Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементарная математика для студентов (адаптационный курс). Учебное пособие
.pdf
31. а)
8 2 7 8
4 2
4 ( 2) 2
a a a
: 3
x x x
2
12
a
a
2 4 2 4
x x x x
27 64
3 9 4 16
x x x x
2/25
x
x
4/7 2/7
3
x x
x
12 36 22 121
24 144 10 20
x x x x
8 ( 8) 32
x x x x
15
10 25 ( 6) 4 20
1 2
1 : 2
8 3
0,2 0,25 2,5 0,027 0,1 16
0,5 0,64 0,8 0,064 0,1 81
1/5 3/2
4
x x x x
2 2
x x x
4 2
2
;
x x
б)
32. а)
б)
33. а)
34. а)
35. а)
б)
a a a a
2 2
2
3 3 2 3
x x x
2
x
( 2) ( 2)
a a
8 8
2 2
255x
2/25
2 2
x x x x при –6 x 11;
2
3 3
2
3 3
x x
4/25
2 2
2 2
4 2
a a a
2
4 4
x x
.
; б)
; б)
x
10
.
2
2 2
6/7
x
2/7
10
x
;
3 3
x x
27
, если x [1; 10].
3
11
.
.
36. а)
б)
37. а)
в)
38. а)
б)
4 2 2
x x x x x
3 3
.
1/3
16
a
6 1/5 3/8
(9 ) : :
b b
a
2
; б)
3
2/15
2
2
1
3
3
b
, если
: 2
3/20
7 4/3
a a
1/4
3
b
3
;
4
x ;
3
;
, если х = 3.
4
.
11
В задачах 35, 36 применить свойство модуля п. 8.
21
§ 2 Преобразование тригонометрических выражений
180
180 (rad)
(rad).
y
R
x
R
iz iz
iz iz
М
х
у
О
Пусть на плоскости задана декартова система координат Oxy. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Радиус
ОМ образует с положительным направлением
оси ОХ угол . Если поворот вектора ОМ от положительного направления оси ОХ осуществляется против часовой стрелки, то говорят, что
угол положительный, а если по часовой стрелке, то угол отрицательный. Углы в тригонометрии измеряются в градусах и радианах.
Развернутый угол
равен радиан. Каждой точке на окружности
соответствует бесконечно много углов, отличающихся на 360 или 2
радиан. Перевод из градусов в радианы и из радианов в градусы
осуществляется с помощью пропорции
x
Определения основных тригонометрических функций12
Синусом угла называется отношение ординаты точки М
к радиусу окружности
sin
. Синус определен для всех углов .
В 1-й и 2-й четвертях синус принимает положительные значения,
в 3-й и 4-й — отрицательные.
Косинусом угла называется отношение абсциссы точки М
к радиусу окружности
cos
. Косинус определен для всех
углов . В 1-й и 4-й четвертях косинус принимает положительные
значения, во 2-й и 3-й — отрицательные.
12
гонометрических выражений для действительных углов. Тригонометрические выражения для комплексного переменного определяются через показа-
тельные выражения, например
В этом параграфе приведены определения и перечислены свойства три-
sin 0,5
z i e e
22
cos 0,5
z e e
,
.
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки М
y
x
( )
2
Z
x
y
( )
n n
Z
sin ,
a
c
cos ,
b
c
a
b
sin( 2 ) sin
n
cos( 2 ) cos
n
tg( ) tg
n
ctg( )
n
ctg
( )
n
Z
c
b
a
к ее абсциссе
от
n n
tg
.
. Тангенс определен для всех углов , отличных
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки М
к ее ординате ctg
отличных от
. Котангенс определен для всех углов ,
.
В 1-й и 3-й четвертях тангенс и котангенс принимают положи-
тельные значения, во 2-й и 4-й – отрицательные.
Тригонометрические функции острых углов (0 < < 90) имеют
следующий геометрический смысл: в произвольном
прямоугольном треугольнике sin равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе, cos — отношению прилежащего катета к гипотенузе, tg —
отношению противолежащего катета к прилежащему, ctg — отношению прилежащего катета к противолежащему:
tg
.
Если радиус окружности R = 1, то sin = y, cos = x.
Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, то есть
sin(–) = – sin, tg(–) = – tg, ctg(–) = – ctg, косинус — четная
функция, то есть cos(–) = cos. Если R (угол действитель-
ный), то синус и косинус функции ограниченные: |sin| 1,
|cos| 113. Все четыре функции периодические:
(период T = 2),
(период T = )
.
,
,
13
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать любое
действительное или комплексное значение.
23
Значения тригонометрических функций в стандартных углах
6
4
3
2
32
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3
3
sin cos 1
sin
cos
cos
sin
tg ctg 1
2
1
cos
2
1
sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
Углы, /rad
Функции
sin
cos
tg
ctg
0/0
0
1
0
–
30/
45/
1
1
60/
90/
180/
270/
360/
1 0 –1 0
0 –1 0 –1
– 0 – 0
0 – 0 –
Основные соотношения
между тригонометрическими функциями одного аргумента
1.
2 2
.
2. а)
3. а)
tg
1 tg
2
; б)
; б)
ctg
1 ctg
2
; в)
.
.
Равенство п. 1 называется основным тригонометрическим то-
ждеством, а равенства п. 3 — следствиями из основного тождества.
Формулы сложения аргументов
4.
5.
6.
7.
.
.
.
.
24
Формулы приведения
,
2
sin2 2sin cos
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2sin 1 cos
2
1 cos
2cos 1 cos
2
1 cos
Формулы приведения позволяют выразить значение тригонометрической функции любого угла через значение тригонометрической
функции острого угла.
90 – 90 + 180 – 180 +
sin cos cos sin –sin
cos sin –sin –cos –cos
tg ctg –ctg –tg tg
ctg tg –tg –ctg ctg
270 – 270 + 360 – 360 +
sin –cos –cos –sin sin
cos –sin sin cos cos
tg ctg –ctg –tg tg
ctg tg –tg –ctg ctg
Анализируя формулы приведения, можно отметить следующее:
если угол откладывается от горизонтального диаметра (
), то функция не меняется, если же угол откладывается от
3
вертикального диаметра
,
, то функция меняется на
2 2
кофункцию (синус косинус, тангенс котангенс). Знак в формуле
совпадает со знаком исходной функции в той четверти, в которой
лежит угол .
Тригонометрические функции двойных и половинных углов,
формулы понижения степени
8.
9.
10.
11.
2
2
.
;
;
sin
2 2
cos
2 2
.
.
.
25
12. а)
2
2tg
1 tg
2
2
1 tg
1 tg
1 cos2
2
1 cos 2
2
sin cos sin( ) sin( )
2
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2
9sin
4 2
2
2
sin 1 cos
2
sin 0
9sin 9 1 cos 9 1 9 9 7
sin2
; б)
cos2
.
Формулы пп. 10 и 11, записанные в виде
cos
2
, называют формулами понижения степени,
и
sin
2
а формулы п. 12 применяют, выполняя универсальную тригонометрическую подстановку.
Формулы преобразования произведения функций в сумму
и суммы функций в произведение
13.
14.
15.
1
1
1
.
.
.
16.
sin sin 2sin cos
17.
sin sin 2sin cos
18.
cos cos 2 cos cos
19.
cos cos 2sin sin
Пример 12. Вычислите
, если
.
.
.
.
cos9
и
Решение. Из основного тригонометрического тождества получа-
ем
зом,
. Так как
2
, то
. Таким обра-
32 49 7
81 81 9
.
.
26
Ответ: –7.
Пример 13. Вычислите
16sin
5tg39
2
2
1 ctg
1 39
tg 5
2
1 ctg
16sin 16 : 1 16 10
5sin150 3sin60 tg30 ctg45
5sin150 3sin 60 tg30 ctg 45 5sin(180 30 )
3sin 60 tg30 ctg45 5sin30 3sin60 tg 30 ctg45
5 3 1 2,5 1,5 4
2 2 3
sin 0,51
BC AC
AB AB
cos 1 sin 1 0,51 0,7
cos 15 0,7 10,5
AC AB A
ctg 220
sin155 sin65 cos 65 cos 25
С
А В
, если
и
.
Решение. По следствию к основному тригонометрическому
1
. Так как
ctg
тождеству
sin
2
1
sin
Итак,
(угол из второй четверти, синус положителен).
39 25 16 5
.
25 64 8
Ответ: 10.
Пример 14. Вычислите
.
Решение. Применим формулу приведения и вычислим значения
тригонометрических функций в стандартных углах:
1 3 3
.
, то
Ответ: 4.
Пример 15. В треугольнике АВС угол С – пря-
мой, АВ = 15,
A . Найдите АС.
Решение. В треугольнике АВС выполняются
равенства
sin , cos
A A
.
Из основного тригонометрического тождества выразим косинус
угла А:
A A
2
(угол А — острый, поэтому
косинус угла А положителен). Теперь нетрудно найти АС:
.
Ответ: 10,5.
Пример 16(*). Вычислите значение тригонометрического выра-
жения
cos340 sin 20 cos20 sin20
.
27
Решение. Применим формулы приведения:
ctg220
cos(360 20 )sin 20 cos20 sin20
sin(180 25 )sin65 cos65 cos25
ctg(180 40 ) ctg 40
sin 25 sin65 cos65 cos 25
2cos 20 sin 20 sin 40 ctg 40
cos65 cos25 sin25 sin 65 cos(65 25 )
3 5 7
8 8 8 8
1 1 2 3 1 3 1 2
8 2 4 2 2 8 2 4 2 2
5 1 5 1 2 7 1 7 1 2
sin 1 cos , sin 1 cos .
8 2 4 2 2 8 2 4 2 2
cos cos cos ,
cos cos cos ,
7 2
4 4 4 2
8 8 8 8
2
2 2 2 2 2 2 2 2
cos340 sin 20 cos20 sin20
sin155 sin65 cos65 cos25
cos20 sin 20 cos20 sin 20
.
Применим формулы синуса двойного угла и косинуса разности
двух углов:
ctg40
sin40
cos40
cos40
1.
sin40
Ответ: 1.
Пример 17(*). Вычислите
2 2 2 2
sin sin sin sin
.
Решение. Применим формулы понижения степени
2 2
sin 1 cos , sin 1 cos
2 2
Значения косинусов нашли через формулы приведения:
3 2
4 4 4 2
5 2
4 4 4 2
cos cos 2 cos
Итак,
sin sin sin sin
2 2 2 2
3 5 7
.
,
1 2 1 2 1 2 1 2
.
28
Ответ: 2.
3cos2 4sin2 7
tg 0,5
2
2 2
2tg 1 tg
1 tg 1 tg
sin 2 0,8; cos2 0,6
3cos2
4sin2 7 3 0,6 4 0,8 7 12
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
1 cos cos2 cos3 (1 cos2 ) (cos cos3 )
cos cos2 cos cos2
2cos
2cos
8sin
7
2
10cos
1
2
17cos
15
17
3
2
5tg
4
2
Пример 18(*). Вычислите
Решение.
sin2 , cos2
, если
.
(формулы 12),
2 0,5 1 0,25
поэтому
1 0,25 1 0,25
и
.
Ответ: 12.
Пример 19(*). Упростите выражение
2
.
Решение. Для упрощения выражения применим формулы двойного и половинного углов и формулу преобразования суммы косинусов в произведение
cos 2cos 1 cos (2cos 1)
2 2
3 3
2cos 2 cos cos
2
2 2
2cos (cos cos2 )
cos cos2
Вычислите
39.
40.
41.
, если
, если
, если
cos4
sin10
sin
.
Упражнения
и
0
и
и
2
2cos 2cos cos2
Ответ:
.
.
.
.
42.
, если
sin41
и
0
29
.
43.
3cos
5
2
7sin
6tg13
3
2
2sin150 3sin60 tg30 ctg45
2 sin45 cos150 tg60 sin150
4 5 5
2 sin cos tg
3 4 6
10(cos14 cos46 sin14 sin44 )
8(cos65 sin 20 sin65 cos20 )
sin2
sin 0,1
90 180
16cos2
5
5cos2
3
16cos2
sin 0,75
6 sin
cos2 0,25
2
sin2 , cos2
1
3
2 2 2 4
sin sin cos cos
2 4 2 4
sin sin 1 1
cos cos cos cos
sin2 2sin
(1 cos )sin
2
cos2 cos
sin
2
2(sin15 cos15 )
2(sin22,5 cos22,5 ) 2
sin (1 ctg ) cos (1 tg )
sin (1 ctg ) cos (1 tg )
sin15 cos15
, если
tg2
и
0
.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
, если
, если
, если
, если
, если
и
cos4
cos5
и
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54.
55.
, если
, если
Упростите выражение
56. а)
2 4
б)
57. а)
; б)
в)
58. а)
б)
2 2 2 2
2 2
tg
; г)
и
.
;
.
.
2
;
.
;
2
.
59.
6
sin5 cos5
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]