Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум для СПО
.pdf
51
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
h
xfxf2xf2
a
xf
2
h
axfxf2xf
2
0211
2
1
2
20210
α
α
+−
=⇒
⇒=+−+
Получим, что
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
2
h
xxxx
h
xfxf2xf2
xx
h
xfxf2
xfxPxfy
00
2
0211
0
021
02
+−⋅−
+−
+
+−⋅
−
+=≈=
α
α
α
В данном случае график подинтегральной функции
( )
xfy =
на отрезке
]hx
,
x[
]x
,
x[
00
1
0
α
+
=
заменяется дугой параболы с
вертикальной осью, проходящей через точки
( )( )
00
xf,x
,
( )( )
( )( )
2hxf,2hxxf,x
002121
αα
++=
и
( )( )
=
11
xf,x
( )( )
αα
hxf,hx
00
++=
.
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке
]h
x,
x
[]
x,
x
[
0
01
0
α
+=
.
(
) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
.dx
2
h
xx
xx
h
xfxf2x
f2
x
x
h
xfxf2
x
f
dxxPdxxfdx
xf
hx
x
0
0
2
0211
0
021
0
hx
x
2
hx
x
x
x
0
0
0
0
0
0
1
0
∫
∫∫∫
+
++
+−⋅−
+−
+
+−
⋅
−
+
=
=≈=
α
αα
α
α
α
Выполним замену переменной:
α
h
xx
t
0
−
=
,
α
h
txx
0
⋅+=
,
dthdx
α
=
.
0t
xx
0
=⇒
=
,
1t
hxx
x
0
1
=⇒+
==
α
.
Тогда
52
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
=
−+
−
+
+
⋅
−+
⋅=
=
+−⋅
−
+
−
+
+−⋅
−
+
∫
∫
+
1
0
0
21
1
0210
h
x
x
00
2
0
21
1
0
02
1
0
dt
2
1
tt
x
fx
f2
x
f2
t
xf
xf2xf
h
dx
2
h
xxxx
h
x
f
xf
2x
f
xx
h
xf
x
f2
x
f
0
0
α
α
α
α
α
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
.xfxf4
xf
6
h
6
x
fx
f2xf
xfxf
xf
h
1210
12
1
0
02
10
++
⋅
=
=
+−
+−+⋅
=
α
α
В итоге имеем:
( )
( )
(
)
( )
( )
.xfx
f4x
f
6
h
dxx
f
12
10
x
x
1
0
++
⋅≈
∫
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
PT
0010
α
+=
равно площади
параболической трапеции, ограниченной осью абсцисс, линиями,
параллельными осям ординат, и дугой параболы с вертикальной
осью, проходящей через точки
( )( )
2121
xf,x
,
( )( )
( )( )
2hxf,2hxxf,x
002121
αα
++=
и
( )( ) ( )( )
αα
hxf,hxxf,x
0011
++=
.
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле параболических трапеций (Симпсона) на
отрезке
]x
,x
[
0
B0
A
.
( ) ( )
( )
(
)
(
)
.xf
xf4xf
6
h
dxx
f
1210
x
x
1
0
++⋅≈
∫
α
53
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
.xfxfxf2
2
xfxf
3
h
xf2xfxf4xfxf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
dxxfdxxfdxxf
12321
20
1232120
22311210
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+++
+
⋅=
=++++⋅=
=++⋅+++⋅≈
≈+=
∫∫∫
α
α
αα
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
.xfxfxfxfxf2
2
xfxf
3
h
xfxf2xfxfxf4xfxf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
dxxfdxxfdxxfdxxf
21252321
30
2125232130
3252
22311210
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
+++++
+
⋅=
=++++++⋅=
=++⋅+
+++⋅+++⋅≈
≈++=
∫∫∫∫
α
α
α
αα
…
…………………………………………………………………
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.xfxf2
2
xfxf
3
h
dxxfdxxf
1N
1J
J
N
1J
21J2
N0
N
1J
x
x
x
x
J
1J
N
0
++
+
⋅≈
≈
=
∑∑
∑
∫∫
−
==
−
=
−
α
Т
огда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке
]x,x[
0B0A
определяется согласно следующему
соотношению:
54
( ) ( ) (
)
(
) (
)
( )
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
)
( )
.xf
xf
2
2
xfxf
3
h
x
fxf2
2
xf
x
f
3
h
dxx
fdxxfdx
x
f
1S
1J
J
S
1J
2
1J
2
0B0A
1S
1J
J
S
1
J
21J2
S0
S
1J
x
x
x
x
x
x
J
1J
S
0
0B
0
A
+
+
+
⋅=
=
++
+
⋅
≈
≈
==
∑∑
∑∑
∑
∫
∫∫
−
==
−
−
=
=
−
=
−
α
α
В данной лабораторной работе использование формулы
параболических трапеций (Симпсона) имеет следующую
реализацию (итерация с индексом «N»
( )
1
N
≥
):
1. На отрезке
[ ]
0B0A
x,x
при соблюдении условия
0B0A
xx <
,
исходя из вводимого или рассчитанного значения величины шага
PT
h
α
(при вводимом значении количества шагов
PT
s
α
по формуле
PT
0
A0B
PT
s
xx
h
α
α
−
=
), выбирается абсцисса точки подинтегральной
функции с координатами
( )( )
PT
N
PT
N
xf,x
, то есть
PT
N
x
, согласно
следующему соотношению:
PTPT
1N
PT
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется расчет площади элементарной
параболической трапеции
PT
N
q
, значение высоты которой
PT
0
PT
1
PT
1N
PT
N
PT
xxxxh −=−=
−
α
, согласно следующей формуле:
(
)
( )
( )
( )
( )
PT
N
PT
21N2
PT
1N
PT
PT
N
xfxf4xf
6
h
q ++⋅=
−
−
α
.
3. Осуществляется расчет приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[
]
PT
N0A
x,
x
согласно
следующему соотношению:
( )
PT
N
PT
1N
PT
N
qII +=
−
αα
.
4. Если достигнута истинность выражения
0
B
PT
N
xx
≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
N
sPT=
α
, и
приближенное значение определенного интеграла
PT
N
PT
II
αα
=
.
5. Если
0B
PT
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
55
3.2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Лабораторная работа по реализации приближенных
вычислений значений определенных интегралов согласно
формулам средних прямоугольников, прямоугольных трапеций,
параболических трапеций (Симпсона) для различных условий
варьирования значений исходных данных с последующим
проведением необходимых сравнительных анализов
вычислительных процедур с использованием программы для ЭВМ
«Исследование определенных интегралов с применением
численных методов» может быть разделена на два этапа.
I этап
−
«Приближенные вычисления значений определенных
интегралов по формулам средних прямоугольников,
прямоугольных трапеций, параболических трапеций (Симпсона) в
зависимости от различных значений количества шагов
α
s
или
величины шага
α
h
с применением программы для ЭВМ
«Исследование определенных интегралов с применением
численных методов».
На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп
студентов, сформированных на первом этапе, предлагает различные
исходные данные символьной записи подинтегральной функции
( )
xfy =
, значений абсцисс
0A
x
,
0B
x
, а также несколько значений
количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
в рамках одной малой
группы.
Предполагается, что студенты предварительно самостоятельно
могут вычислить точные значения определенного интеграла в
результате исследования подинтегральной функции
( )
xf
, а также
по предлагаемым значениям концов одного из интервалов
изоляции
0A
x
и
0B
x
реализуют итерации с индексами «1», «2» и «3»
согласно формулам средних прямоугольников, прямоугольных
трапеций, параболических трапеций (Симпсона).
После этого студенты проведут соответствующие необходимые
расчеты с применением программы для ЭВМ «Исследование
определенных интегралов с применением численных методов».
II этап
−
«Сравнительный анализ формул средних
прямоугольников, прямоугольных трапеций, параболических
56
трапеций (Симпсона) в результате реализации приближенных
вычислений определенных интегралов в зависимости от
различных значений количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
»
На данном финальном этапе преподаватель для каждой из
малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает
провести сравнительный анализ реализованных на втором этапе
приближенных вычислений определенных интегралов в
зависимости от различных значений количества шагов
α
s
или
величины шага
α
h
.
Для этого согласно результатам расчетов необходимо
заполнить совокупную таблицу 3 полученных значений в
зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а вовторых, от значений количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
, на
основе которой формируются итоговые выводы по работе,
заполняется отчет, который затем сдается преподавателю, и
студенты отвечают на вопросы проверочного тестирования.
Таблица 3
Совокупная таблица для лабораторной работы по исследованию
определенных итегралов
Название
метода
Формула
средних
прямоугольников
Формула
прямоугольных
трапеций
Формула
параболических
трапеций
(Симпсона)
Знач.
α
s
Знач.
α
h
MR
I
α
R
MR
II −
α
TR
I
α
R
TR
II −
α
PT
I
α
R
PT
II −
α
1
s
α
1
h
α
… …
N
s
α
N
h
α
57
3.3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ С ПРИМЕРОМ
Рассмотрим схему работы программы «Исследование
определенных интегралов с применением численных методов»,
реализующей задачу нахождения прилиженного значения
определенного интеграла для функции вида
( )
01
01
bxb
axa
xf
+
+
=
по
заданным значениям коэффициентов функции
0
a
,
1
a
,
0
b
,
1
b
, а также
значениям абсцисс критериальных точек отрезка
0A
x
,
0B
x
и
указываемым значениям количества шагов
s
или величины шага h
для каждого из рассматриваемых численных методов.
Описание программы «Исследование определенных
интегралов с применением численных методов» приведем на
примере нахождения приближенных значений определенного
интеграла для уравнения функции
( )
5x7
6x8
bxb
axa
xf
01
01
−
−
=
+
+
=
с
заданными критериальными значениями интервала
интегрирования
1x
0A
=
и
5x0B=
, а также значений количества
шагов для формулы средних прямоугольников
12sMR=
α
, величины
шага для формулы прямоугольных трапеций
5,0hTR=
α
и количества
шагов для формулы параболических трапеций (Симпсона)
6sPT=
α
в
сопровождении соответствующих скриншотов программы для ЭВМ.
В программе через единую визуальную форму приложения
осуществляется ввод значений исходных данных для решаемой
задачи в целом, а также выбор и указание значения необходимого
расчетного параметра для каждого из применяемого численного
метода (рис. 14). Вывод значений исходных данных (рис. 15),
итоговых результатов вычислений (рис. 16), а также информации о
значениях промежуточных результатов вычислений по формулам
средних прямугольников (рис. 17), прямоугольных трапеций
(рис. 18) и параболических трапеций (Симпсона) (рис. 19)
реализуется в виде автоматически создаваемой статической
Интернет-страницы.
58
Рис. 14. Ввод значений исходных данных
59
Рис.15.Выводзначенийисходныхданных
60
Рис.16.Выводзначенийитоговыхрезультатов
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]