этом случае узлы-входы становятся идентичны данным узлам. Однако узелвход может не иметь связей с основными узлами подсети, тогда узел-вход рассматривается как реальный узел. Каждому узлу-входу назначается ТУВ, но она
используется только, если данный узел-вход не связан ни с одним из основных
узлов подсети.
36
Узлы-выходы экземпляра сети являются реальными узлами данной подсети, которые имеют причинно-следственные связи с узлами-входами другого экземпляра сети.
В качестве узлов-входов узла-экземпляра исследуемого примера «Болезни»
следует рассматривать узлы D1пред и D2 пред (D1 prev, D2 prev), являющиеся
«метками» узлов D1 и D2 предыдущего периода времени. Узлами-выходами
необходимо назначить узлы D1 и D2, так как они имеют причинноследственные отношения с узлами-входами узла-экземпляра следующего периода.
Согласно приведенным суждениям следует:
назначить узлы D1 и D2 узлами-выходами (придание узлу статуса узла-
входа или узла-выхода осуществляется в окне «Свойства узла» в поле «Интерфейс» (Interface) (рис. 3.18));
создать два дискретных узла D1 prev и D2 prev;
связать узлы D1 prev и D2 prev с узлами D1 и D2;
назначить узлы D1 prev и D2 prev узлами-входами.
Рис. 3.18
В результате описанных выше действий будет создан узел-экземпляр сети
рассматриваемого примера «Болезни» (рис. 3.19). Следует отметить, что внешний вид узлов-входов и узлов-выходов отличен от «обычных» узлов: их контур
обведен толстой линией, а контур узлов-входов – еще и пунктиром, указывая на
то, что узлы-входы не являются реальными узлами.
37
Рис. 3.19.
Для построения топологии всей сети необходимо размножить данный узелэкземпляр на три периода времени и связать узлы-экземпляры разных периодов
времени друг с другом. Для этого необходимо:
открыть панель сети для создания ООС, выбрав пункт «Новая» (New) в
меню Файл (File) строки меню главного окна;
в строке инструментов открывшейся панели сети выбрать инструмент
«Узел-экземпляр» (Instance node tool) (рис. 3.20);
щелкнуть левой кнопкой мыши в пустом поле панели сети для создания
каждого узла-экземпляра (рис. 3.21).
Рис. 3.20
Рис. 3.21
Следует особо подчеркнуть, что в каждом узле-экземпляре показываются
только узлы интерфейса (узлы-входы – сверху, узлы-выходы – снизу), что позволяет соблюдать принцип объектно-ориентированного программирования –
сокрытие информации.
38
Для завершения построения топологии сети необходимо связать узлывыходы данного узла-экземпляра с узлами-входами следующего узлаэкземпляра.
Структура ООС рассматриваемого примера «Болезни» показана на рис.
3.22.
Рис. 3.22
3.4. Специальные функциональные возможности Hugin
3.4.1. d-разделение
Определение d-отношений в Hugin осуществляется в режиме управления
сетью при помощи опции подменю Анализ/d-разделение/Показать d-разделение
(Analysis/d-Separation/Show d-Separation) меню Сеть (Network) (рис. 3.23).
Рис. 3.23
В результате выполнения процедуры определения d-отношений внешний
вид каждого узла БС меняется:
– исходный узел, то есть узел, отношение которого ко всем
целевым узлам необходимо определить;
– связанный узел, то есть узел, являющийся d-связанным с
исходным узлом;
39
– разделенный узел, то есть узел, являющийся d-
разделенным с исходным узлом;
– конкретизированный узел, то есть узел, значение кото-
рого известно (d-отношение исходного узла с ним не определено);
Опция «Показать d-разделение» (Show d-Separation) (рис. 3.23) позволяет
определить d-отношение между узлами в сети при заданных свидетельствах. На
рис. 3.24 показан результат определения d-отношений между узлом Визит в
Азию? (Visit to Asia?: a) и остальными узлами БС при конкретизированном узле
Туберкулез или рак (Tuberculosis or cancer: t or c). Данный пример более подробно рассмотрен в подразделе 2.2, рис. 2.5. Согласно рис. 3.24 при введенном
свидетельстве переменная a (Visit to Asia?) является d-разделенной с переменной x (X-ray) и d-связанной с переменными t, c, s, b, d (Has tuberculosis, Has lung
cancer, Smoker, Dyspnoea, Has bronchitis).
Рис. 3.24
Используем правило d-разделения для объяснения полученных результатов:
переменная a и переменная x d-разделены при данном t or c, так как
путь между ними содержит конкретизированную последовательную связь (путь
a
t
t or c
x);
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]