Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум для СПО
.pdf
71
Тогда вычисление приближенного значения координат точки
графика исходной функции с координатами
( )( )
NN
xy,x
, исходя из
приближенных значений координат точки
(
)(
)
1
N
1N
xy,x
−−
, по методу
Рунге-Кутта четвертого порядка точности осуществляется согласно
следующим соотношениям:
(
) (
)
( )
1
N1
N
1
xy
,x
f
hhK
−
−
⋅
=
α
α
,
( )
2
h
xx
1N21N2
α
+=
−−
,
( )
( )
( )
( )
+⋅=
−−
2
hK
xy,xfhhK
1
1N21N22
α
αα
,
( )
( )
( )
( )
+⋅=
−−
2
hK
xy,xfhhK
2
1N21N23
α
αα
,
α
hxx
1NN
+=
−
,
( ) ( ) ( )( )
ααα
hKxy,xfhhK
31NN4
+⋅=
−
,
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
.hKhK2hK2hK
6
h
xy
xyxyxy
43211N
1N1NN
αααα
α
∆
++++=
=+=
−
−−
В данной лабораторной работе метод Рунге-Кутта четвертого
порядка точности имеет следующую реализацию (итерация с
индексом «N»
( )
1N ≥
):
1. На искомом отрезке
[ ]
0B0
A
x,
x
при соблюдении условия
0B0A
xx <
, исходя из вводимого или рассчитанного значения
величины шага
4
RK
h
α
(при вводимом количестве шагов
4RK
s
α
по
формуле
4RK
0
A
0B
4RK
s
xx
h
α
α
−
=
), выбирается абсцисса точки графика
исходной функции с координатами
( )( )
4RK
N
4RK
N
x
y,x
, то есть
4RK
N
x
,
согласно следующему соотношению:
4
RK4RK
1
N
4RK
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется вычисление приближенных значений
ординат точки исходной функции с координатами
(
)( )
4
RK
N
4RK
N
xy,x
, то
есть
( )
4RK
N
xy
, согласно соотношениям:
( ) ( )( )
4RK
1N
4RK
1N
4RK4RK
N1
xy,xfhhK
−−
⋅=
αα
,
72
( )
2
h
xx
4
RK
4
RK
1N
4RK
2
1N
2
α
+
=
−
−
,
( )
( )
( )
( )
+⋅=
−−
2
hK
xy,xfhhK
4RK
N1
4RK
1N
4RK
21N2
4RK4RK
N2
α
αα
,
( )
( )
(
)
(
)
+
⋅=
−
−
2
h
K
x
y
,x
fhhK
4RK
N
2
4RK
1
N
4
RK
2
1
N2
4RK
4RK
N3
α
αα
,
4RK4RK
1
N
4
RK
N
hx
x
α
+
=
−
,
( ) ( ) ( )( )
4RK
N3
4RK
1N
4RK
N
4RK4RK
N4
hKxy,xfhhK
ααα
+⋅=
−
,
( )
( ) ( )
(
)
(
) ( )
( ) ( )
.
hKhK
2
hK2h
K
6
h
x
y
xyxyx
y
4RK
N4
4
RK
N3
4RK
N2
4RK
N
1
4
RK
4
RK
1N
4RK
1N
4RK
1N
4RK
N
++
++
+
=
=+=
−
−−
αα
αα
α
∆
3. Если достигнута истинность выражения
0B
4RK
N
xx ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
Ns
4RK
=
α
,
тогда приближенное значение исходной функции
( )
0
B
xy
в точке с
координатами
( )( )
0B0B
xy,x
определятся согласно соотношению
( ) ( )
4RK
N
4RK
0B
xyxy =
.
4. Если
0B
4RK
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
4.2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Лабораторная работа по реализации приближенных решений
дифференциальных уравнений первого порядка согласно методам
Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для
различных условий варьирования значений исходных данных с
последующим проведением необходимых сравнительных анализов
вычислительных процедур с использованием программы для ЭВМ
«Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с применением численных методов» может быть
разделена на два этапа.
73
I этап − «Приближенные решения дифференциальных
уравнений первого порядка в зависимости от различных значений
количества шагов
α
s
или фиксированного шага
α
h
с применением
программы для ЭВМ «Исследование обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка с применением
численных методов»»
На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп
студентов, сформированных на первом этапе, предлагает исходные
данные символьной записи самой функции двух переменных
( )( )
xy,xf
, значений
0A
x
,
0B
x
и количества шагов
α
s
или величины
шага
α
h
в рамках одной малой группы.
Предполагается, что студенты предварительно по символьной
записи самой функции двух переменных
( )( )
xy,xf
, а также по
предлагаемым значениям концам одного из интервалов изоляции
0A
x
и
0B
x
реализуют итерации с индексами «1», «2» и «3» согласно
методам Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков
точности.
После этого студенты проведут соответствующие необходимые
расчеты с применением программы для ЭВМ «Исследование
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с
применением численных методов».
II этап
−
«Сравнительный анализ методов Эйлера, РунгеКутта второго и четвертого порядков точности в результате
реализации приближенных решений дифференциальных
уравнений первого порядка в зависимости от различных значений
количества шагов
α
s
или фиксированного шага
α
h
»
На данном финальном этапе преподаватель для каждой из
малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает
провести сравнительный анализ реализованных на втором этапе
приближенных решений дифференциальных уравнений первого
порядка в зависимости от различных значений количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
.
Для этого согласно результатам расчетов необходимо
заполнить совокупную таблицу 4 полученных значений в
зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а во-
74
вторых, от значений количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
, на
основе которой формируются итоговые выводы по работе,
заполняется отчет с последующей сдачей преподавателю и
предлагается ответить на вопросы проверочного тестирования.
Таблица 4
Совокупная таблица для лабораторной работы
по исследованию дифференциальных уравнений первого порядка
Название
Метода
Метод Эйлера
Метод Рунге-Кутта
второго порядка точности
α
s
α
h
( )
E
0B
xy
( )
( )
0B
E
0B
xyxy −
( )
2RK
0B
xy
( )
( )
0B
2RK
0B
xyxy −
1
s
α
1
h
α
… …
N
s
α
N
h
α
Название
метода
Метод Рунге-Кутта
четвертого порядка точности
α
s
α
h
( )
4RK
0B
xy
( )
( )
0B
4RK
0B
xyxy −
1
s
α
1
h
α
… …
N
s
α
N
h
α
4.3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ С ПРИМЕРОМ
Рассмотрим схему работы программы «Исследование
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с
применением численных методов», реализующей задачу
нахождения прилиженных значений функции в определенной точке
для функции двух переменных вида
( )
byaxy,xf +=
по заданным
значениям коэффициентов функции
a
и b, а также значениям
абсцисс конечных точек отрезка
0A
x
,
0B
x
и указываемым значениям
количества шагов
s
или величины шага h для каждого из
рассматриваемых численных методов.
Описание программы «Исследование обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка с применением
численных методов» приведем на примере нахождения
75
приближенных значений исходной функции
(
)
0
B
x
y
в точке с
координатами
(
)(
)
0B
0B
x
y,
x
для функции двух переменных, заданной
уравнением
(
)(
)
y
5x
3byaxxy
,x
f −
=+=
, со значениями начальных
условий
2x0A=
,
( )
4x
y
0A
=
,
4x0B=
, а также значений количества
шагов для методов Эйлера
10sE=
α
, Рунге-Кутта второго (
9s
2RK
=
α
) и
четвертого (
6s
4RK
=
α
) порядков точности в сопровождении
соответствующих скриншотов программы для ЭВМ.
В программе через единую визуальную форму приложения
осуществляется ввод значений исходных данных для решаемой
задачи в целом, а также выбор и указание значения необходимого
расчетного параметра для каждого из применяемого численного
метода (рис. 20). Вывод значений исходных данных (рис. 21),
итоговых результатов вычислений (рис. 22), а также информации о
значениях промежуточных результатов вычислений по методам
Эйлера (рис. 23), Рунге-Кутта второго (рис. 24) и четвертого
(рис. 25) порядков точности реализуется в виде автоматически
создаваемой статической Интернет-страницы.
Рис. 20. Ввод значений исходных данных
76
Рис.21.Выводзначенийисходныхданных
77
Рис.22.Выводзначенийитоговыхрезультатов
78
Рис. 23. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу Эйлера
79
Рис. 24. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу Рунге-Кутта второго порядка точности
80
Рис. 25. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу Рунге-Кутта четвертого порядка точности
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]