Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Учебное пособие-1.pdf
( , )XY
22
4 6 9
33
( , )
x xy y
f x y e
8. Система двух случайных величин
закону распределения с плотностью
Найти числовые характеристики ЗР, получить и построить на плоскости
линии регрессии.
подчинена нормальному
.
71
Контрольная работа №1 "Случайные события" (типовые варианты)
A
B
AAAA
BBBB
CCCC
AAAA
ABCA
,AB
[0,5]
ВАРИАНТ № 1
1. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина.
Сколько можно составить различных букетов?
2. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих
событий:
борке окажется хотя бы один туз}.
3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех выстрелах
равна 0,9919. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
4. По каналу связи передается одна из трех последовательностей букв:
или
мается правильно с вероятностью 0,6; вероятность ее приема за другую — 0,2 и 0,2 (буквы
искажаются независимо друг от друга). Найти вероятность того, что передано
получено
5. Отрезок
отрезок наудачу брошены пять точек. Найти вероятность того, что три из них окажутся левее
точки C и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
6. Найти вероятность того, что в 10 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью
успеха 0,4 появятся 6 успехов, причем 3 из них в трех последних испытаниях.
ВАРИАНТ № 2
{в полученной выборке все карты бубновой масти},
, вероятности которых равны соответственно 0,3, 0,4 и 0,3. Буква прини-
.
длина которого 60 см, разделен точкой C в отношении 3:1. На этот
{в полученной вы-
, если
,
1. Множество E содержит 11 первых букв русского алфавита. Сколько различных
алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность
того, что случайно выбранный алфавит будет содержать букву а?
2. В лотерее выпущено n билетов, из которых mвыигрышные. Куплено k билетов.
Найти вероятность того, что из k билетов хотя бы один выигрышный.
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,46.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно,
что для второго орудия эта вероятность равна 0,6.
4. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбран-
ное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что
мужчин и женщин одинаковое число.)
5. На отрезке
Найти вероятность того, что из этих отрезков можно построить треугольник.
6. В урне 18 белых и 9 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый выну-
тый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают.
Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
наудачу поставлены две точки, разбившие его на три отрезка.
72
ВАРИАНТ № 3
1
p
1. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17-ти, если данные два челове-
ка не могут быть выбраны вместе?
2. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность того, что
будет получен следующий состав: валет, дама и два короля.
3. Вероятность того, что наудачу названный студент сдаст первый экзамен, равна 0,9,
второй экзамен — 0,8 и третий — 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы
один экзамен, считая экзамены независимыми друг от друга.
4. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй — 3 белых и 1 черный шар. Из
первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны вынули наугад один
шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.
5. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого
из которых не превосходит l, будет больше ?l
6. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей — три девочки и
два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
ВАРИАНТ № 4
1. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами
можно составить четыре смешанные пары?
2. В лотерее выпущено n билетов, из которых mвыигрышные. Куплено k билетов.
Найти вероятность того, что из k билетов ровно один выигрышный.
3. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором — 2 белых, 6 крас-
ных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди
вынутых шаров нет синих?
4. Производится серия независимых выстрелов зажигательными снарядами по резер-
вуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p. Если в резервуар
попадает один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью
, если два снаряда, — с
полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.
5. Найти вероятность того, что монета радиусом 2 см, брошенная на бесконечную
шахматную доску с клетками шириной 5 см, пересечет не более одной стороны клетки.
6. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учите-
лем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два
мальчика и одна девочка?
73
Контрольная работа №2 "Случайные величины" (типовые варианты)
2
, 3 0,
()
0, в остальных случаях.
ax x
fx
()Fx
()MX
()DX
()X
{ 1} 0,1PX
{ 5} 0,2PX
92
0, 2,
()
, 2.
x
fx
ax x
()Fx
()MX
()DX
()X
1 2 8
, , ,X X X
1m
2
1 2 8
Y X X X
{3 13}PY
{| 8| 8}PY
(4 ), 1 4,
()
0, в остальных случаях.
ax x x
fx
()Fx
()MX
()DX
()X
X
( ) 2MX
( ) 1DX
1x , 0x , 2x
{ 2 0},PX
{ 1}.PX
ВАРИАНТ № 1
1) В каждом из двух таймов футбольного матча обе команды вместе забивают три мяча с ве-
роятностью 0,2, два мяча — с вероятностью 0,2, один мяч — с вероятностью 0,3 и с вероятностью 0,3 не забивают мячей. Найти математическое ожидание общего числа забитых
в матче мячей.
2) Плотность вероятности непрерывной случайной величины X имеет вид:
а) Найти значение параметра a. б) Построить график функции распределения
Найти
,
и
. г) Найти вероятность того, что случайная величина X
. в)
примет значения из интервала (–1; 1).
3) Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной ве-
личины X, если известно, что
и
. Построить кривую рас-
пределения и найти ее максимум.
ВАРИАНТ № 2
1) В каждом из двух таймов футбольного матча обе команды вместе забивают три мяча с ве-
роятностью 0,1, два мяча — с вероятностью 0,2, один мяч — с вероятностью 0,4 и с вероятностью 0,3 не забивают мячей. Определить закон распределения и дисперсию общего
числа забитых в матче мячей.
2) Плотность вероятности непрерывной случайной величины X имеет вид:
а) Найти значение параметра a. б) Построить график функции распределения
Найти
,
и
. г) Найти вероятность того, что случайная величина X
. в)
примет значения из интервала (3; 4).
3) Независимые случайные величины
имеют нормальный закон распределения
с параметрами
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятности
1) Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Найти закон распределения и
математическое ожидание количества появлений цифры «4» на выбранных костях.
2) Плотность вероятности непрерывной случайной величины X имеет вид:
а) Найти значение параметра a. б) Построить график функции распределения
Найти
примет значения из интервала (3; 5).
3) Случайная величина
чения в точках
,
. Рассматривается случайная величина
,
.
.
ВАРИАНТ № 3
. в)
,
и
. г) Найти вероятность того, что случайная величина X
имеет нормальный закон распределения. Известно, что
,
. Найти: а) плотность вероятности случайной величины X и ее зна-
; б) вероятности
74
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 - Нормированная функция Гаусса
x
2
x
2
1
xe
2
xx
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
x
0,0
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973
0,0
0,1
3970
3965
3961
3856
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,1
0,2
3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,2
0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
0,3
0,4
3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,4
0,5
0,3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,5
0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,6
0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,7
0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,8
0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
0,9
1,0
0,2420
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203
1,0
1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2021
1989
1965
1,1
1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,2
1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,3
1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,4
1,5
0,1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
1,5
1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
1,6
1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804
1,7
1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0631
0669
1,8
1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
1,9
2,0
0,0540
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449
2,0
2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363
2,1
2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290
2,2
2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0299
2,3
2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180
2,4
2,5
0,0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0134
0139
2,5
2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107
2,6
2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081
2,7
2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061
2,8
2,9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0046
2,9
3,0
0,0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
0036
0035
0034
3,0
3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025
3,1
3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018
3,2
3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013
3,3
3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009
3,4
3,5
0,0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006
3,5
3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004
3,6
3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003
3,7
3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002
3,8
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001
3,9
0
0,5
-4 -2 0 2 4
75
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 - Нормированная функция Лапласа Ф(t)
2
t
x
2
0
1
Ф t e dx
2
Ф t Ф t
;
1
0 Ф t ;
2
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
0,00
0,000000
0,32
0,125516
0,64
0,238914
0,96
0,331472
0,01
0,003989
0,33
0,129300
0,65
0,242154
0,97
0,333977
0,02
0,007978
0,34
0,133072
0,66
0,245373
0,98
0,336457
0,03
0,011966
0,35
0,136831
0,67
0,248571
0,99
0,338913
0,04
0,015953
0,36
0,140576
0,68
0,251748
1,00
0,341345
0,05
0,019939
0,37
0,144309
0,69
0,254903
1,01
0,343752
0,06
0,023922
0,38
0,148027
0,70
0,258036
1,02
0,346136
0,07
0,027903
0,39
0,151732
0,71
0,261148
1,03
0,348495
0,08
0,031881
0,40
0,155422
0,72
0,264238
1,04
0,350830
0,09
0,035856
0,41
0,159097
0,73
0,267305
1,05
0,353141
0,10
0,039828
0,42
0,162757
0,74
0,270350
1,06
0,355428
0,11
0,043795
0,43
0,166402
0,75
0,273373
1,07
0,357690
0,12
0,047758
0,44
0,170031
0,76
0,276373
1,08
0,359929
0,13
0,051717
0,45
0,173645
0,77
0,279350
1,09
0,362143
0,14
0,055670
0,46
0,177242
0,78
0,282305
1,10
0,364334
0,15
0,059618
0,47
0,180822
0,79
0,285236
1,11
0,366500
0,16
0,063559
0,48
0,184386
0,80
0,288145
1,12
0,368643
0,17
0,067495
0,49
0,187933
0,81
0,291030
1,13
0,370762
0,18
0,071424
0,50
0,191462
0,82
0,293892
1,14
0,372857
0,19
0,075345
0,51
0,194974
0,83
0,296731
1,15
0,374928
0,20
0,079260
0,52
0,198468
0,84
0,299546
1,16
0,376976
0,21
0,083166
0,53
0,201944
0,85
0,302337
1,17
0,379000
0,22
0,087064
0,54
0,205401
0,86
0,305105
1,18
0,381000
0,23
0,090954
0,55
0,208840
0,87
0,307850
1,19
0,382977
0,24
0,094835
0,56
0,212260
0,88
0,310570
1,20
0,384930
0,25
0,098706
0,57
0,215661
0,89
0,313267
1,21
0,386861
0,26
0,102568
0,58
0,219043
0,90
0,315940
1,22
0,388768
0,27
0,106420
0,59
0,222405
0,91
0,318589
1,23
0,390651
0,28
0,110261
0,60
0,225747
0,92
0,321214
1,24
0,392512
0,29
0,114092
0,61
0,229069
0,93
0,323814
1,25
0,394350
0,30
0,117911
0,62
0,232371
0,94
0,326391
0,31
0,121720
0,63
0,235653
0,95
0,328944
-0,5
0
0,5
-4 -2 0 2 4
76
Продолжение приложения 2
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
1,26
0,3962
1,59
0,4441
1,92
0,4726
2,50
0,4938
1,27
0,3980
1,60
0,4452
1,93
0,4732
2,52
0,4941
1,28
0,3997
1,61
0,4463
1,94
0,4738
2,54
0,4945
1,29
0,4015
1,62
0,4474
1,95
0,4744
2,56
0,4948
1,30
0,4032
1,63
0,4484
1,96
0,4750
2,58
0,4951
1,31
0,4049
1,64
0,4495
1,97
0,4756
2,60
0,4953
1,32
0,4066
1,65
0,4505
1,98
0,4761
2,62
0,4956
1,33
0,4082
1,66
0,4515
1,99
0,4767
2,64
0,4959
1,34
0,4099
1,67
0,4525
2,00
0,4772
2,66
0,4961
1,35
0,4115
1,68
0,4535
2,02
0,4783
2,68
0,4963
1,36
0,4131
1,69
0,4545
2,04
0,4793
2,70
0,4965
1,37
0,4147
1,70
0,4554
2,06
0,4803
2,72
0,4967
1,38
0,4162
1,71
0,4564
2,08
0,4812
2,74
0,4969
1,39
0,4177
1,72
0,4573
2,10
0,4821
2,76
0,4971
1,40
0,4192
1,73
0,4582
2,12
0,4830
2,78
0,4973
1,41
0,4207
1,74
0,4591
2,14
0,4838
2,80
0,4974
1,42
0,4222
1,75
0,4599
2,16
0,4846
2,82
0,4976
1,43
0,4236
1,76
0,4608
2,18
0,4854
2,84
0,4977
1,44
0,4251
1,77
0,4616
2,20
0,4861
2,86
0,4979
1,45
0,4265
1,78
0,4625
2,22
0,4868
2,88
0,4980
1,46
0,4279
1,79
0,4633
2,24
0,4875
2,90
0,4981
1,47
0,4292
1,80
0,4641
2,26
0,4881
2,92
0,4982
1,48
0,4306
1,81
0,4649
2,28
0,4887
2,94
0,4984
1,49
0,4319
1,82
0,4656
2,30
0,4893
2,96
0,4985
1,50
0,4332
1,83
0,4664
2,32
0,4898
2,98
0,4986
1,51
0,4345
1,84
0,4671
2,34
0,4904
3,00
0,49865
1,52
0,4357
1,85
0,4678
2,36
0,4909
3,20
0,49931
1,53
0,4370
1,86
0,4686
2,38
0,4913
3,40
0,49966
1,54
0,4382
1,87
0,4693
2,40
0,4918
3,60
0,499841
1,55
0,4394
1,88
0,4699
2,42
0,4922
3,80
0,499928
1,S6
0,4406
1,89
0,4706
2,44
0,4927
4,00
0,499968
1,57
0,4418
1,90
0,4713
2,46
0,4931
4,50
0,499997
1,58
0,4429
1,91
0,4719
2,48
0,4934
5,00
0,499999
xx
xx
mm
PX ФФ
x
x x x
P X m Ф Ф 2Ф
;
.
.
77
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Типовые законы распределения случайных величин
Закон распределения
P(X), f(x)
F(x)
x
M( X ) m
;
x
D( X ) D
Биномиальный
k k n k
nn
P k C p q
,
q 1 p
x
m np
;
x
D npq
Пуассона
k
n
e
P k ,
k!
np
x
m
;
x
D
Геометрический
k1
P k pq
,
q 1 p
x
1
mp
;
x
2
q
Dp
Равномерный
0, x a
1
f ( x ) , a x b
ba
0, x b
0, x a
xa
F( x ) , a x b
ba
1, x b
x
ab
m
2
;
2
x
ba
D
12
Нормальный (Гаусса)
2
2
( x a )
2
1
f ( x ) e
2
2
2
( t a )
x
2
1
F( x ) e dt
2
x
ma
;
2
x
D
Показательный
(экспоненциальный)
x
0, x 0
f ( x )
e , x 0
,
0
x
0, x 0
F( x )
1 e , x 0
;
t
R(t ) 1 F(t ) e .
x
1
m
;
x
2
1
D
78
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица основных интегралов
a1
a
u
u du C
a1
(a 1)
du u C ;
du
ln u C;
u
u
u
a
a du C;
lna
uu
e du e C;
sinudu cosu C
shu du chu C ;
cosudu sinu C
chu du shu C ;
tgudu ln cosu C;
ctgudu ln sinu C;
2
du
tgu C
cos u
2
du
thu C ;
ch u
2
du
ctgu C
sin u
2
du
cthu C ;
sh u
22
du u
arcsin C;
a
au
22
22
du
ln u u a C;
ua
22
du 1 u
arctg C;
a u a a
22
du 1 a u
ln C;
a u 2a a u
du u
ln tg C;
sinu 2
du u
ln tg C;
cosu 2 4
2
2 2 2 2
u a u
a u du a u arcsin C.
2 2 a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
79
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для студентов вузов. – 10 изд.
– М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 576с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: уч. посо-
бие. – 12-е изд. – М.: Высшее образование, 2008. - 479с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник
для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и ма-
тематической статистике: уч. пособие для студентов вузов. – 4-е изд. – М.:
Высшая школа, 1997. - 400с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математиче-
ской статистике и случайным процессам. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.
– 288с.
6. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Мелешко С.В. Теория веро-
ятностей и математическая статистика. - 2-е изд. - Ставрополь : Агрус, 2013.
- 256с.
7. Литвин Д.Б., Мелешко С.В. Элементы теории вероятностей: Учебное по-
собие. – Ставрополь: Сервисшкола, 2017. – 86 с.
Публикуется в авторской редакции
Подписано в печать 29.08.2017. Бумага офсетная. Гарнитура "Times".
Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 8. Тираж 255 экз. Заказ №14.
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии "Сервисшкола",
355011, г.Ставрополь, ул. 45-я Параллель, 36, те./факс.: (8652) 57-47-27, 57-47-25,
http://книга-ставрополь.рф, e-mail: s-school@mail.ru
80