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ivanov666
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Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебник
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ɬɨɝɞɚ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɱɥɟɧ
A
A
A
A
A
()()
−+⋅⋅⋅⋅
112...753
=
a
1
+
n
()()()
n
nn
=
+⋅++
!111
()()
()()
nnn
1212...753
+⋅−⋅⋅⋅⋅
nn
1!2
+⋅⋅+
.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ (ɬɟɨɪɟɦɚ 2.4):
357...2121 1!
a
n
+
lim lim
nn
→∞ →∞
annn n
n
⋅⋅⋅⋅ − ⋅ + + ⋅
1
nn nn
()()
2! 1 357...21
+⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅ −
()()
()
⋅=
()
1
§·
2
n
⋅+
21
+
n
lim lim 2 1.
== =>
nn
→∞ →∞
2
+ §·
n
¨¸
n
©¹
2
1
⋅+
n
¨¸
n
©¹
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɹɞ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
X
Ɍɟɨɪɟɦɚ 2.5.
Ɋɚɞɢɤɚɥɶɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ Ʉɨɲɢ.
(2.1) ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɤɨɧɟɱɧɵɣ ɢɥɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ
ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɪɹɞɚ
n
Aa
lim
n
=
.
n
∞←
Ɍɨɝɞɚ:
1) ɩɪɢ
2) ɩɪɢ 1
3) ɩɪɢ
1<
ɪɹɞ (2.1) ɫɯɨɞɢɬɫɹ;
>
ɪɹɞ (2.1) ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ;
1=
ɩɪɢɡɧɚɤ ɧɟ ɞɚɟɬ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɜɨɩɪɨɫ ɨ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ, ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ
ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɬɟɦ ɠɟ ɩɨɞɯɨɞɨɦ, ɱɬɨ ɢ ɩɪɢ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ. ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɩɪɟɞɟɥɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢɦɟɟɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
ɜɫɟɯ
) ɛɭɞɟɬ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:
nn ≥
0
ɧɚɣɞɟɬɫɹ ɧɨɦɟɪ
, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɤɨɬɨɪɨɝɨ (ɬ. ɟ. ɞɥɹ
n
0
ε
n
n
ε<− Aa
, ɢɥɢ
n
ε+<<ε− AaA
n
, ɢɥɢ
n
() ()
n
n
AaA ε+<<ε−
.
n
<
ɉɭɫɬɶ 1
, ɩɨɞɛɟɪɟɦ ε ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ
. Ɍɨɝɞɚ
11<=ε+ AA
Aa1<
, ɬ. ɟ.
n
ɱɥɟɧɵ ɪɹɞɚ (2.1) ɦɟɧɶɲɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɱɥɟɧɨɜ ɫɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɪɹɞɚ. ɉɨ ɩɟɪɜɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ (ɬɟɨɪɟɦɚ 2.2) ɪɹɞ (2.1) ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
n
ɉɭɫɬɶ 1
>
, ɩɨɞɛɟɪɟɦ ε ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ
. ɂɦɟɟɦ
12>=ε− AA
Aa2>
, ɬ. ɟ.
n
ɱɥɟɧɵ ɪɹɞɚ (2.1) ɛɨɥɶɲɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɱɥɟɧɨɜ ɫɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɪɹɞɚ. ɉɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ (ɬɟɨɪɟɦɚ 2.2) ɪɹɞ (2.1) ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
31
ɉɪɢɦɟɪ 2.4.
ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ:
2
n
1)
¦
n
∞
§
¨
©
1
=
−
910
+
n
·
¸
15
−
n
¹
2)
;
¦
n
∞
5
n
+
·
§
¸
¨
4
n
+
¹
©
1
=
Ɋɟɲɟɧɢɟ.
1. Ɉɛɳɢɣ ɱɥɟɧ ɪɹɞɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
−
910
n
+
§
a
=
¨
n
©
·
¸
15
n
−
¹
§
=
¨
©
nn
15
n
−
·
¸
910
n
+
¹
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɪɚɞɢɤɚɥɶɧɵɦ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ Ʉɨɲɢ (ɬɟɨɪɟɦɚ 2.5):
2
51 51
§· §·
n
lim lim lim
a
n
←∞ ←∞ ←∞
nn n
n
===
===<
¨¸ ¨¸
10 9 10 9
©¹ ©¹
51
§· §·
lim lim 0 1.
¨¸ ¨¸
nn
←∞ ←∞
10 2
©¹ ©¹
nn
nn
−−
++
nn
nn
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
2. Ɉɛɳɢɣ ɱɥɟɧ ɪɹɞɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
§
a
=
¨
n
n
+
©
.
¸
4
¹
2
n
5
n
+
·
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɪɚɞɢɤɚɥɶɧɵɦ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ Ʉɨɲɢ (ɬɟɨɪɟɦɚ 2.5):
2
nn
55
nn
++
§· §·
n
lim lim lim 1
a
n
nn n
→∞ →∞ →∞
=+ = =>
lim 1 1.
n
→∞
n
====
¨¸ ¨¸
++
44
nn
©¹ ©¹
n
n
4
+
n
4
ªº
1
§·
«»
¨¸
+
4
n
©¹
«»
¬¼
+
n
lim
n
+
n
→∞
ee
4
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɹɞ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
X
32
n
22
.
2
.
∞
ªº
¬¼
Ɍɟɨɪɟɦɚ 2.6.
y
ɂɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ Ʉɨɲɢ – Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ. ɉɭɫɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɩɨɥɨɠɢ-
ɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɪɹɞɚ (2.1) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
ɩɪɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɟɟ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ
() ( ) ( )
ɩɪɢɱɟɦ ɮɭɧɤɰɢɹ
ɢ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɢɥɢ ɪɚɫɯɨɞɹɬɫɹ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɭɸ ɬɪɚɩɟɰɢɸ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ
, ɫ ɨɫɧɨɜɚɧɢɟɦ ɨɬ
()
xfy =
S
ɷɬɨɣ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ɪɚɜɧɚ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ
ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɭɛɵɜɚɟɬ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
()
xf
∞
³
1=x
ɞɨ
=
x
21 n
()
dxxf
1
n
()
³
1
, ɬ. ɟ.
,
...,...,,2,1
anfafaf ===
. Ɍɨɝɞɚ ɪɹɞ (2.1)
[
)
∞+;1
(2.2)
()
dxxfS
(ɪɢɫ. 2.1). ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɩɥɨɳɚɞɢ
Nnnx ∈=
. (2.3)
()
xf
…
0 2 3 4
Ɋɢɫ. 2.1
Ɋɚɡɨɛɶɟɦ ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ɧɚ ɱɚɫɬɢɱɧɵɟ ɨɬɪɟɡɤɢ ɬɨɱ-
ɤɚɦɢ
ɳɭɸ», ɩɥɨɳɚɞɶ ɤɨɬɨɪɨɣ
1=x
,
1...,,2 +== nxx
ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɞɜɟ n-ɫɬɭɩɟɧɱɚɬɵɟ ɮɢɝɭɪɵ: «ɜɯɨɞɹ-
n – 1
() () () ()
33
x
n
1...32 aSfSnfffS
−=−=+++=
;
1
nɜɯ
«ɜɵɯɨɞɹɳɭɸ», ɢɦɟɸɳɭɸ ɩɥɨɳɚɞɶ
ɝɞɟ
() ( ) ( ) ( )
aaaS +++= ...
– n-ɚɹ ɱɚɫɬɢɱɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɪɹɞɚ (2.1).
21
nn
aSnfSnfffS −=−=−+++= 1...21
,
nnɜɵɯ
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:
SSS <<
ɜɵɯɜɯ
ɢɥɢ
∞
()
1
³
1
. (2.4)
aSdxxfaS −<<−
nnn
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɸ
n
ɫɬɨɦ
.
ȿɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɤɨɧɟɱɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ
ɢɧɬɟɝɪɚɥ (2.2) ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɨ ɢɡ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (2.4) ɢɦɟɟɦ
, ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ (2.3) ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɫ ɪɨ-
()
0>xf
n
lim
n
()
³
∞→
1
, ɬ. ɟ. ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ
Adxxf
=
n+<1
AaS
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ (2.1) ɪɹɞ 2.1 ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
n
ȿɫɥɢ
n
lim
()
³
∞→
1
ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬ. ɟ. ɧɟɫɨɛ-
∞=
dxxf
ɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ (2.2) ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɨ ɢɡ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (2.4) ɢɦɟɟɦ
ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɟ ɱɚɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ
ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 2.5.
ɪɹɞɚ (2.1), ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɹɞ
S
n
ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ:
∞
1)
¦
=
1
n
∞+
2)
¦
=
n
Ɋɟɲɟɧɢɟ.
1. ɑɥɟɧɵ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɟ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɨɛɳɟɝɨ ɱɥɟɧɚ
()
...,2,1=n
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
1
2
()
+
n
2
+
1
n
1
;
arctg1
nn
.
, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɮɭɧɤɰɢɢ
.
[
)
∞+;1
a
()
xf
=
1
2
()
arctg1
+
=
n
1
2
()
+
nn
arctg1
, ɭɛɵɜɚɸɳɟɣ ɢ
xx
.
34
ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ:
x
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɡɧɚɱɢɬ, ɪɹɞ ɬɚɤɠɟ ɫɯɨɞɢɬɫɹ (ɬɟɨɪɟ-
ɦɚ 2.6).
2. ɑɥɟɧɵ ɪɹɞɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɭɛɵɜɚɸɳɟɣ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
+∞
³³
11
=−=−=⋅=
lim ln arctg ln arctg1 ln ln ln ln 2.
b
→∞
dx
2
1arctg
xx
+
()
()
b
b
arctg
dx
===
bb
()
lim lim ln arctg
→∞ →∞
arctg
x
[
()
=
xf
ππ π
24 2
a
n
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
∞+;1
x
.
§·
¨¸
©¹
n
ɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ
12+=n
b
x
1
4
π
12+
ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ:
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɡɧɚɱɢɬ, ɪɹɞ ɬɚɤɠɟ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ (ɬɟɨ-
ɪɟɦɚ 2.6).
X
+∞
xdx dx
³³
11
==+=
22
++
xx
11
=+−=+∞
b
§·
lim lim ln 1
¨¸
¨¸
bb
→∞ →∞
©¹
lim ln 1 ln 2 .
b
→∞
2
1
2
2
b
()
x
()
b
2
1
35
ɁȺȾȺɇɂə ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɈȽɈ Ɋȿɒȿɇɂə
2.1. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɫɪɚɜɧɟ-
ɧɢɹ:
ɡɧɚɤ Ʉɨɲɢ:
1)
3)
5)
7)
∞
1
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
; 2)
ɩ
5
n
=
1
∞
2
+
1
ɩ
; 4)
3
+
1
n
=
1
∞
=
1
∞
=
1
2
cos
()( )
+
12
n
2
2
()
+
1
nn
n
; 6)
+⋅+
21
nnn
; 8)
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
1
;
2
n
−
3
n
=
1
2
+
1
n
;
4
+
1
n
=
1
2
sin
nn
;
nn
=
1
−
53
n
.
3
+
4
n
=
1
2.2. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɪɢɡɧɚɤ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ:
1)
3)
5)
7)
∞
+
1
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
ɩ
=
1
∞
3
=
1
∞
=
1
∞
ɩ
=
1
ɩ
()
ɩ
; 2)
−
!12
ɩ
++
12
ɩɩ
; 4)
3
()
+
12
ɩ
()
ɩ
()
ɩ
24
+−
3
nɩ
; 8)
()
+⋅
14
ɩ
−⋅⋅⋅
23...741
; 6)
−⋅⋅⋅
35...1272
∞
()
+
ɩ
¦
ɩ
()
+
533
ɩ
=
1
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
=
2
n
⋅
5
n
;
+
1
ɩ
1
¦
=
1
ɩ
∞
()
+
ɩ
¦
()
ɩ
=
1
ɩ
!22
;
()
−⋅⋅⋅
12...753
ɩ
;
()
−⋅⋅⋅
13...852
ɩ
!1
.
nɩ
⋅+
753
2.3. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɪɚɞɢɤɚɥɶɧɵɣ ɩɪɢ-
1)
3)
5)
7)
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
2
∞
§
¨
©
1
=
∞
§
¨
©
1
=
∞
§
¨
©
=
1
∞
3
=
1
ɩ
34
−
ɩ
·
2)
;
¸
15
+
ɩ
¹
2
ɩ
13
+
ɩ
·
4)
;
¸
13
−
ɩ
¹
ɩ
+
ɩ
1
·
6)
;
¸
+
ɩ
23
¹
2
ɩ
2
ɩ
+
·
§
+
1
n
⋅
¨
ɩ
©
8)
;
¸
3
+
¹
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
§
¨
ɩ
©
1
=
§
¨
©
=
1
§
¨
©
1
=
§
1
¨
©
=
1
ɩ
ɩ
ɩ
ɩ
ɩ
+
32
+
1
+
+
32
−
32
15
−
76
+
1
3
ɩ
2
ɩ
·
;
¸
¹
2
ɩ
·
;
¸
¹
2
()
1
n
+
·
¸
¹
2
6
ɩ
·
.
¸
¹
;
36
2.4. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɣ ɩɪɢ-
ɡɧɚɤ Ʉɨɲɢ – Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ:
∞
1)
3)
5)
7)
ɩ
ɟ
¦
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
=−1ɩ
∞
=1
∞
=
∞+
=
; 2)
ɩ
1
arctg
n
; 4)
2
n
ln
n
; 6)
2
()
+
ln1
2
1
nn
1
2
; 8)
++
54
nɩ
∞+
x
;
¦
x
e
=
12ɩ
∞+
arctg
n
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
=
1
∞
=
2
∞+
=
1
;
2
+
1
n
3
ln
n
;
n
1
()()
+⋅+
nɩ
.
32
2.5. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɪɹɞɵ ɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ:
1)
3)
5)
7)
9)
11)
13)
∞
ɩ
¦
()
3
=1
ɩ
∞
ɩ
§
¨
¦
+
ɩ
©
=
11ɩ
∞
ɩ
¦
2
=
1
∞
1
¦
+1ln
=
ɩ
∞
n
6
¦
n
⋅1!2
=
ɩ
∞
n
¦
n
=
ɩ
∞
¦
+
1ɩn
=
1
; 2)
ɩ
ɩ
·
; 4)
¸
¹
2
; 6)
+
12ɩɩ
; 8)
nɩ
; 10)
n
n
; 12)
⋅1!3
n
n
; 14)
4
∞
¦
ɩ
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
∞
¦
ɩ
=
∞
=
=
=
¦
ɩ
¦
ɩ
¦
ɩ
ɩ
10
n
+12
−
ɩ
§
¨
+
ɩ
©
2
2
ɩ
4
ɩ
1
−
1
∞
sin
2
ɩ
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1
∞
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ɩ
ɩ
1
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1
1
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nn
37
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ɩ
ɩ
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1
1
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1
23
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16
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n
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32
38
Ƚɥɚɜɚ 3
ɂɋɋɅȿȾɈȼȺɇɂȿ ɋɏɈȾɂɆɈɋɌɂ
ɁɇȺɄɈɉȿɊȿɆȿɇɇɕɏ ɑɂɋɅɈȼɕɏ ɊəȾɈȼ
ɑɢɫɥɨɜɨɣ ɪɹɞ, ɱɥɟɧɵ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɤɚɤ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ, ɬɚɤ ɢ ɨɬɪɢ-
ɰɚɬɟɥɶɧɵɦɢ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɡɧɚɤɨɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɡɧɚɤɨɩɟ-
ɪɟɦɟɧɧɵɯ ɪɹɞɨɜ ɢɦɟɟɬ ɫɜɨɢ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ, ɧɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɨɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɢ
ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɨɜ ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ. ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ ɫɧɚɱɚɥɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɚɠɧɵɣ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɡɧɚɤɨɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ – ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ
ɪɹɞ, ɡɚɬɟɦ ɩɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɩɨɞɯɨɞɭ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɡɧɚɤɨɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɪɹɞɨɜ.
3.1. Ɂɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɟɫɹ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɪɹɞɵ
ɑɢɫɥɨɜɨɣ ɪɹɞ
4321
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɟɞɭɸɬ ɞɪɭɝ ɡɚ ɞɪɭɝɨɦ ɩɨɨɱɟɪɟɞɧɨ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɦɫɹ.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ.
Ɂɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɦɨɠɟɬ ɬɚɤɠɟ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ
4321
Ⱦɥɹ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ
ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 3.1.
ɉɪɢɡɧɚɤ Ʌɟɣɛɧɢɰɚ.
ȿɫɥɢ ɞɥɹ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ (3.1) ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ
ɭɫɥɨɜɢɹ:
1) ɱɥɟɧɵ ɪɹɞɚ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɭɛɵɜɚɸɬ, ɬ. ɟ.
2) ɨɛɳɢɣ ɱɥɟɧ ɪɹɞɚ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ. ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɣ ɩɪɢ-
ɡɧɚɤ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɪɹɞɚ
Ɍɨ ɬɨɝɞɚ:
1) ɪɹɞ (3.1) ɫɯɨɞɢɬɫɹ;
2) ɫɭɦɦɚ ɪɹɞɚ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɟɝɨ ɩɟɪɜɨɝɨ ɱɥɟɧɚ, ɬ. ɟ.
∞
n
1
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n
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nn
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n
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1
39
3) ɨɫɬɚɬɨɤ ɪɹɞɚ ɩɨɫɥɟ
S
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.
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-ɝɨ ɱɥɟɧɚ
ɦɟɧɶɲɟ ɫɜɨɟɝɨ ɩɟɪɜɨɝɨ ɱɥɟɧɚ
R
m
a
m
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ.
ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɪɹɞɚ (3.1) ɨɛɚ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɨɫɥɟ-
ɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɱɚɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ ɪɹɞɚ ɫ ɱɟɬɧɵɦ ɱɢɫɥɨɦ ɱɥɟɧɨɜ
, ɝɞɟ
{}
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... −++−+−=
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nnn
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ɋɝɪɭɩɩɢɪɭɟɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɱɚɫɬɢɱɧɨɣ ɫɭɦɦɵ:
()()( )
... −++−+−=
−
.
aaaaaaS
nnn
21243212
ȼ ɫɢɥɭ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜɫɟ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ, ɫɥɟ-
ɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ
– ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɚɹ.
{}
nS2
ɋɝɪɭɩɩɢɪɭɟɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɱɚɫɬɢɱɧɨɣ ɫɭɦɦɵ ɢɧɚɱɟ:
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... +−++−+−−=
−−
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nnnn
21222543212
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ, ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:
. Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ
<
12aSn
ɂɡ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɫɬɢ ɢ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɫɬɢ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ
ɢɦɟɟɬ ɩɪɟɞɟɥ
n
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∞→
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SS
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n
– ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɚɹ.
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S
n
2
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɱɚɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ ɪɹɞɚ (3.1) ɫ ɧɟɱɟɬɧɵɦ ɱɢɫ-
ɥɨɦ ɱɥɟɧɨɜ
{}
, ɝɞɟ
S
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...
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aSaaaaaaaS
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++−+
nnnnnn
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,
SaSS
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n
n
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ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɫɢɥɭ ɜɬɨɪɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ
a
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0lim
12=+∞→n
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɥɟɧɨɜ, ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɱɚ-
ɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ ɪɹɞɚ (3.1)
ɪɹɞ, ɩɪɢɱɟɦ ɟɝɨ ɫɭɦɦɚ ɪɚɜɧɚ
ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɢ ɢɦɟɟɬ ɩɪɟɞɟɥ S, ɡɧɚɱɢɬ, ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɢ ɫɚɦ
{}
S
n
. ɉɟɪɜɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ ɞɨɤɚɡɚɧɨ. Ⱦɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɜɬɨɪɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɫɝɪɭɩɩɢɪɭɟɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɱɚɫɬɢɱɧɨɣ ɫɭɦɦɵ ɧɟɱɟɬɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɱɥɟɧɨɜ
()()( )
[]
...
−++−+−−=
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40
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