Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементарная математика для студентов (адаптационный курс). Учебное пособие
.pdf
4 12; 3;
( 2)( 5) 15; 5 15;
(5 ) 11, 3 15 11,
3; 3;
10 ; 3;
30 3 15 11, 13.
( 3)( 3 4) 2 2 13 12
( )
f x
( ) 0
g x
( )
q x
( ) ( ) ( )
f x g x q x
1 ( 1)( 1)( 1)
( 1)
( 1)
( )
f x
( )
g x
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x q x r x
a a
a b c b c
a b c b c
a a
b c b
c c c
Заданное в условии равенство имеет вид
2 2 4 3 2
x x x x x x x x
Введем операцию деления многочленов.
Многочлен
делится (нацело) на многочлен
существует такой многочлен
.
Например, из равенства
4
x
делится на (х – 1) и на
4 2
x x x x
2
x
.
Ответ: a = –3, b = –3, c = 13.
, если
, что выполняется равенство
следует, что
.
Многочлен q(x) называется частным от деления
на
и
определяется однозначно.
Делимость многочленов обладает многими свойствами, которы-
ми обладает делимость целых чисел.
Как и деление чисел, деление многочлена на многочлен нацело
возможно не всегда. В этом случае говорят о делении с остатком.
Для любого многочлена f (x) и любого ненулевого многочлена g(x)
существует единственная пара многочленов q(x) и r(x), для которой
выполняется равенство
, где многочлен r(x)
либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g(x).
Многочлен q(x) называют частным, r(x) — остатком.
Существует несколько способов вычисления частного и остатка.
Наиболее удобный метод вычисления, который чаще всего применяется на практике для нахождения частного и остатка, — это метод
«деления уголком».
111
Пример 92. Найдите частное и остаток при делении
( ) 4 7 6 3 1
f x x x x x
( ) 3
_ 4 7 6 0 3 1 3
4 4 12 4 3 3
x x x x x
( ) 4 3 3, ( ) 15 6 8
q x x x r x x x
( )
f x
( )
g x
( )
f x
( )
g x
( )
f x
0
x x
( )
f x
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
f x x x q x f x
( )
f x
0
x x
, ,...,
k
x x x
( )
f x
( )
f x
( )( )...( )
k
x x x x x x
( ) ( )( )...( ) ( )
f x x x x x x x q x
( )
q x
5 4 3
на
g x x x
3 2
.
Решение. Выполним деление «уголком»
5 4 3 2 3 2
x x x x x x x
5 4 2 2
4 3 2
_3 6 12 3
x x x x
4 3
3 3 9
x x x
3 2
_ 3 12 6 1
x x x
3 2
3 3 9
x x
2
15 6 8
x x
Ответ:
Очевидно, что
остаток r(x) от деления
делится на
на
2 2
тогда и только тогда, когда
равен нулю.
Важную роль в теории многочленов и ее приложениях имеет теорема, показывающая связь между значениями многочленов в точке и
остатком при делении этого многочлена на линейный двучлен.
Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена
член
равен значению многочлена
в точке х0, то есть
на дву-
.
Основные следствия из этой теоремы:
1. Многочлен
делится на
тогда и только тогда,
когда число х0 является его корнем.
2. Если
1 2
— различные корни многочлена
, то
.
делится на произведение
Таким образом,
обозначено частное от деления.
3. Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не
больше чем его степень.
4. Если значения двух многочленов, степени которых не больше n,
совпадают в (n + 1)-й точке, то эти многочлены равны.
1 2
1 2
112
.
k
, где через
Теорема Безу позволяет найти остаток от деления многочлена
( )
f x
0
x x
0
x x
n
f x a x a x a
( )
f x
0
x x
0 1 1
n
q x b x b x b
0 0 1 1 0 0 2 2 0 1 1 1 0 2
0 1
, , , ..., ,
n n
0
x
0 0
b a
1 1 0 0
b a x b
…
1 1 0 2
n n n
b a x b
0 1
n n
r a x b
2 4 7 9
x x x x
2 1 2 4
2 4 4 4
2 4 7 15
2 15 9 39
( ) 4 4 15, 39
на двучлен
. Но при решении некоторых задач необходимо
знать не только остаток, но и частное. При делении многочлена на
двучлен
для отыскания частного и остатка применяют более
простой, чем «деление уголком», метод, называемый «схемой Горнера».
Пусть
( ) ...
0 1
ное от деления
1 2
n n
( ) ...
n n
на двучлен
1
— многочлен степени n. Част-
будем искать в виде
.
Применив определение равенства многочленов в алгебраической
форме для определения коэффициентов частного q(x) и остатка r,
получим систему
b a b a x b b a x b b a x b
r a x b
.
n n n
Удобно схему Горнера записывать в виде таблицы.
Корень
много-
a0 a1 …
Коэффициенты делимого
a
an
n–1
члена
Коэффициенты частного Остаток
Пример 93. Найдите частное и остаток при делении многочлена
4 3 2
на двучлен х – 2.
Решение. Составим таблицу, записывая коэффициенты многочлена в первую строку таблицы.
Корень
много-
1 2 – 4 7 9
Коэффициенты делимого
члена
2 1
Коэффициенты частного Остаток
Ответ:
113
q x x x x r
3 2
.
При решении алгебраических уравнений и неравенств нужно
p
q
n
f x a x a x a
a q a p
3 10 24 0
x x x
( ) 3 10 24
(2) 8 6 4 2 2 12 0
f
( 2)( 12) 0
12 0
x x
4, 3
находить нули (корни) выражений. Если выражение является
многочленом с целыми коэффициентами, то всегда можно отыскать
все его рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они
существуют. Способ отыскания рациональных корней многочленов
с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.
Теорема. Если несократимая дробь
члена
( ) ...
n n
0 1
1
с целыми коэффициентами, то его
является корнем много-
свободный член делится на p, а старший коэффициент делится на q,
т.е.
,
0
.
n
Из этой теоремы вытекает важное следствие. Если старший ко-
эффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то все
рациональные корни многочлена — целые и являются делителями
свободного члена.
Из теоремы следует, что для нахождения рациональных корней
многочлена с целыми коэффициентами нужно выписать все делители
свободного члена, все положительные делители старшего коэффициента, составить из этих чисел несократимые дроби и проверить, какие
из этих дробей являются корнями многочлена.
Пример 94. Решите уравнение
3 2
. Разложите
многочлен, стоящий в правой части, на множители.
Решение. Многочлен
f x x x x
3 2
имеет целые ко-
эффициенты, рациональные корни этого многочлена, если они есть,
являются целыми и находятся среди делителей свободного члена. По-
этому искать рациональные корни следует среди чисел 1, 2, 3, 4,
6, 12, 24. Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем
многочлена (
делится на х – 2. Выполнив деление, получим
Решая квадратное уравнение
x x
2 3
. Итак, исходное уравнение имеет три действительных
2
114
). По теореме Безу многочлен
x x x
2
, найдем его корни
.
корня х = –3, х = 2, х = 4. Заданный в условии многочлен представим
6 2 12 ( 3)( 2)( 4)
( 4 3)( ) 6 15
( 3)(3 ) 3 6 12
( )
f x
( )
g x
( ) 5 7 4, ( ) 2
f x x x x g x x
( ) 3 7 10 24, ( ) 3
f x x x x g x x
( ) 4 3 21 36, ( ) 4
f x x x x x g x x
( )
f x
( )
g x
( ) 3 29 4, ( ) 7 1
f x x x x g x x x
( ) 7 7 4, ( ) 2 1
f x x x x x g x x x
( ) 3 5 2, ( ) 2
f x x x x x g x x x
( )
f x
x a
( ) 3 24 7 2, 4
( ) 6 7 11, 2
( ) 3 9 23 14, 4
( ) 6 2 7 11 32
1x
в виде произведения линейных множителей
3 2
x x x x x x
.
Ответ: –3; 2; 4.
Упражнения
203. При каких значениях неизвестных коэффициентов справед-
ливы равенства
а)
б)
2 2 4 3 2
x x x ax d x x bx cx
3 2 4 3 2
x ax bx x c x dx x x
204. Найдите частное от деления многочлена
, если
а)
б)
в)
4 3 2
4 3
4 3 2
;
;
205. Найдите частное от деления многочлена
, если
а)
б)
в)
3 2 2
4 3 2 2
4 3 2 2
;
;
.
на многочлен
.
на многочлен
;
.
206. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена
на двучлен
а)
f x x x x x a
б)
f x x x x a
в)
f x x x x x a
4 3 2
4 2
4 3 2
, если
;
;
.
В ответе укажите частное q(x) и остаток r от деления.
207. Не выполняя операции деления, найдите остаток от деления
многочлена
f x x x x x x
5 4 3 2
на двучлен
115
.
208. Найдите целые корни многочлена. Разложите многочлен на
( ) 6 11 6
f x x x x
( ) 3 3 16 12
( ) 3 6 12 8
f x x x x x
( ) 2 3
f x x x x x
( ) 13 12
( ) 2 7 20 12
( ) 3 4 8 8
f x x x x x
( ) 4 5 2
f x x x x x x
множители с целыми коэффициентами:
а)
3 2
;
б)
f x x x x x
в)
г)
4 3 2
4 3 2
4 3 2
;
;
.
209. Найдите целые корни многочлена. Разложите многочлен на
множители с целыми коэффициентами:
а)
f x x x x x
б)
f x x x x x
в)
г)
4 3 2
4 3 2
4 3 2
5 4 3 2
;
;
;
.
116
Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
0
x x x
0 0
( ) ( )
f f x x f x
0
( ) ( )
f x f x
f
x
0
t
0
S
0
t t t
0
S S S
S
t
t
0
t
S
t
( )
y f x
lim ( )
A f x
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 25 Понятие производной
Центральные понятия дифференциального исчисления, производная и дифференциал, возникли при рассмотрении задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и
того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения
скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
Используя понятия приращения аргумента
щения функции
запишем в виде
.
, соотношение
и прира-
x x
0
Задача о движении точки. Пусть точка M движется прямоли-
нейно. К моменту времени
она прошла путь
, а к моменту времени t она прошла путь S. Тогда за промежуток времени
точка M прошла путь
участке равна
v
cp
. При уменьшении
. Средняя скорость точки на этом
средняя скорость бу-
дет меняться, характеризуя движение на все меньшем промежутке.
Поэтому за скорость точки в момент времени
принимают пре-
дел48
( ) lim
v t
Задача о касательной к кривой. Пусть на плоскости XOY задана
непрерывная кривая
вой в точке М0(х0, у0).
48
Точка A называется пределом функции f (x) в точке x0, если для любого
положительного числа ε существует положительное число δ = δ(ε) такое, что
для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 < |x – x0| < δ, (х –
бесконечно малая) следует |f (x) – A| < ε (разность f (x) – A также бесконечно
малая). Передел функции f (x) в точке x0 обозначается
0
t
0
.
. Найдем уравнение касательной к кри-
.
x x
0
117
Возьмем на кривой произвольную точку М(х, у). Обозначим
x x x
y y y
x x x y y y
0x
0 0
( )
y y k x x
MK y
M K x
f x x f x y
x x
( )
y f x
( )
y f x
0
x
x x
( )
y f x
0
x
0 0
( ), ( )
y x f x
0
( )
dy x
dx
0 0
( ) ( )
f f x x f x
x x
( )
y f x
x
K
М М
0
x
разности
y
0
у
(х = M0K),
0 0
,
0
. Проведем секущую М0М.
(y = MK). Тогда
Касательной к кривой называется предельное
положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь
по кривой, приближается к точке М0, то есть
. Уравнение секущей М0М имеет вид
, где k — угловой коэффициент
прямой. Из прямоугольного треугольника М0МK получаем,
tg
k
что
k
0
( ) ( )
lim lim
0 0
x x
0 0
. Угловой коэффициент касательной
.
Дадим определение производной для произвольной функции
, где x R, y R. Такая функция называется скалярной
функцией скалярного аргумента. Пусть функция
лена на некотором промежутке [a; b] и точки
и
0
опреде-
принадле-
жат этому промежутку.
Производная функции — это отношение приращения функции
к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.
Приведем строгое определение производной функции.
Производной функции
в точке
называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к 0.
Обозначается производная
( ) lim lim
f x
0
0 0
x x
или
.
.
Вычисление производной функции называется дифференциро-
ванием. Если функция
имеет производную в каждой точке
118
некоторого множества, то ее называют дифференцируемой на этом
( )
y f x
0
x
( )
y f x
0
x
0 0 0
( ) ( )( )
y f x f x x x
( )
S f t
0
t
0
t
0 0
( ) ( )
v t f t
( )
u x
( )
v x
u v u v
u v u v
u v u v u v
c u c u
u u v u v
множестве49.
Геометрически существование производной функции
в точке
означает, что в этой точке можно провести касательную
к графику функции. Угловой коэффициент касательной к графику
функции
в точке
равен значению производной функции
в этой точке, а уравнение касательной имеет вид
.
Физический смысл производной — это мгновенная скорость точ-
ки. Если точка движется прямолинейно и путь, пройденный к моменту t, вычисляется по формуле
равна значению производной функции в точке
, то скорость точки в момент
:
.
Основные правила дифференцирования
Пусть функции
и
имеют производные на интервале
(a; b).
1. Производная суммы равна сумме производных:
( )
.
2. Производная разности равна разности производных:
( )
.
3. Производная произведения равна сумме произведения производной первого сомножителя на второй и произведения производной
второго сомножителя на первый:
( )
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
( )
.
5. Производная отношения равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения производной
знаменателя на числитель, деленной на квадрат знаменателя:
v
2
v
.
49
Для функции нескольких переменных (функции векторного аргумента)
из условия существования производной не следует ее дифференцируемость.
119
6. Пусть задана сложная функция (суперпозиция функций)
( ( ))
y f x
( )
y f u
( )
u x
( ( ))
y f x
( ( )) ( )
y f x x
( )
y f kx b
( )
y k f kx b
( ) 0
1
p p
x px
(sin ) cos
x x
(cos ) sin
x x
2
1
cos
x
2
1
sinxx
x x
e e
1
x
1
2
x
3 1
1
x
x
3 1 (3 1) ( 1) (3 1)( 1) 3( 1) 2 (3 1)
2 2 2
2 2 2 2
3 3 6 2 3 2 3
( 1) ( 1)
x x x x x
(3) 0,18
, (3) 0,18
, причем функции
ные, тогда функция
также имеет производную. Произ-
и
имеют производ-
водная сложной функции равна произведению производных элементарных функции, суперпозицией которых является данная функция:
u
7. Производная функции
.
вычисляется по формуле50
.
Таблица производных
1.
3.
5.
c
(tg )
x
; 2.
; 4.
; 6.
( )
(ctg )
;
;
;
7. ( )
В частности,
Пример 95. Найдите производную функции
; 8.
2 3 2
( ) 2 , ( ) 3 , ( )
x x x x x
(ln )x
.
y
лите ее значение при х = 3.
Решение. Воспользуемся формулой производной дроби:
2 2 2
y
x x x x x x x x
2 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1)
x x x
x x
3 2 3 3 3
Тогда
y
2 2
(3 1)
.
2
.
.
и вычис-
2
3 2 3
x x
Ответ:
50
Производная функции y = f (kx + b) – частный случай производной слож-
ной функции, когда u = kx + b и u = k.
120
y y
2 2
( 1)
x
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]