Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементарная математика для студентов (адаптационный курс). Учебное пособие
.pdf
154. а)
6;5;
2
5 15.
2 4;
13;
30.
x y
y x
x y
б)
2 4;
x y
2 2
x xy y
155. а)
2 2
x xy y
15;
xy
б)
x xy y
2 2
x y xy
81
Глава 4 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
( ) ( ),
f x g x
( ) ( ),
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x a g x a
§ 17 Общие понятия теории неравенств
Любые два действительных числа можно сравнить, то есть указать, какое из них больше, какое меньше, либо сказать, что они равны
друг другу35. В этой главе будем рассматривать неравенства с одной
неизвестной, то есть выражения вида
и
.
Решением неравенства с одной неизвестной называется такое
значение неизвестной, при подстановке которого в неравенство оно
становится верным. Решить неравенство — значит найти множество
всех его решений. Решение неравенства обычно записывают в виде
промежутка или объединения промежутков. Если в решение неравенства входят отдельные изолированные точки, то их принято записывать в фигурных скобках.
Если неравенство решений не имеет, то для записи ответа можно
использовать знак пустого множества , если же неравенству удовлетворяют все действительные числа, то в ответе пишут R или (–; +).
Два неравенства называются равносильными, если множества их
решений совпадают. Если все решения одного неравенства являются
решениями другого неравенства, то второе неравенство называется
следствием первого.
Неравенства вида
а неравенства вида
и
и
называют строгими,
называют нестрогими.
Знаки неравенств « < » и « > », так же как « » и « », называют
противоположными.
Преобразования, которые приводят к равносильным неравенствам:
1) к обеим частям неравенства можно прибавлять любое число36;
неравенство
35
Во множестве комплексных чисел операция сравнения чисел не определена, то есть неравенства z1 < z2 или z1 > z2 для комплексных чисел не имеют
смысла. Сравнивать можно только модули комплексных чисел.
36
Все перечисленные преобразования неравенств справедливы и для неравенств противоположного знака. Например, неравенство f (x) < g(x) равносильно неравенству f (x) + а < g(x) + а.
равносильно неравенству
;
82
2) обе части неравенства можно умножать и делить на положи-
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
a f x a g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
a f x a g x
( ) ( ) ( )
f x h x g x
( ) ( ) ( )
f x g x h x
( ) ( )
f x a g x
( ) ( )
f x g x a
( ) ( )
f x g x
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x h x
( ) ( )
f x g x
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x h x
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
h x h x
( ) ( )
f x g x
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x h x
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
h x h x
( ) ( )
f x g x
( ) ( ) ( )
N
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f x g x
тельное число, знак неравенства при этом сохраняется: если a > 0, то
неравенство
3) обе части неравенства можно умножать и делить на отрицательное число, знак неравенства при этом меняется на противоположный: если a < 0, то неравенство
венству
4) слагаемое можно переносить из одной части неравенства
в другую с противоположным знаком: неравенство
равносильно неравенству
равносильно неравенству
5) если функция h(x) определена для всех х, для которых определены функции f (x) и g(x), то ее можно прибавлять к обеим частям
неравенства: неравенство
6) если функция h(x) определена и положительна для всех х, для
равносильно неравенству
;
(также неравенство
равносильно неравенству
;
;
равносильно нера-
);
которых определены функции f (x) и g(x), то на нее можно умножать
или делить обе части неравенства: неравенство
сильно неравенствам
7) если функция h(x) определена и отрицательна для всех х,
для которых определены функции f (x) и g(x), то при умножении
или делении на нее знак неравенства меняется на противоположный: неравенство
и
8) если обе части неравенства положительны, то обе части неравенства можно возводить в натуральную степень: неравенство
равносильно неравенству
9) если обе части неравенства положительны, то из обеих частей
;
равносильно неравенствам
и
k k
;
f x g x k
равно-
;
неравенства можно извлекать корни: неравенство
сильно неравенству
10) если обе части неравенства положительны или отрицательны,
то возможен переход к неравенству между обратными величинами
k k
равно-
(k N);
83
с одновременной сменой знака неравенства на противоположный:
( ) ( )
f x g x
1 1
( ) ( )
f x g x
0a
8 3 3 11
x
3 11 8 3 3 6
x x
2 6 3
x
2 6 3
x
2 6 3
x
3 3
x
2 3 10 4 6
x x x
3 2 10 6 4 3 3
x x x x
неравенство
равносильно неравенству
.
§ 18 Линейные и квадратные неравенства
Простейшими неравенствами являются линейные неравенства.
Их приводят к виду ax < b, ax > b, ax b или ax b и при
обе части на a. При этом если a > 0, то при делении на коэффициент
знак неравенства сохраняется, а если a < 0, то знак неравенства меняется на противоположный. При a = 0 неравенство становится числовым, и если оно неверно, то исходное неравенство решений не имеет,
а если верно – то неравенство выполняется при всех значениях x.
Пример 62. Решите неравенство 8 – 3(x + 1) 11.
Решение. Данное неравенство является линейным. Раскроем
скобки, перенесем слагаемые, не содержащие x, в правую часть:
делят
. Разделим обе части нера-
венства на (–3): x –2 (при делении неравенства на отрицательное
число знак неравенства поменяли на противоположный). Решение
неравенства — луч [–2; +).
Ответ: [–2; +).
Пример 63. Решите неравенство:
1 2 3 5 2
x x x
а)
1 6 5 7
x x x
в)
; б)
.
1 8 5 2
x x x
;
Решение. а) Умножим обе части неравенства на положительное
число 6, знак неравенства при умножении не изменится:
. Перенесем слагаемые, содержащие x, в левую
часть, а слагаемые, не содержащие x, — в правую часть:
неравенство x < 4. Решение неравенства — луч (–; 4);
. После приведения подобных получим
84
б) умножим обе части неравенства на положительное число 6:
3 3 8 10 4 6
x x x x
0 1
3 3 6 10 14 6
x x x x
0 11
( ; 4)
( ; )
(4 3)( 2) (4 7)( 1)
x x x x
4 3 8 6 4 7 4 7
x x x x x x
8 1 0,125
x x
ax bx c
ительных
. После упрощений получим числовое нера-
венство
. Это неравенство решений не имеет;
в) умножим обе части неравенства на положительное число 6:
. После упрощений получим числовое не-
равенство
. Это неравенство справедливо для всех действитель-
ных значений переменной, следовательно, x (–; +).
Ответ: а)
; б) ; в)
Пример 64. Решите неравенство
Решение. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые, содер-
жащие х, в левую часть:
2 2
(при делении на (–8) знак неравенства смени-
ли на противоположный).
Ответ: (0,125; +).
При решении квадратных неравенств можно применить график
.
.
квадратичной функции — параболу.
Для квадратного трехчлена
2
в зависимости от знака
старшего коэффициента и дискриминанта возможны следующие
случаи решения неравенств.
Дискриминант
D > 0 (два
действ
корня x1 < x2)
D = 0 (один
действительный
корень)
D < 0 (нет
a > 0
ветви направлены вверх
ax2 + bx + c > 0
при x (–; x1)(x2; +)
ax2 + bx + c < 0
при x (x1; x2)
ax2 + bx + c > 0
при x (–; x1)(x1; +)
ax2 + bx + c < 0 при x ax2 + bx + c > 0 при x
ax2 + bx + c > 0
ветви направлены вниз
ax2 + bx + c > 0
при x (x1; x2)
ax2 + bx + c < 0
при x (–; x1)(x2; +)
ax2 + bx + c < 0
при x (–; x1)(x1; +)
ax2 + bx + c < 0
a < 0
действительных
корней)
при x (–; +)
ax2 + bx + c < 0 при x ax2 + bx + c > 0 при x
при x (–; +)
85
Пример 65. Решите неравенство
16 40 25 0
x x
1,25; 0
32
1,25
16
(4 5) 0
4 5 0
x
7 ( 1) 2
2 8 0
x x
2, 4
25x
25 0
x
25 0
x
5
5x
( ; 5]
[5; )
( ; 5] [5; )
–5 5
х
у
х
–2
9
у
х
у
2
Решение. а) Найдем координаты верши-
.
ны параболы
40
x y
. Ветви па-
раболы направлены вверх (а = 16 > 0), она
находится в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс. Неравенство имеет единст-
1,25
венное решение х = 1,25;
б) поскольку соответствующее квадратное уравнение имеет
20 400 400
два равных корня
x
1,2
квадрата разности, преобразуем неравенство к виду
, то применив формулу
x
правая часть которого неотрицательна и равна нулю, когда
Ответ: 1,25.
Пример 66. Решите неравенство
x
2
.
Решение. Перенесем (–2) в левую часть
2
,
.
и преобразовав ее, получим
2
.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
x x
1 2
. Ветви параболы
направлены вниз (а = –1 < 0) и решением
неравенства является интервал (–2; 4).
Ответ: (–2; 4).
Пример 67. Решите неравенство
2
.
Решение. Перенесем 25 в левую часть
2
корня
. Уравнение
x
1,2
, ветви параболы направлены
2
имеет два
вверх (а = 1 > 0) и она пересекает ось абсцисс
в точках
и находится в верхней полуплоскости вне промежутка между нулями параболы. Поэтому решение неравенства — объединение двух промежутков:
и
.
Ответ:
.
86
§ 19 Дробно-рациональные неравенства
0, 0, 0
( )
0
( )
( )
f x
g x
( )
0
( )
0
( )
f x
( )
0
( )
0
( )
( )
f x
g x
( ) 0
f x
( ) 1
g x
Одним из методов, применяемых для решения алгебраических
неравенств более высоких степеней и дробных неравенств, является
метод интервалов. Дробно-рациональная функция может менять
знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует37.
Данный метод осуществляется в несколько этапов:
а) приводим дробно-рациональное неравенство38 к одному из ви-
( ) ( ) ( )
дов
( ) ( ) ( )
g x g x g x
или
б) находим все корни уравнений f (x) = 0 и g (x) = 0;
в) наносим полученные точки на числовую ось, причем точки,
f x f x f x
f x
( )
g x
;
в которых дробь
не определена (знаменатель дроби g(x) обра-
щается в ноль), всегда будут выколотыми (точки на графике не за-
крашены); если неравенство строгое
числителя дроби
также будут выколотыми (точки не закраше-
ны), а если неравенство нестрогое
f x
g x
f x
( )
g x
или
( )
или
f x
( )
g x
f x
( )
g x
, то корни
, то корни
числителя дроби являются решениями неравенства (точки закрашены);
г) на каждом из образовавшихся интервалов выбирается произ-
вольная точка и определяется знак функции
в этой точке;
д) в ответ записываем интервалы, на которых дробь имеет задан-
ный знак39.
37
Универсальность метода интервалов основана на свойстве непрерывных
функций: «Если на интервале (a; b) функция f (x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».
38
Целое неравенство
нального неравенства, если знаменатель
39
Наиболее часто встречающаяся при решении дробных неравенств ошибка – это умножение неравенства на знаменатель. Такое умножение недопустимо, так как знак знаменателя не постоянен. На промежутке, на котором
является частным случаем дробно-рацио-
.
87
При использовании метода интервалов числитель и знаменатель
( )
( )
f x
g x
( )
( )
f x
g x
( )
( )
f x
g x
( )
0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
0
5 2
x
дроби
можно разложить на множители: тогда для определения
знака функции достаточно будет определить знак каждого из сомно-
жителей. Если же в функции
присутствует в качестве множите-
ля квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней, и, следовательно, не раскладываемый на линейные множители, то его знак
всегда постоянен и совпадает со знаком старшего коэффициента.
Для убыстрения расчетов также можно пользоваться правилом
знакочередования: если все множители, на которые раскладывают-
ся числитель и знаменатель функции
, линейны и различны, то
знаки дроби на интервалах будут чередоваться.
Решение дробно-рациональных неравенств можно свести к рас-
смотрению нескольких систем неравенств. Например, решение нера-
венства
( )
g x
неравенств
Пример 68. Решите неравенство
сводится к решению совокупности двух систем
f x
и
g x
f x
g x
.
( 1)(2 3 )
x x
.
Решение. Начнем с предостережения: умножать неравенство на
выражение, стоящее в знаменателе неравенства, нельзя, так как неизвестно положительно или отрицательно это выражение и надо ли менять знак неравенства на противоположный.
Воспользуемся методом интервалов. Приравняв числитель и знаменатель к нулю, получим три точки: x = –1; x = 2/3; x = 2,5. Так как
неравенство нестрогое, то корни числителя являются решениями
неравенства (на чертеже они закрашены), а корень знаменателя нет
f x
знаменатель положителен, знак неравенства не меняется, а на промежутке, на
котором знаменатель отрицателен, знак неравенства меняется на противоположный. Чтобы получить целое неравенство, равносильное исходному, умножать нужно на квадрат знаменателя, учитывая при этом область его допустимых значений.
88
(на чертеже он не закрашен). В данном
4 (2,5; )
0
5 12
( ; 1] [2 / 3;5/ 2)
( 4) ( 10 9) 0
( 4) ( 1)( 9) 0
( 4) ( 1)( 9) 0, ( 4) ( 1)( 9) 0;
( 4) ( 1)( 9) 0, ( 4) ( 1)( 9) 0.
(1; 4) (4;9)
x
2
( 4)
(1; 4) (4; 9)
( 4) ( 10 9) 0
( 4) ( 1)( 9) 0
+
x 2/3 5/2 –1
+
1
х 9
–
+
+
–4
х
1
случае действует правило знакочередования, и достаточно определить знак
только в одном из интервалов. Напри-
+
мер, можно взять точку
и увидеть, что дробь
(4 1)(2 12)
. Расставим знаки на каждом интервале числовой
прямой и выберем интервалы, на которых дробь отрицательна.
Пример 69. Решите неравенство
Ответ:
x x x
2 2
.
.
Решение. Левая часть неравенства обращается в ноль при х = 4,
х = 1, х = 9, и его можно записать в виде
x x x
2
.
В данном случае правило знакочередования неприменимо, и нужно
определять знаки на каждом интервале:
x x x x x x
x x x x x x
2 2
10 5
x x
2 2
2 0
x x
Расставим знаки на каждом интервале
числовой прямой и выберем интервалы, на
которых произведение отрицательно. Следовательно,
.
4
Замечание. Сокращение на неотрицательный сомножитель
x приводит к появлению постороннего решения неравенства.
Ответ:
Пример 70. Решите неравенство
x x x
2 2
.
Решение. Левая часть неравенства обращается в ноль при х = 1,
х = 9, х = – 4, и его можно записать в виде
x x x
2
Так как неравенство нестрогое, то все
корни соответствующего уравнения являются решениями неравенства (на чертеже они
.
.
закрашены).
89
В данном случае правило знакочередования неприменимо,
( 4) ( 1)( 9) 0, ( 4) ( 1)( 9) 0;
( 4) ( 1)( 9) 0, ( 4) ( 1)( 9) 0
[1; 9] { 4}
x
2
( 4)
[1; 9] { 4}
4
2xx
4 0 0 0
2 2 2
x x x
0
2xx
( ; 2) [8; )
1
4 1
x x
2
– –
+
х
и нужно определять знаки на каждом интервале:
x x x x x x
x x x x x x
2 2
10 5
x x
2 2
0 5
x x
.
Расставим знаки на каждом интервале числовой прямой и выберем интервалы, на которых произведение отрицательно и точки, в которых произведение равно нулю (неравенство нестрогое). Следовательно,
.
Замечание. Сокращение на неотрицательный сомножитель
x приводит к потере решения неравенства.
Ответ:
Пример 71. Решите неравенство
3
.
Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем
.
дроби к общему знаменателю:
3 3 4( 2) 3 4 8
x x x x x
\ 2
x
8
.
Отметим корни числителя х = 8 и знаменателя х = 2 на числовой
прямой и решим неравенство по правилу знакочередования. Так как
неравенство нестрогое, то корень числителя является решением неравенства (на чертеже он закрашен), а корень
знаменателя нет (на чертеже он не закрашен). Расставим знаки на каждом интервале
числовой прямой и выберем интервалы, на
которых дробь отрицательна.
Ответ:
2 1
Пример 72(*). Решите неравенство
x
.
.
Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем
дроби к общему знаменателю:
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]