Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум для СПО
.pdf
11
Поскольку
2
N1N2N
qXqXX ⋅=⋅=
++
, то
1qq
2
+=
, откуда
2
51q±
=
. Так как
0q >
, то
ϕ
=
+
=
2
51
q
.
В данной лабораторной работе метод золотой пропорции
имеет следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. На искомом отрезке
[ ]
0B0A
n,n
при соблюдении условий
0B0A
nn <
и
( ) ( )
0B0A
nfnf >≥
ε
(по умолчанию значения
0A
n
и
0B
n
яв
ляются целыми числами) выбираются номера числовой
последовательности
GP
0C
n
и
GP
0D
n
исходя из неравенств
0B
GP
0D
GP
0C0A
nnnn <<<
и
( )
( ) ( )
( )
0B
GP
0D
GP
0C0A
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами золотой пропорции, согласно
следующим соотношениям:
ϕϕ
0A0B
0B
2
0A0B
0A
GP
0C
nn
n
nn
nn
−
−=
−
+=
,
2
0A0B
0B
0A0B
0A
GP
0D
nn
n
nn
nn
ϕϕ
−
−=
−
+=
.
1.2. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
GP
0C
n
и
GP
0D
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
1.3. Если достигнута истинность выражения
1nn
0A0B
=−
, то
и
терации прекращаются, количество шагов итераций
0sGP=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
GP
n
ε
выбирается
0A
GP
nn =
ε
в силу неравенства
( ) (
)
0B0A
nfnf >≥
ε
.
1.4. Если
1nn
0A0B
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
( )
1N ≥
:
2.1. Если
( )
( )
ε
<
−GP1NC
nf
, то
( )
GP
1NA
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1NC
GP
BN
nn
−
=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
GP
1NA
GP
1NB
GP
1NA
GP
1NC
GP
AN
GP
BN
nn
nnnn
ϕ
−−
−−
−
=−=−
, и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
GP
1NCGP1NA
GP
BN
GP
AN
n,nn,n
−−
=
.
12
2.2. Если
( )
( )
ε
≥
−GP1NC
nf
и
( )
( )
ε
<
−GP1ND
nf
, то
( )
GP
1NC
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1ND
GP
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
3
GP
1NA
GP
1NB
GP
1NC
GP
1ND
GP
AN
GP
BN
nn
nnnn
ϕ
−−
−−
−
=−=−
, и получаем
отрезок
[
]
(
) ( )
[ ]
GP
1ND
GP
1
NC
GP
BN
GP
AN
n,n
n
,n
−−
=
.
2.3. Если
( )
( )
ε
≥
−GP1ND
nf
, то
( )
GP
1ND
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1NB
GP
BN
nn−=
,
( ) (
)
( ) (
)
2
GP
1
NA
GP
1
NB
GP
1N
D
GP
1
NB
GP
AN
GP
BN
nn
nn
n
n
ϕ
−
−
−
−
−
=−=
−
и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
GP
1NBGP1ND
GP
BN
GP
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.4. На отрезке
[ ]
GP
BN
GP
AN
n,n
при соблюдении условий
GP
BN
GP
AN
nn <
и
( ) ( )
GP
BN
GP
AN
nfnf >≥
ε
выбираются номера числовой
последовательности
GP
CN
n
и
GP
DN
n
исходя из неравенств
GP
BN
GP
DN
GP
CN
GP
AN
nnnn <<<
и
( ) ( ) ( ) ( )
GP
BN
GP
DN
GP
CN
GP
AN
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами золотой пропорции, согласно
следующим соотношениям:
ϕ
ϕ
GP
AN
GP
BN
GP
BN
2
GP
AN
GP
BN
GP
AN
GP
CN
n
n
n
n
n
nn
−
−=
−
+
=
,
2
GP
AN
GP
BN
GP
BN
GP
AN
GP
BN
GP
AN
GP
DN
nn
n
nn
nn
ϕϕ
−
−=
−
+=
.
2.5. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
GP
CN
n
и
GP
DN
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
2.6. Если достигнута истинность выражения
1nn
GP
AN
GP
BN
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
N
s
GP
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
GP
n
ε
выбирается
GP
AN
GP
nn =
ε
в силу неравенства
( ) (
)
GP
BN
GP
AN
nf
nf >≥
ε
.
2.7. Если
1nn
GP
AN
GP
BN
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
13
Метод Фибоначчи
Последовательность чисел Фибоначчи (открыта Леонардо
Фибоначчи) отличается от других последовательностей чисел тем,
что каждый ее член, начиная со второго по индексу, равен сумме
двух предыдущих (с добавлением нулевого члена
последовательности): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и
так далее.
Действительно:
110 =+
,
211 =+
,
312 =+, 523 =+
, то есть
2K1KK
FFF
−−
+=
, где
K
F
,
1K
F
−
и
2K
F
−
− члены последовательности
Фибоначчи с индексами «K», «K
−
1» и «K−2» соответственно.
Интересно отметить, что отношение значений соседних членов
данной последовательности, начиная с больших номеров (при
∞→
K
), приближается к золотому числу, то есть ϕ:
618033989,1
2
51
F
F
1K
K
≈
+
=≈
−
ϕ
,
где
K
F
и
1KF−
− члены последовательности Фибоначчи с индексами
«K», «K
−
1» соответственно.
Для золотых чисел, возведенных в определенные степени
(геометрическая прогрессия со значениями начального члена и
знаменателя, равными
ϕ
), как и для последовательности чисел
Фибоначчи, справедливо общее правило о том, что значение
каждого члена любой из этих последовательностей равно сумме
значений двух предыдущих членов:
1. Формула для геометрической прогрессии золотых чисел:
2K1KK −−
+=
ϕϕϕ
, где «K», «K–1»и «K–2» – показатели степеней для
золотого числа
ϕ
.
2. Формула для последовательности чисел Фибоначчи:
2K1KK
FFF
−−
+=
, где
K
F
,
1K
F
−
и
2KF−
− члены последовательности
Фибоначчи с индексами «K», «K–1»и «K–2» соответственно.
Поскольку
2K1KK
FFF
−−
+=
, то
1KK2K
FFF
−−
−=
, откуда можно
получить следующие соотношения:
2KKK1K2K1K3K
F2FFF2FFF
−−−−−
−=−=−=
,
14
K
2K
K
1K
K
2K
K
1K
K
3K
F
F
211
F
F
2
F
F
F
F
F
F
−−−−
−
−=−=−=
.
Взаимосвязь между золотым числом и числами Фибоначчи
выражается следующим соотношением:
ϕϕ
⋅+=
− K1K
K
FF
.
Докажем утверждение методом последовательного перебора:
ϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+=+=
−10101
FF10
,
ϕϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+=+=+=
21
012
FF111
,
( )
( ) ( )
,FFFFFF
FF)FF(
322110
1021
123
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+++=
=⋅++⋅+=+=
………………………………………………………..
( )
(
) (
)
.FFFF
FF
F
F)FF(
K1K1K
2K
3
K2
K
2
K
3K1K2K
2K1K
K
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
⋅+=⋅+
++
=
=
⋅
++⋅+=+
=
−−
−
−−
−−−−
−−
В данной лабораторной работе метод имеет следующую
реализацию:
1. Итерация с индексом
«0»:
1.1. Осуществляется ввод значения индекса последнего члена
ряда Фибоначчи для его построения, то есть «K».
1.2. Осуществляется построение заданного ряда Фибоначчи,
начиная с нулевого индекса и заканчивая индексом «K».
1.3. На искомом отрезке
[
]
0B0A
n,n
при соблюдении условий
0B0
A
n
n <
и
( ) (
)
0
B
0A
nf
nf >
≥
ε
(по умолчанию значения
0
A
n
и
0B
n
являются целыми числами) выбираются номера числовой
последовательности
F
0
C
n
и
F
0D
n
исходя из неравенств
0B
F
0D
F
0C0A
nnnn <<<
и
( )
( ) ( )
( )
0B
F
0D
F
0C0A
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами последовательности Фибоначчи,
согласно следующим соотношениям:
( ) (
)
0A0
B
K
1K
0B0A0B
K
2
K
0A
F
0C
nn
F
F
nnn
F
F
nn
−−=−+=
−−
,
(
) (
)
0A0
B
K
2K
0
B0A0
B
K
1K
0A
F
0D
nn
F
F
n
nn
F
F
nn
−−=
−+=
−−
.
1.4. При наличии положительных дробных частей значения
F
0C
n
и
F
0D
n
округляются до ближайших больших целых чисел.
15
1.5. Если достигнута истинность выражения
1nn
0A0B
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
0s
F
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
F
n
ε
выбирается
0A
F
nn =
ε
в силу неравенства
( ) ( )
0B0A
nfnf >≥
ε
.
1.6. Если
1nn
0A0B
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
( )
1N ≥
:
2.1. Если
( )
( )
ε
<
−F1NC
nf
, то
( )
F
1NA
F
AN
nn−=
,
( )
F
1NC
F
BN
nn−=
,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1NA1NB
NK
N2K
1NA1NCANBN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и получаем
отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
F
1NCF1NA
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.2. Если
( )
( )
ε
≥
−F1NC
nf
и
( )
( )
ε
<
−F1ND
nf
, то
( )
F
1NC
F
AN
nn
−
=
,
( )
F
1ND
F
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
( )
F
1NA
F
1NB
NK
N3K
F
1NC
F
1ND
F
AN
F
BN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и
получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
F
1ND
F
1NC
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.3. Если
( )
( )
ε
≥
−F1ND
nf
, то
( )
F
1ND
F
AN
nn−=
,
( )
F
1NB
F
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
( )
F
1NA
F
1NB
NK
N2K
F
1ND
F
1NB
F
AN
F
BN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и получаем
отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
F
1NBF1ND
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.4. На отрезке
[ ]
F
BN
F
AN
n,n
при соблюдении условий
F
BN
F
AN
nn <
и
( ) ( )
F
BN
F
AN
nfnf >≥
ε
выбираются номера числовой
последовательности
F
CN
n
и
F
DN
n
, исходя из неравенств
F
BN
F
DN
F
CN
F
AN
nnnn <<<
и
( ) ( ) ( ) ( )
F
BN
F
DN
F
CN
F
AN
nfnfnfnf >>>
, в
с
оответствии с принципами последовательности Фибоначчи,
согласно следующим соотношениям:
( ) ( )
,nn
F
F
nnn
F
F
nn
F
AN
F
BN
NK
N1K
F
BN
F
AN
F
BN
NK
N2K
F
AN
F
CN
−−=−+=
−
−−
−
−−
( ) ( )
.nn
F
F
nnn
F
F
nn
F
AN
F
BN
NK
N2K
F
BN
F
AN
F
BN
NK
N1K
F
AN
F
DN
−−=−+=
−
−−
−
−−
16
2.5. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
F
CN
n
и
F
DN
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
2.6. Если достигнута истинность выражения
1nn
F
AN
F
BN
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsF=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
F
n
ε
выбирается
F
AN
F
nn =
ε
в силу неравенства
( ) (
)
F
BN
F
AN
nf
nf >≥
ε
.
2.7. Если
1n
n
F
AN
F
BN
≠
−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
Стоит отметить, что при достаточно большом значении
начального индекса «K» соответствующие отрезки, полученные
методами золотой пропорции и Фибоначчи, будут иметь
незначительные отличия, что влечет за собой приблизительно
равную эффективность обоих методов.
Метод половинного деления (дихотомии)
Суть половинного деления или дихотомии состоит в
следующем: если разделить отрезок C на отрезки A и B таким
образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A,
будет равно C, деленному на B, то есть A равно B:
2
B
С
A
C
==
, или
BA =
.
Таким образом, при наличии исходного отрезка
[ ]
0B0A
n,n
полученный в результате «N»-го деления отрезок
[ ]
0B0A
n,n
связан с
исходным соотношением
N
0A0B
ANBN
2
nnnn−
=−
.
В данной лабораторной работе метод половинного деления
(дихотомии) имеет следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. На искомом отрезке
[ ]
0B0
A
n,n
при соблюдении условий
0B0A
nn <
и
( )
(
)
0B0A
nfnf >
≥
ε
(по умолчанию значения
0A
n
и
0B
n
являются целыми числами) выбирается номер числовой
последовательности
D
0C
n
исходя из неравенств
0B
D
0
C0A
nnn <<
и
17
( )
( )
( )
0B
D
0C0A
nfnfnf >>
, в соответствии с принципами дихотомии,
согласно следующим соотношениям:
2
nn
n
2
nn
nn
0A0B
0B
0A0B
0A
D
0C
−
−=
−
+=
.
1.2. При наличии положительной дробной части значение
D
0C
n
ок
ругляется до ближайшего большего целого числа.
1.3. Если достигнута истинность выражения
1nn
0A0B
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
0s
D
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
D
n
ε
выбирается
0A
D
nn =
ε
в силу неравенства
( ) ( )
0B0A
nfnf >≥
ε
.
1.4. Если
1nn
0A0B
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
( )
1N ≥
:
2.1. Если
( )
( )
ε
<
−D1NC
nf
, то
( )
D
1NA
D
AN
nn−=
,
( )
D
1NC
D
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
nn
nnnn
D
1NA
D
1NB
D
1NA
D
1NC
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
, и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
D
1NCD1NA
D
BN
D
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.2. Если
( )
( )
ε
≥
−D1NC
nf
, то
( )
D
1NC
D
AN
nn−=
,
( )
D
1NB
D
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
nn
nnnn
D
1NA
D
1NB
D
1NC
D
1NB
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
D
1NBD1NC
D
BN
D
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.3. На отрезке
[ ]
D
BN
D
AN
n,n
при соблюдении условий
D
BN
D
AN
nn <
и
( ) ( )
D
BN
D
AN
nfnf >≥
ε
выбирается номер числовой
последовательности
D
CN
n
исходя из неравенств
D
BN
D
CN
D
AN
nnn <<
и
( ) ( ) ( )
D
BN
D
CN
D
AN
nfnfnf >>
, в соответствии с принципами дихотомии,
согласно следующим соотношениям:
2
nn
n
2
nn
nn
D
AN
D
BN
D
BN
D
AN
D
BN
D
AN
D
CN
−
−=
−
+=
.
2.4. При наличии положительной дробной части значение
D
CN
n
ок
ругляется до ближайшего большего целого числа.
18
2.5. Если достигнута истинность выражения
1nn
D
AN
D
BN
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
N
s
D
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
D
n
ε
выбирается
D
AN
D
n
n =
ε
в силу неравенства
( ) ( )
D
BN
D
AN
nfnf
>≥
ε
.
2.6. Если
1
nn
D
AN
D
BN
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
1.2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Лабораторная работа по расчету значений минимальных
номеров приближения к пределу числовых последовательностей
вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
) на основе расчетов значений минимальных
номеров
ε
n
согласно методам золотой пропорции, Фибоначчи,
половинного деления (дихотомии) для различных условий
варьирования значений исходных данных с последующим
проведением необходимых сравнительных анализов
вычислительных процедур с использованием программы для ЭВМ
«Исследование числовых последовательностей с применением
численных методов» может быть разделена на два этапа.
I этап − «Приближенные вычисления значений минимальных
номеров
ε
n
числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnb
nb
an
ana
x
++
+
+
=
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
)
с использованием методов золотой пропорции, Фибоначчи,
половинного деления (дихотомии) в зависимости от различных
значений
0>
ε
с применением представленной в графическом
калькуляторе программы «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов»
На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп
студентов, сформированных на первом этапе, предлагает различные
19
исходные данные
0
a
,
1
a
,
2
a
,
0
b
,
1
b
,
2
b
, а также несколько значений ε
в рамках одной малой группы.
Предполагается, что студенты по найденным значениям
0A
n
и
0B
n
реализуют итерации с индексами «0», «1» и «2» согласно
методам золотой пропорции, Фибоначчи и половинного деления
(дихотомии).
После этого студенты проведут соответствующие необходимые
расчеты с применением реализованной в графическом
калькуляторе программы «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов».
II этап
−
«Сравнительный анализ методов золотой
пропорции, Фибоначчи, половинного деления (дихотомии) в
результате реализации приближенных вычислений значений
минимальных номеров
ε
n
числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
)
в зависимости от различных значений
ε
»
На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп,
сформированных на первом этапе, предлагает провести
сравнительный анализ сделанных на втором этапе приближенных
вычислений значений минимальных номеров
ε
n
заданных
числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
) в зависимости от различных
значений
ε
.
Для этого, согласно результатам расчетов, необходимо
заполнить совокупную таблицу 1 полученных значений количества
шагов
ε
s
и минимальных номеров
ε
n
в зависимости, во-первых, от
численного метода вычислений, во-вторых, от значений
ε
, на основе
которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется
отчет с последующей сдачей преподавателю и студенты отвечают на
вопросы проверочного тестирования.
20
Таблица 1
Совокупная таблица для лабораторной работы по исследованию
пределов числовых последовательностей
Название
метода
Метод золотой
пропорции
Метод
Фибоначчи
Метод половинного
деления (дихотомии)
Значения ε
GP
s
ε
GP
n
ε
F
s
ε
F
n
ε
D
s
ε
D
n
ε
1
ε
…
X
ε
1.3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ С ПРИМЕРОМ
Рассмотрим схему работы программы «Исследование
числовых последовательностей с применением численных
методов», реализующей задачу определения значений
минимальных номеров
ε
n
числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
b
nbnb
a
nan
a
x
++
+
+
=
(для
0
>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
)
по заданным значениям коэффициентов последовательностей
0
a
,
1
a
,
2
a
,
0
b
,
1
b
,
2
b
, а также значениям ε,
0
A
n
и
0B
n
.
Описание программы «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов»
приведем на примере нахождения значений минимальных номеров
ε
n
числовой последовательности
=
++
++
=
01
2
2
0
1
2
2
n
b
nbnb
ana
na
x
3n4n6
3n7n2
2
2
+−−
−+−
=
с заданными значениями
05,0=
ε
,
15
n
0
A
=
и
9000n0B=
в сопровождении соответствующих скриншотов
программы для ЭВМ.
По вводимым значениям исходных данных через единую
визуальную форму (рис. 2) осуществляется вывод в виде
автоматически создаваемой статической Интернет-страницы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]