Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Учебное пособие-1.pdf
8. Непрерывная СВ X в интервале
0,
( ) ( 0);
x
f x e
0f х
0 0,
( ) sin 0 / 2,
0 / 2.
при x
f x x при x
при x
задана плотностью распределения
вне этого интервала
. Построить f(x).Найти ве-
роятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (1,2).
9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x). Построить F(x), f(x).
41
10. Плотность распределения непрерывной СВ X в интервале
(0, / 2)
( ) sinf x C x
( ) 0fx
4
xx
fx С е e
0, / 6,
( ) 3sin3 , / 6 / 3,
0, / 3.
при x
f x x при x
при x
равна
; вне этого интервала
. Найти постоянный параметр С.
11. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на
всей оси Ох равенством
Найти постоянный параметр С.
12. Задана плотность распределения непрерывной СВ X:
Найти функцию распределения F(x). Построить F(x), f(x).
42
F 1/ 2 1/ arctg( / 2)хх
1
x
1
x
0, 1,
( ) 1/ 2, 1 2,
0, 2.
при x
f x x при x
при x
( ).Fx
13. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения
. Построить F(x). Найти возможное значение
, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина X в
результате испытания примет значение, большее
.
14. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения
Построить F(x), f(x).
43
2.2 Числовые характеристики случайных величин
n
ii
i1
M X p x
M X x f x dx
М С С
М СX С М X
1 2 1 2
М Х Х М Х М Х
1 2 1 2
М Х Х М Х М Х
М( X С ) М X С
o
MX
e
MX
0,5
e
F M X
e
P X M X
.
e
P X M X
2
D Х М Х а
D С 0
2
D СX С D X
22
D Х М Х М Х
1 2 1 2
D( Х Х ) D Х D Х
2
1
2
( ) ,
( ) ,
n
ii
i
i
x a p для ДСВ
DX
x a f x dx для НСВ
x D x
Математическое ожидание (МО) СВ - средневзвешенное значение СВ
;
(31)
Свойства МО СВ (здесь С=const):
1)
2)
3)
4)
5)
;
; (32)
;
- только для независимых СВ;
.
Мода
- наиболее вероятное значение СВ, значение, которому со-
ответствует локальный максимум плотности распределения. Если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.
Медиана
- значение, при котором функция распределения F(x)
равна 1/2. Медиана определяется равенствами
;
Дисперсией СВ D(Х) называется средневзвешенный квадрат ее центриро-
ванного значения
Дисперсия СВ обладает следующими свойствами (здесь С=const):
Среднее квадратическое отклонение (СКО) (стандарт) СВ X - корень
из дисперсии
1)
2)
3)
4)
, где а=М(Х).
(33)
;
;
; (34)
.
. (35)
44
Начальный теоретический момент k-го порядка
k
k
k
MX
1
n
k
k i i
i
px
k
k
x f x dx
k
k
k
M X a
1
n
k
k i i
i
p x a
k
k
x a f x dx
a M X
1
MX
1
0
2
DX
2
2 2 1
3
3 3 1 2 1
32
24
4 4 1 3 1 2 1
4 6 3
i
x
4,3
5,1
10,6
i
p
0,2
0,3
0,5
1
4x
1
0,5p
2
6x
2
0,3p
3
x
3
p
3
x
3
p
( ) 8.MX
- математическое
ожидание (средневзвешенное значение) k-й степени СВ
;
Центральный теоретический момент k-го порядка
(36)
- математиче-
ское ожидание (средневзвешенное значение) k-й степени центрированной СВ
:
Очевидно, что
;
- МО есть первый начальный момент;
, где
. (37)
- первый центральный момент равен нулю;
- дисперсия есть второй центральный момент СВ.
Центральные моменты выражаются через начальные по формулам:
;
;
ЗАДАЧИ
1. Найти МО, дисперсию и СКО ДСВ X, заданной ЗР:
. (38)
2. ДСВ X принимает три возможных значения:
с вероятностью
что
и
с вероятностью
с вероятностью
. Найти
и
;
зная,
45
1
1,x
2
0x
3
1x
( ) 0,1MX
2
( ) 0,9.MX
1, 2 3
,,p p p
1 2 3
, , .x x x
Z 2X-3Y
D X 4, D 5.Y
i
x
131
140
160
180
i
p
0,05
0,1
0,25
0,6
3. Дан пере
4. чень возможных значений дискретной случайной величины X:
,
ее квадрата:
ветствующие возможным значениям
, а также известны математические ожидания этой величины и
;
Найти вероятности
соот-
5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной вели-
чины
, если известно, что
6. Найти дисперсию и СКО ДСВ X, заданной ЗР:
46
7. Найти дисперсию ДСВ X — числа появлений события А в трех независимых
1,2.M Х
1
x
2
x
21
xx
1
x
( ) 1,4;MX
( ) 0,24DX
i
x
2 3 5
i
p
0,1
0,4
0,5
испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что
8. ДСВ X имеет только два возможных значения:
роятность того, что X примет значение
, равна 0,6. Найти закон распреде-
и
, причем
ления величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны:
. Ве-
.
9. Найти моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков ДСВ X, заданной ЗР:
47
Z X+2Y
M X 5
M Y 3
D X 2
D Y 5
Z 3X-4Y
2M Х
6MY
D X 6
D Y 9
1
1x
2
2x
3
3x
2,3M Х
2
( ) 5,9MX
10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z, если
известны математические ожидания и дисперсии X и Y:
а)
,
,
;
б)
,
,
;
11. Дан перечень возможных значений ДСВ X:
вестны МО этой величины и ее квадрата:
,
,
,
;
;
,
,
, а также из-
. Найти
вероятности, соответствующие возможным значениям X.
48
2
( ) ( 2 )f x c x x
( ) 0fx
33
00
0
0
( 0),
1 / ,
()
.
0,
при x x x
xx
Fx
при x x
X
12. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны
две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
13. НСВ X задана плотностью распределении
вне этого интервала
. Найти: а) параметр с; б) М(Х); в) D(X).
в интервале (0,1):
14. Случайная величина задана функцией распределения
Найти М(Х); D(X).и
. Указание. Найти сначала f(x).
49
( ) 0,5fx х
( ) 0fx
2
x( ) (3/ 4) (9 / 2) 6;f x x
( ) 0fx
15. НСВ X задана плотностью распределения
вне этого интервала
. Найти начальные и центральные моменты
первого, второго, третьего и четвертого порядков.
в интервале (0, 2);
16. Случайная величина X в интервале (2, 4) задана плотностью распределения
вне этого интервала
. Найти моду,
математическое ожидание и медиану величины X.
50