Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Учебное пособие-1.pdf
2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность то-
го, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными
3. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
4. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извле-
кают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий:
а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5;
б) извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от того, в какой
последовательности они появились.
5. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для
каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фондах книга или нет. И
если книга есть, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или
нет. Что более вероятно — достанет студент книгу или нет, если известно,
что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?
Пример. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15
учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три
учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников
окажется в переплете (событие А).
21
Решение. Первый способ. Требование — хотя бы одни из трех взятых
B C DA
12
5 10
3
15
C C 5 10 9 3! 5 45 45
,
C 2 15 14 13 5 7 13 91
РВ
2 1 3
5 10 15
C /C 20 / 91,Р С C
33
5 15
( ) / 2/ 91.P D C C
45/ 91 20 / 91 2 / 91 67/ 91.РA
A
33
10 15
/ 24 / 91.Р A С С
( ) 1- 1-24 / 91 67 / 91.Р A Р A
учебников в переплете — будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В — один учебник в переплете, С — Два
учебника в переплете, D — три учебника в переплете.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы собы-
тий:
. Найдем вероятности событий В, С и D:
По теореме сложения (13), окончательно получим
Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников
имеет переплет) и
(ни один из взятых учебников не имеет переплета) —
противоположные. Вероятность появления события A
Искомая вероятность, на основании (14)
1. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял
три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при од-
ном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из
стрелков.
22
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий рав-
на 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из
орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность
того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти
вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия
высшего сорта.
5. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8.
Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью,
меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величи-
ны будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4.
Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что
только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
7. Устройство состоит из трех элементов работающих независимо. Вероятно-
сти безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов
соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t
безотказно будут работать:
а) только один элемент;
б) только два элемента;
в) все три элемента.
23
8. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности
12
, ,..., ,
n
H H H
1 1 2 2
/ / ... / ,
nn
P A P H P A H P H P A H P H P A H
12
... 1.
n
P H P H P H
12
, ,..., ,
n
H H H
/
/
ii
i
P H P A H
P H A
PA
1,2,..., .in
1 1 2 2
/ / ... /
nn
P A P H P A H P H P A H P H P A H
отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один
элемент.
9. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы.
Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3;
0,4; 0,6; 0,7.
10. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах рав-
на 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
1.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении
одного из несовместных событий (гипотез)
образующих полную
группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:
(18)
где
Формула Байеса применяется для переоценки вероятностей гипотез в
предположении, что некоторое событие A уже произошло.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из
несовместных событий (гипотез)
которые образуют полную
группу событий. Если событие А уже произошло то вероятности гипотез могут
быть переоценены по формуле Байеса
где
24
,
(19)
.
AB
AB
AB
AB
0,05Р AB
=0,079Р AB
( ) ,0890P AB
0,782Р AB
( ) ( ) 0,05
( ) 0,39.
( ) 0,05 0,079
( ) ( )
A
P AB P AB
PB
PA
P AB P AB
=1- =1-0,39=0,61.
AA
Р B Р В
( ) ( ) 0,089
( ) 0,102.
0,089 0,782
( ) ( ) ( )
A
P AB P AB
PB
P A P AB P AB
( ) 1 ( ) 1 0,102 0,898.
AA
P B P B
Пример. По данным переписи населения (1891 г.) Англии и Уэльса уста-
новлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (
следованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (
светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (
и светлоглазые сыновья (
и сына.
Решение. По условию,
Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец
темноглазый:
Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец
темноглазый:
) — 78,2%. Найти связь между цветом глаз отца
) — 8,9%, светлоглазые отцы
;
) составили 5% об-
;
) — 7,9%,
:
Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец
светлоглазый:
Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец
светлоглазый:
ЗАДАЧИ
1. Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами. В первой урне со-
держатся 3 черных и 2 белых шара, во второй — 2 черных и 2 белых, а в
третьей — 5 черных и 4 белых. Наудачу выбирается урна и из нее наудачу
выбирается шар. Найти вероятность того, что выбранный шар — белый.
25
2. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с
оптический прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела
эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
3. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей —
на заводе №2 и 18 деталей— на заводе №3. Вероятность того, что деталь,
изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны
0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется
отличного качества.
4. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны
наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется
белым.
5. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 ша-
ров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а
затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того,
что взят белый шар.
26
,
k k n k
nn
P k C p q
!
,
!!
k n k
n
n
P k p q
k n k
1qp
6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Ве-
роятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела
эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом
или без него?
7. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бен-
зоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же
шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина,
равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке
подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая
машина.
1.7 Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события равна p событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
или
(20)
где
27
.
Число
0
k
0n
Pk
0
np q k np p
, которому при заданном n соответствует максимальная вероят-
ность
, называется наивероятнейшим числом появления события А. При
заданных n и p это число определяется неравенствами
. (21)
ЗАДАЧИ
1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет 3 раза.
2. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:
а) менее двух раз;
б) не менее двух раз.
3. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четы-
рех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
4. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех
раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено
пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления
события А равна 0,8.
5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее:
а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех?
28
б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из
пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
6. В семье пять детей. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Найти вероятность того, что среди этих детей:
а) два мальчика;
б) не более двух мальчиков;
в) более двух мальчиков;
г) не менее двух и не более трех мальчиков.
7. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему
равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?
8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу
брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся
левее точки С и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания
точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
29
9. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность то-
()
!
k
n
P k e
k
pn
0, , p n pn const
0,1; 100; 10pn
100 000n
0,0001р
5k
100 000 0,0001 10.пр
55
10
100000
10 10
5 0,000045 0,0375.
! 5! 120
k
P e e
k
го, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а
три — на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его
расположения.
Формула Пуассона
, где
(22)
получается в результате предельного перехода из формулы Бернулли (20),
при условиях
. (23)
Приемлемая точность вычислений по формуле Пуассона достигается при
выполнении условий ее практического использования:
. (24)
Пример. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность
того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
Решение. По условию,
,
,
. События, состоя-
щие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число п велико,
а вероятность р мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона (22)
Искомая вероятность
30