Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электрофизические основы электроэнергетики. Учебное пособие
.pdf
Аналогично ток в любой точке линии можно определить как сумму
12
i
21
i
/
p v
x x x
V W U
двух волн тока, одна из которых (
координаты x, вторая (
) – в сторону убывания координаты x.
) движется в сторону увеличения
Связь между волнами токов и напряжений можно определить, подставив для этого в уравнения (3.2) решение (3.4).
Для
получим
x x
( ) ,
p LC u pLi u i
u e pL i e
12 12
12 12 12 12
, .
L
C
Для
/p v
u i Z i
21 21 21.c
L
C
Таким образом, принимается следующее направление волн токов и
напряжений:
Для более удобного составления программ расчета волновых процессов введем понятие обобщенной электромагнитной волны:
V u Z i u Z i (3.6)
1 1 1 1 1
x x c x x c x
2 2
W u Z i u Z i
1 1 1 1
x x c x x c
V W u u Z i Z i u
1 1 1 1 1 1
x x x x c x c x x
u u
x x
Сложив уравнения (3.6) и (3.7), получим
2 2
(3.7)
(3.8)
2 .
.
1 1
41
Выведем правило эквивалентной волны, необходимое для расчета
x
Z
напряжений и токов в схемах, содержащих узлы с сосредоточенными
параметрами, соединенные длинными линиями.
Предположим, что в узел x приходят волны по нескольким линиям
(n линиям), при этом будем считать известными значения обобщенных
волн, приходящих в узел, и нагрузку, включенную в узел (
).
На рис. 3.1 показана схема рассматриваемого узла
Рис. 3.1. К пояснению эквивалентной метода волн
Запишем систему уравнений для узла x:
n
( ) ,
i i i
1 1
x x x
1
i
V W u
1 1
x x x
V u Z i n
1 1 1
x x c x
W u Z i
1 1 1
x x c x
u f i
( ).
x x
2
, штук
(3.9)
Произведем следующие преобразования:
V V V W
ix xi ix xi
i i i
ix xi x
, , ,
2 2 2 2
Z Z Z Z
ci ci ci ci
n
1
i
n n n
= 2 , , .
W u V i u i
xi x ix x x x
2 2 2
1 1 1
i i i
2
V u V V
ix x ix ix
Z Z Z Z
ci ci ci ci
1
42
n
э
V
э э
x x
V u Z i
Обозначив
1
i
1 1
(
Z Z
ci
Z – эквивалентное волновое сопротивле-
э
э
ние), получим следующее выражение:
n
Обозначим
i
n
V Z
1
V
ix
Z Z
1
i
ci
э
ix
Z
ci
(
V – эквивалентная обобщенная волна).
э
1
u i
x x
э
.
Получим:
– правило эквивалентной волны;
2
u u Z i – то же, при известных волнах напряжения.
э э
x x
Полученное уравнение позволяет схему с большим количеством линий, приходящих в узел x (рис. 3.1), заменить одной из схем, показанных
на рис. 3.2, предварительно рассчитав эквивалентное волновое сопротивление и эквивалентную обобщенную волну.
системы уравнений (9) получим систему уравнений, из которой можно
определить напряжения и токи в узле x:
Рис. 3.2. Схемы узла после преобразования
Таким образом, при использовании правила эквивалентной волны из
43
,
(3.10)
V u i Z
э э
x x
( ).
u f i
x x
После нахождения величин тока и напряжения в узле x нетрудно
2 ,
2 .
( ) ( – ),
( ) ( – ),
/
l v
( )
V t
21
–
12
V
21
V
/
N h
найти обобщенные отраженные волны для всех n линий, отходящих от
рассматриваемого узла x по выражениям:
W W u V
xi xi x ix
W V i
xi ix x
При неучете потерь в линии (R = G = 0) отраженные волны будут
падающими для узлов через время, равное времени пробега волн по линии, т. е. уравнения, связывающие узлы 1 и 2, записываются в виде
где
12 21
V t W t
V t W t
– время пробега волны по линии длиной l.
12 12 12
21 21 21
(3.11)
Первое уравнение системы (3.11) показывает, что к узлу 2 в момент
времени t приходит волна
узла 1 волне в момент (
t
, равная по значению отраженной от
12
). Аналогичный смысл имеет и второе
уравнение системы (3.11).
Таким образом, математическая модель расчетной задачи состоит из
уравнений, описывающих переходные процессы в узлах исследуемой
схемы, и уравнений, описывающих волновые процессы в линии. Для
наглядности реализации математической модели на ЭВМ на рис. 3.3 показаны блок-схема и алгоритм, имитирующий движение прямых и обратных волн. Из этого рисунка видно, что для моделирования движения
этих волн требуется два массива волн
и
, а также необходимо
определить заранее количество шагов расчета, за которые волны проходят по линии длиной l. Величина N зависит от времени пробега волны
по линии и шага расчета
12 12
, где h – шаг расчета.
Современное развитие вычислительной техники позволяет не подходить строго к оптимальному выбору шага решения с точки зрения
экономии машинного времени и обеспечения необходимой точности
расчета, поэтому для исследования волновых процессов при воздействии на схему импульсов напряжения с достаточно крутыми фронтами
согласно вычислительным экспериментам достаточно выбрать h в диапазоне 0,1…0,5 мкс. При этом следует заметить, что шаг решения должен укладываться целое число раз во времени пробега волны по линии.
44
1
l
2
l
1
v
1
v
в1
Z
в2
Z
Т
С
а
б
Рис. 3.3. Блок-схема программы (а) и алгоритм движения волн (б)
для исследования волновых процессов в схеме с двумя узлами 1 и 2,
соединенными линией с распределенными параметрами
В качестве примера составим математическую модель, позволяющую исследовать электромагнитные переходные процессы, возникающие в схеме при ударе молнии в линию в непосредственной близости от
кабельной вставки, в конце которой подключен нагруженный трансформатор. На рис. 3.4 представлены исходная схема и расчетная схема замещения, которая содержит три узла и связывающие эти узлы отрезки
воздушной и кабельной линий.
В схеме приняты следующие обозначения и параметры:
e(t) – форма воздействующего импульса напряжения;
= 1500 м и
= 600 м – соответственно длина воздушной и кабельной линии;
= 300 м/мкс и
магнитной волны по воздушной и кабельной линии; Z =
= 40 Ом – волновые сопротивления ВЛ и КЛ;
= 150 м/мкс – скорости распространения электро-
= 400 Ом и
= 2000 пФ – вход-
ная емкость трансформатора.
Составим уравнения для каждого узла при условии, что значения
волн, приходящих в любой узел в каждый момент, нам известны
(в начале расчета все волны равны нулю) и определим напряжения в узлах и волны, отраженные от узлов.
45
а
б
Рис. 3.4. Исходная схема (а) и расчетная схема замещения (б) для анализа
волновых процессов в схеме с распределенными параметрами
Узел 1
Запишем уравнения узла 1:
( ) ( ) ( ) ,
V t U t i t Z
21 1 21 в1
( ) ( ) ( ) .
U t e t i t Z
1 21
46
После преобразований напряжение в узле будет равно
э
э в1 2 в1 в 2
, ( ) , ( ) ( ) ( ) .
Z Z
Z Z Z Z Z
( ) ( ) ]/ ( ) ( ) / ( ),U t V t Z Z Z e t Z Z Z (3.12)
1 21 в1 в1 в1
а волна, отраженная от узла,
( ) 2 ( ) – ( ).W t U t V t
12 1 21
Узел 2
Так как в узел 2 приходят волны по двум линиям, применив правило
эквивалентной волны, получим схему
1 1 1
где
V t V V t V t V t
э 12 э 12 32
c
э
Уравнения узла в этом случае будут иметь вид
( ) ( ) ( ),
V t u t Z i t
э 2 э 2
( ) 0.
i t
2
Следовательно, напряжение в узле 2 будет равно
( ) ( ),u t V t (3.13)
2 э
а волны, отраженные от узла,
( ) 2 ( ) ( ),
W t u t V t
W t u t V t
21 2 12
( ) 2 ( ) ( ).
23 2 32
47
Узел 3
Уравнения узла будут иметь вид
( ) ( ) ( ),
V t u t Z i t
23 3 в2 3
( ) ( ) .
u t i t dt u
3 3 в0
t
1
C
0
Выполнив следующие преобразования
(3.14)
du
dt C Z
1
3( )
t
( ), ( ) ,
i t i t
3 3
( ) ( )
V t u t
23 3
в2
получим
du
dt CZ
1
3
[ ( ) ( )] ( , ).
V t u t f u t
23 3 3
в2
(3.15)
Решим дифференциальное уравнение неявным методом трапеций,
при использовании которого решение уравнения на (k + 1)-м шаге интегрирования можно представить с помощью формулы Ньютона–Лейбница
( 1)
k h
( 1) ( ) ( , ).
u k h u kh f u t
kh
3
Вычислив интеграл в этом выражении с помощью метода трапеций,
получим
( 1) ( ) ( ( , ) ( , ),
u k h u kh f u t f u t
3 3 3 3( 1) 1
h
2
k k k k
( , ) ( ) ( ) .
f u t V t u t
3 23 3
1
CZ
в2
48
Для уравнения (3.15) напряжение на k + 1 шаге расчета можно опре-
1 1 1
[ ],
, .
CZ h CZ h
делить следующим образом:
2
где
CZ h
A B
2 2
u u V u V u
3 3 23 3 23 3
k k k k k k
в2
в2 в2
h
2
CZ
в2
h
(3.16)
Таким образом, расчет переходного процесса в исследуемой схеме
сводится к решению системы уравнений (3.13), (3.15), (3.16) при известных значениях волн, приходящих в узлы схемы, определению волн, отраженных от узлов, и имитации движения обобщенных волн по линиям
в соответствии с волновыми уравнениями (3.11), рис. 3.15.
Для реализации этой модели может быть использована какая-либо
из систем инженерных расчетов: MatLab, Mathcad, Excel и др.
Пример реализации математической модели расчета переходных процессов в схеме, показанной на рис. 3.4, с помощью метода
бегущих волн при использовании системы MatLab
% Исходные данные
tr=40.e-6; % – время расчета
h=0.1e-6; % – шаг расчета
D1=1500;D2=600; % – длина ВЛ и КЛ
v1=300.e6;v2=150.e6; % – скорости распространения волн по ВЛ и КЛ
Z1=400;Z2=400; % – волновые сопротивления ВЛ и КЛ
Z=400; % – сопротивление источника
C=14e-9; % – емкость в узле 3
U0=1; % – амплитуда воздействующей волны
ti=2.e-6; % – длительность срезанного импульса
U3=0; % – начальное значение U3(t)
nt=tr/h; % – количество циклов по времени
% Начальные значения массивов напряжений и времени
UM1=0;UM2=0;UM3=0;tm=0;
% количество шагов по линиям
N1=round(D1/v1/h);
49
N2=round(D2/v2/h);
% if(t ti)
% e 2*U0;
A=(2*C*Z2-h)/(2*C*Z2+h);
B=h/(2*C*Z2+h);
% Обнуление массивов волн
V12=zeros(1,100000);
V21=zeros(1,100000);
V23=zeros(1,100000);
V32=zeros(1,100000);
% Расчет волнового процесса (цикл по времени)
for k=1:nt
t=k*h;
% else
% e 0;
% end
– прямоугольный короткий импульс
e=2*U0; % – прямоугольный бесконечно длинный импульс
% Вычисление значений напряжения в узлe 1
U1=V21(k)*Z/(Z+Z1)+e*Z1/(Z+Z1);
W12=2*U1-V21(k); % Вычисление отраженной волны от узла 1
V12(k+N1)=W12; % Сдвиг волны V12 на шаге расчета
% Вычисление значений напряжения в узлe 2
U2=V12(k)*Z2/(Z1+Z2)+V32(k)*Z1/(Z1+Z2);
W21=2*U2-V12(k); % Вычисление отраженных волн от узла 2
W23=2*U2-V32(k);
V21(k+N1)=W21; % Сдвиг волны V21 на шаге расчета
V23(k+N2)=W23; % Сдвиг волны V23 на шаге расчета
% Вычисление значений напряжения в узлe 3
U3=A*U3+B*(V23(k)+V23(k+1));
W32=2*U3-V23(k+1); % Вычисление отраженной волны от узла 3
V32(k+N2+1)=W32; % Сдвиг волны V32 на шаге расчета
% Формирование массивов напряжений и времени
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]