Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Формообразование строительных конструкций. Монография
.pdf
101
ром — [115], а несколько раньше, например, М. Секуловичем
[133]. Математическое обоснование весьма эффективных много-
сеточных методов конечных элементов представлено В.В. Шайдуровым — [186].
Если поставлена задача численного «разрушения» конечноэлементной модели конструкции путем вынужденного совместного перемещения узлов модели, то неизбежно возникает потребность в корректном приближенном определении внутренней
геометрии тела любого конечного элемента непосредственно на
каждом шаге движения (деформирования) системы.
Полную потенциальную энергию упругой деформации ν-го
конечного элемента Uν как самостоятельного тела из общего
множества N конечных элементов (ν = 1, …, N) рассматриваемой
конструкции можно определить [135, п. 15.4] интегралом по его
объему Vν:
Uν = Vν∫ρE(γij)dV, (4.9)
где ρ — массовая плотность конечного элемента (масса его единичного объема) в некоторой конфигурации тела С; вводится допущение, что масса конечного элемента абсолютно непрерывна и
не изменяется при любом его движении, т.е. в иной конфигурации С0 будет иная массовая плотность ρ0, но должно сохраняться
интегральное соотношение
Vν0∫ ρ0 dVν0 = Vν
∫ ρdVν;
(4.10)
γij — тензор деформаций;
E(γij) — плотность энергии деформации (дифференцируемая
функция деформации, порождающая напряжения), такая функция, что
ρdE(γij) /dt = σijdγij / dt, (4.11)
здесь σij — тензор напряжений;
так как ρdE(γij) /dt = ρ [∂E(γij) / ∂ γij] dγij /dt,
то σij = ρ∂ E(γij) / ∂γij.
Упругие материалы, для которых напряжения в теле выводятся
из функции энергии деформаций соотношением (4.11), Дж. Оден
определил как «гиперупругие». Используя третий инвариант тен-
102
зора деформаций I3 и равенство, аналогичное (4.10), он получил
уравнение неразрывности в виде
ρ = ρ0 (I3)
–0,5
.
Поскольку известны размеры и форма упругого тела в начальной конфигурации С0, близкой к конфигурации недеформированного состояния, вместо функции E(γij), как отмечено в [105] (п.
15.5), удобно использовать упругий потенциал W(γij):
При этом для тензора напряжений (σij) имеет место выражение
σij = (I3)
W = ρ0E.
–0,5
∂W(γij) / ∂γij.
В [105, п. 15.5] рассмотрены и представлены свойства и различные формы функции энергии деформации W: для изотропных
и анизотропных материалов, а также для несжимаемых тел. На
основе функции W строятся матрицы жесткости самых разнообразных семейств конечных элементов упругих тел.
Однако для определения функций W или Е необходимо для
каждого конечного элемента обладать, по крайней мере, приближенными, аналитическими выражениями тензора деформаций γij
на любом, а не только на стартовом, этапе геометрически нелинейного процесса деформирования. Поэтому прямое вычисление
интеграла энергии Uν по формуле (4.9) невозможно без рассмотрения задач простого и сложного нагружения конструкций, развивающегося во времени.
Существует проблема построения матриц жесткости при шаговой линеаризации физически и геометрически нелинейных
процессов деформирования, когда становятся существенно переменными физико-механические параметры конструкционных материалов, из которых изготовлена моделируемая конструкция.
Речь должна идти о применении математических моделей «неупругого поведения и накопления повреждений материала
(обобщенной модели неупругости)». Такая модель была разработана, предложена и внедрена в отечественную практику расчетов
конструкций (прежде всего, машиностроительных) на уровне
программного обеспечения ЭВМ уже в 80-е гг. прошлого века
[128]. В итерационно-шаговых алгоритмах решения линеаризо-
103
ванных краевых задач нелинейного деформирования конструкций (в рамках МКЭ) важное место для обеспечения точности и
сходимости результатов отводится «методу ортогональной прогонки». Этот метод, в частности, ранее был обобщен на решение
многоточечных линейных краевых задач теории тонкостенных
пространственных систем с переменной размерностью вектора
аппроксимации перемещений и с автоматическим выбором шага
ортогонализации в трудах [124; 149—151].
К сожалению, в строительстве, в том числе и в мостостроении,
«теория неупругости» [128], по-видимому, не нашла пока практического применения. Для железобетонных конструкций теоретической основой создания аналогичных программ конечноэлементного нелинейного (по крайней мере, статического и реологического) анализа сооружений могут стать модели деформированного бетона и железобетона, представленные в трудах [49;
64; 120]. Одной из трудностей моделирования бетонов становится все более нарастающее разнообразие физико-химических характеристик компонент этого конструкционного материала и их
числа в смеси, применяемой в одной конструкции. Вместе с тем,
в машиностроении математические модели, например, реологического деформирования и разрушения материалов и элементов
конструкций достаточно отработаны для использования в ответственных конструкциях [126]. Во всех случаях проблемным, требующим значительной экспериментальной проверки остается
вопрос динамического анализа объектов и конструкционных материалов.
Если для узлов конечного элемента перемещения на каждом
шаге расчета известны, то открывается возможность для постановки локальных краевых задач определения приращения перемещений «внутри» элементов (т.е. вне узловых точек, а также в
узлах, ранее «отсоединившихся» от изначальной структуры расчетной модели) рассмотреть несколько теоретически приемлемых
допущений о связи между деформациями и напряжениями.
Остается принять для продолжения анализа элемента то из
допущений, при котором в рассматриваемом элементе изменение потенцииальной энергии деформации минимально (алгебраи-
чески, — т.е. «приращение» в некотором допущении минимально, или «потеря» этого вида энергии на стадии разгрузки в другом
104
допущении максимальна). «Перебор» возможных направлений
(или «теорий») деформирования по энергетическим критериям
вне рамок «простого нагружения», предложенный и разработанный академиком А.С. Христиановичем [173—175], станет более
доступным только на базе многопроцессорных вычислительных
систем с очень высоким по современным понятиям быстродействием.
Физически нелинейный динамический анализ строительных
конструкций с использованием разнообразных одномерных диаграмм нелинейной зависимости σ = f(ε) разработан и применяется
на основе разработанного математического обеспечения для анализа резервуаров и других сооружений по универсальным и специальным компьютерным программам.
Учет пластических свойств металла в методике предельных
состояний для мостостроения и промышленного строительства
ограничивается по СНиП максимальными значениями остаточных относительных деформаций 0,0006…0,0025 — в зависимости
от назначения и условий работы сооружений.
Предположим, что для шага по времени номер u (u = 1, ..., G)
продолжительностью Δt (т.е. на отрезке времени [tu ≤ t ≤ t
u+1
= t
+Δt]) матрицы жесткости всех конечных элементов могут быть
построены в начальном и конечном состояниях движения системы,
определяемых векторами Yζ(tu) или Yζс(tu) и Yζ(t
Обозначим: (a
ν,u
); (a
) — матрицы жесткости конечного элемен-
ν,u+1
) или Yζс(t
u+1
u+1
).
та номер ν из полного множества таких элементов (ν = 1, ..., N) в
целом для моделируемого объекта. Эти матрицы в локальной системе координат < xν, yν, zν > ν-го элемента определяют «единичные» узловые реакции конечных элементов «до» и «после» накопления разности векторов перемещений узлов на шаге номер u. Из
многомерных векторов Yζ(tu) или Y
ζс (tu
) и Yζ(t
) или Yζс(t
u+1
) выде-
u+1
лим проекции, относящиеся к конечному элементу номер ν, и построим векторы ΔY
нечного элемента номер ν за шаг по времени номер u:
ΔY
ζuν
ζuν
= Y
и ΔY
ζu+1
приращения перемещений узлов ко-
ζсuν
– Yζu, или ΔY
ζсuν
= Y
ζсu+1
– Y
ζсu
.
Если на шаге номер u «разрушилась» какая-либо существовавшая изначально (начиная от стартового «исходного» состояния
системы) узловая связь с внешней средой (или появилась новая
u
105
связь), а также если изменились кинематические условия контакта
конечного элемента с узлом системы, то это может быть учтено в
рамках подхода работ [115; 124; 149] коррекцией вектора перемещений соответствующего узла при решении краевых задач в каждом из конечных элементов, примыкающих к такому узлу.
Нельзя исключить, что, начиная с некоторого шага, постановка краевой задачи для отдельных конечных элементов станет невозможной в силу выхода его материала из устойчивого состояния в рамках формулировки краевой задачи. В такой ситуации
остается либо исключить такой конечный элемент из дальнейшего анализа как «разрушенный» (см. ниже подразд. 4.4), либо подвергнуть его дальнейшему дроблению для локализации зоны неопределѐнности математической модели объекта.
Используя введенные выше обозначения, можно представить
выражение приращения потенциальной энергии деформации
ΔU
для каждого из элементов:
ΔU
или
всей модели МКЭ как сумму аналогичных приращений
u,u+1
u,u+1
ΔU
= ΣνU
= ΣνU
u,u+1
uν,(u+1)ν
сuν,(u+1)ν
= Σν 0,5(Y
= Σν0,5(Y
ζuν+1
– Y
ζсuν+1
ζuν
– Y
)Т (a
ζсuν
ν,u+1
)Т(a
)(Y
ν,u+1
ζuν+1
)(Y
– Y
ζсuν+1
) (4.12)
ζuν
– Y
ζсuν
).
Если применить компьютерные технологии и «окрасить» каждый конечный элемент расчетной схемы в зависимости от достигнутого в этом элементе уровня функции Uζu, то можно получить в прямом смысле визуальный энергетический портрет конечно-элементной системы, изменяющий свою «расцветку» от
шага к шагу по отрезку времени, на котором моделируется процесс деформирования конструкции.
4.3. АЛГОРИТМ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМОВ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
На старте процесса «раскачки» системы, в ее «исходном» со-
стоянии, функции потенциальной энергии деформации всех конечных элементов (U0ν) и их сумма для системы в целом (ΣνU0ν)
полагаются известными. По мере шаговой реализации любого из
106
пробных движений (векторов Yζ (t) или Y
(t) — формулы (4.6) и
ζс
4.8) потенциальная энергия деформации системы (ΣνUν) сначала
нарастает за счет прироста энергии деформации в элементах системы. Однако на более поздних шагах деформирования неупругой системы накопление потенциальной энергии в ней замедляется или выходит на локальные экстремумы (при переходе через
области неустойчивого равновесия), может вообще прекратиться,
когда на некотором шаге u достигается величина maxuU — глобальный экстремум функции U = ΣνUν.
После достижения энергетического экстремума конечные эле-
менты могут на этапе еще нарастающей амплитуды при достижении высоких уровней относительной деформации в точке «обрыва» одноосной диаграммы σ = f(ε) стремительно потерять ту часть
внутренней энергии деформации, которая была в них заложена
при образовании конструкции. В математической модели могут
также вводиться различные диаграммы упругопластического деформирования материала с учетом разгрузки. Поскольку «раскачка» есть процесс колебаний с нарастающими амплитудами,
то о приспособляемости материалов, работающих в упругопластической стадии, речь идти не должна. Конечные элементы деградируют, постепенно (или стремительно) нарушая сплошность,
разрушаясь и «исчезая» из системы. Математическая модель системы должна четко фиксировать эти процессы на уровне каждого конечного элемента при каждом статистическом розыгрыше
множителей ζi для «изготовления» векторов Yζ(t) или Y
ζс
(t).
Следует заметить, что при глубоком «погружении» в область
упругопластических плоских и, тем более, объемных деформаций
корректность математических моделей деформирования конструкционных материалов вне процесса «простого нагружения»,
в целях усиления достоверности, требует определенной экспериментальной поддержки. Для реальных строительных конструкций, выполняемых в своей массе, в основном, из сталей и бетонов, на экспериментальных моделях с позиций деформирования
материалов уровень обоснования математических моделей «раскачки», в принципе, может быть повышен.
Возникает задача: отыскать такую подобласть области [–1≤ ζi ≤1]
(i = 1, …, q), в окрестности которой находится глобальный экстремум maxτ(1/maxuU). Эта задача многоэкстремального нели-
107
нейного математического программирования была решена В.К.
Чичинадзе [185] и, в частности, предлагалась для анализа общей
устойчивости стальных рамных каркасов промышленных зданий
[161, прил. 1].
Следуя [185], введем функцию F от переменных ζi (i = 1, …,
q), образующих q-мерные векторы ζ:
F = F(ζ1, …, ζq) = 1/maxuU(ζi).
Введем также одномерную функцию Ψ = Ψ(s), образуемую в
результате некоторого преобразования функции F, в основе ко-
торого лежит понятие интеграла Лебега. Преобразование F→Ψ
заключается в определении меры некоторого множества Е*, на
котором F превосходит заданное значение s. Величина s изменяется в пределах: F
≤ s ≤ F
min
. Метод Ψ-преобразования позво-
max
ляет описать закон изменения указанной меры, когда s изменяется от минимального до максимального значения F. В процессе
построения функции Ψ(s) образуются также функции ζi(s), благо-
даря которым можно определить не только значение глобального
экстремума, но и его координаты, т.е. экстремальные значения
параметров ζi.
Оказывается, что функция F, а также функции ζiτ(s), образую-
щиеся в результате преобразования F→Ψ, обладают рядом
свойств, благодаря которым они могут быть использованы не
только в случае задач оптимизации, хорошо решаемых и другими
методами, но и в случае наиболее сложных задач — многоэкстремальных, в том числе и с экстремумами, не являющимися
внутренними точками. Последнее полезно для решения проблем
этой главы при специальных ограничениях на области допускаемых перемещений и на отрезки времени, отводимые для анализа
движения системы.
4.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Когда получен детерминированный энергетический «порт-
рет», он может быть (уже только для одной функции движения)
приближенно перестроен в вероятностный, но только с точностью до задания вероятностных характеристик геометрии соору-
108
жения, материалов его конструкций и связей, а также параметров
регулирования внутренних усилий в процессе монтажа. В процессе «распознавания образа» функционала внутренней потенциальной энергии как своеобразного обобщенного фундаменталь-
ного инварианта изучаемого объекта ставят и приближенно по-
лучают ответы на следующие важнейшие вопросы:
● Могут ли расчетные сочетания внешних воздействий с их
энергетическими ресурсами привести рассматриваемую систему
на максимальный из достигнутых или экстремальный энергетический уровень рассматриваемого инварианта?
● Не достигается ли переход в неустойчивое состояние по
крайней мере одной из подсистем (одного из блоков или даже
одного из элементов системы) до достижения экстремального
энергетического уровня всей системой?
● Не существует ли других, не рассматривавшихся изначально
схем загружения системы заданным (нормируемым) набором
внешних воздействий при иных, но, возможно, вполне вероятных
их сочетаниях — таких схем, которые понижают уровни экстремальных значений внутренней потенциальной энергии системы в
целом или максимальные энергетические уровни отдельных частей системы?
Такая постановка вопроса не является прямым аналогом из-
вестной «обратной» задачи динамики — восстановления функции воздействия по заданной траектории движения объекта [45].
● Не существует ли других воздействий, при определенных
условиях вполне возможных, но не предусмотренных нормами
или техническим заданием, которые снижают экстремальные
энергетические барьеры сопротивления объекта или только его
частей разрушению?
«Первоисточниками» таких воздействий следует, в первую
очередь, считать специальные динамические воздействия, например, по отечественному справочнику [53], а также исходя из комплекса «природных опасностей России» [118].
● Как рационально перестроить конструкцию для достижения
максимальных значений рассматриваемых общего и локальных
энергетических уровней, достаточных для надежной длительной
эксплуатации объекта при минимальных ресурсах, необходимых
на его создание?
109
Разумеется, на любом из промежуточных этапов анализа, даже
в детерминированной постановке, эти вопросы (все или выборочно) можно поставить для выбраковки энергетически «слабых»
проектных решений. Так может быть реализована идея о совмещении во времени процессов расчета сооружения и его совершенствования (частичной оптимизации) [182]. В принципе, ответы на поставленные выше вопросы можно получать с определенной степенью достоверности, организуя подсчет энергетического
баланса для каждой комбинации форм свободных колебаний —
векторов Yζ(t) и Yζс(t) на каждом шаге по времени Δt, для каждого
конечного элемента и модели в целом. Приращение кинетической
энергии системы за один шаг по параметру времени (ΔT
u,u+1)
определяется с использованием матриц масс конечных элементов
m
по формуле, аналогичной формуле (4.12):
ν,u+1
ΔT
u,u+1
= ΣνT
uν,(u+1)ν
= (Σν0,5(Y
Диссипация энергии (ΔС
логично с использованием матриц диссипации (с
– Y
ζuν+1
) за один шаг Δt определяется ана-
u,u+1
ζuν
)Т(m
ν,u+1
)(Y
ζuν+1
– Y
ν,u+1
ζuν
) конечных
))/ Δt2.
элементов, формирующих матрицу с в уравнении движения (4.1):
ΔС
u,u+1
= ΣνС
uν,(u+1)ν
= (Σν0,5(Y
ζuν+1
– Y
ζuν
)Т(с
ν,u+1
)(Y
ζuν+1
Приращение работы внешних воздействий (ΔP
– Y
ζuν
) (работы
u,u+1
))/ Δt2.
вектора p(t), изменяющегося на шаге u от вектора p(t)u до вектора
p(t)u + Δp(t)
(Y
– Yζu) также может быть выражено через сумму интегралов
ζu+1
, на приращении вектора узловых перемещений
u,u+1
работы в каждом конечном элементе:
ΔP
Y
= Σν (∫ p(t)uνY(t)
u,u+1
Y
ζuν+1
ζuν
).
ζuνdYν
Так как вектор Yζ(t) не является результатом воздействия век-
тора p(t), то проверка «энергетических возможностей» вектора
p(t) может быть выполнена оценкой соблюдения условия для за-
дач динамики:
а для задач статики условия
ΔU
u,u+1
+ ΔT
ΔU
u,u+1
u,u+1
+ ΔС
< ΔP
< ΔP
u,u+1
. (4.14)
u,u+1
, (4.13)
u,u+1
110
Если неравенства (4.13) или (4.14) соблюдаются для некоторого
вектора воздействия p(t), то остается признать, что конечноэлементная модель конструкции на шаге по времени u «разрушена».
На уровне конечного элемента могут быть проверены неравенства, аналогичные выражениям (4.13) и (4.14):
а для задач статики условия:
ΔU
ΔU
νu,u+1
+ ΔT
νu,u+1
νu,u+1
< ΔP
+ ΔС
. (4.16)
νu,u+1
νu,u+1
< ΔP
νu,u+1
, (4.15)
Если неравенства (4.15) или (4.16) соблюдаются для некоторого
вектора воздействия pν(t), то остается признать, что ν-й конечный
элемент на шаге по времени u «разрушен».
Наряду с энергетическим подходом могут быть, в зависимости
от свойств материалов, использованы деформационные критерии
разрушения несущих элементов, поскольку для применяемых
материалов по экспериментальным данным известны предельные
значения относительных деформаций, а функции перемещений и
их производных для конечных элементов в «методе раскачки»
задаются в узлах и могут быть приближенно определены в любой
точке конечного элемента.
Предложенный в этой главе «метод раскачки» может найти
применение при разработке новых подходов к анализу предельных состояний сооружений, в том числе большепролетных и линейно-протяженных, в случаях восприятия ими динамических
воздействий через фундаменты от взаимодействующего с несущими конструкциями геомассива.
Для динамической системы «сооружение — геомассив» в
рамках некоторой общей (совместной) математической модели
(не обязательно конечно-элементной и, возможно, более простой)
в случае рассмотрения малых линейных колебаний может быть
получен спектр свободных колебаний, а после реализации изложенного выше приема «раскачки» найден вектор Yζ(t) — см. подразд. 4.2, формулу (4.6) — в результате применения алгоритма,
изложенного в подразд. 4.3.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]