Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая статистика и финансовые вычисления. Методическое пособие
.pdf
31
Решение.
=
= 20 % +10 % = 30 %
- 3% = 28% - 3% = 25%
Ответ. Погашаемая сумма 270,4 млн. рублей, множитель наращения –
2,704.
3.4. Определение уровня ставки процентов
Из формул для расчета наращенной суммы можно получить выражение
для ставки процентов при заданных прочих условиях
Задача. Сумма долга с 5 млн. рублей увеличилась до 8 млн. рублей за
4 года, по какой ставке на нее начислялись сложные проценты?
Дано: P = 5 млн. руб., S=8 мл . руб., T=4 года
Ответ. Ставка сложных процентов равна 12,47 %.
Задача. Какова должна быть ставка сложных процентов для того
чтобы сумма долга удвоилась за 5 лет?
Дано. S = 2*P, Т = 5 лет
Решение. По условию задачи: S = 2*P, тогда
, следовательно:
= 0,15 или 15 %
Ответ. Ставка сложных процентов равна 15 %.
32
3.5. Дисконтирование по сложной ставке процентов
Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться
двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет.
Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной
ставке, поэтому используется крайне редко.
1. Математическое дисконтирование по сложной процентной
ставке i:
1.1. При однократном начислении процентов в течение периода
формула математического дисконтирования принимает вид:
где
– дисконтный множитель математического дисконтирования по
сложной процентной ставке.
Задача. Определить современную стоимость платежа в размере
3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, сложная
процентная ставка составляет 40 %.
Дано: S = 3 млн. руб., T = 1,5 года, i = 40 % .
Решение.
Ответ. Современная стоимость платежа 1,811 млн. рублей
1.2. При неоднократном начислении процентов в течение года формула
математического дисконтирования принимает вид:
где j – номинальная сложная процентная ставка;
– дисконтный множитель математического дисконтирования
по сложной номинальной процентной ставке.
Задача. Определить современную стоимость платежа в размере
3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентная
ставка составляет 40 %, если проценты начисляются каждое полугодие.
Дано: S = 3 млн. рублей, T = 1,5 года, j = 40 %, m = 2 (начисление 1 раз
в полугодие или 2 раза в год).
Решение.
Ответ. Современная стоимость платежа 1,736 млн. рублей
33
2. Банковский учет по сложной учетной ставке d:
2.1. При однократном начислении процентов в течение периода
формула банковского учета принимает вид:
где
– дисконтный множитель банковского учета по сложной
учетной ставке.
Задача. Определить современную стоимость платежа в размере
10 млн. рублей, который должен поступить через 2 года, учетная ставка
составляет 20 %.
Дано: S = 10 млн. рублей, T = 2 года, d = 2 0% .
Решение.
=
Ответ. Современная стоимость платежа млн. рублей.
2.2. При многократном начислении процентов в течение периода
формула банковского учета принимает вид:
При m > 1 получаем
где f – номинальная сложная учетная ставка,
– дисконтный множитель банковского учета по сложной
номинальной учетной ставке.
Задача. Определить современную стоимость платежа в размере
12 млн. рублей, который должен поступить через 2 года, номинальная
сложная учетная ставка составляет 12 %, проценты начисляются раз в
2 месяца.
Дано: S = 12 млн. рублей, T = 2 года, f = 12%, m=6.
Решение.
Ответ. Современная стоимость платежа 9,416 601 млн. рублей.
3.6. Начисление непрерывных процентов
Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление
сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в
году стремится к бесконечности, тогда величина промежутка между
34
отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление
станет практически непрерывным. При построении сложных
аналитических моделей (например, при разработке масштабных
инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты.
Непрерывная процентная ставка обозначается буквой ; (читается
“дельта”), часто этот показатель называют “сила роста”. Формула
наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:
где e – основание натурального логарифма (2,71828...);
– множитель наращения непрерывных процентов.
Задача. Чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если
сегодня положить ее на банковский депозит под 15 % годовых,
начисляемых непрерывно?
Дано: P = 250 тыс. рублей, T = 3 года, = 15%.
Решение.
Ответ. Через три года сумма составит 392,1 тыс. рублей.
Для непрерывных процентов не существует различий между
процентной и учетной ставками – сила роста является универсальным
показателем.
Однако, наряду с постоянной силой роста может использоваться
переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному
закону (математической функции). В этом случае можно строить очень
мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета
таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем
пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной
процентной ставке.
Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы
роста выполняется по формуле:
где
– дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.
Задача. В результате осуществления инвестиционного проекта
планируется получить через 2 года доход в размере 15 млн. рублей. Чему
будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях,
если сила роста составляет 22 % годовых?
Дано: S = 15 млн. рублей, T = 2 года, = 22%.
35
Решение.
Ответ. Приведенная стоимость 9,66 млн. рублей.
3.7. Эквивалентность простых и сложных ставок
Значение процентных ставок различного вида, обеспечивающих
финансовую эквивалентность соответствующих операций, могут быть
определены на основе уравнений эквивалентности.
Следовательно, эквивалентная простая ставка:
а эквивалентная сложная ставка:
Задача. По депозитному сертификату на сумму 100 млн. рублей через
5 лет будет выплачено 300 млн. рублей. Начисление процентов по простой
процентной ставке. Определить эквивалентную сложную процентную
ставку.
Дано: P = 100 млн. руб., S = 300 млн .руб., Т = 5 лет.
Решение.
Ответ. Простая процентная ставка 40 %, эквивалентная сложная
процентная ставка 25 %.
3.8. Инфляционные процессы
Понимание различий механизмов наращения простых и сложных
процентов помогает избегать довольно распространенных ошибок. Следует
помнить, что такой процесс как инфляция развивается в геометрической, а
не в арифметической прогрессии, то есть к нему должны применяться
правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста
цен в этом случае являются цепными, а не базисными, т.к. в каждом
36
последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к
началу года или какой—либо иной неизменной базе.
Задача. Инфляция в январе составила 5 %, в феврале 4 %, а в марте
9 %. Определить инфляцию за квартал, среднемесячный уровень инфляции
и годовую инфляцию.
Решение. Инфляция за квартал:
или 19,03 %
Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит:
Годовая инфляция в этом случае составит:
Ответ. Инфляция за квартал 19,03 %, среднемесячный уровень
инфляции – 5,98 % и годовая – 100,76 %.
Задача. По векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил
520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32 % годовых.
Чему равен срок до погашения векселя?
Решение. Учет векселей проводится с использованием
антисипативного метода и коммерческих процентов (К = 360 дней).
Определить за сколько дней до наступления срока погашения был
произведен учет?
Ответ. За 289 дней до наступления срока погашения был произведен
учет.
Задача. Товар, стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях
коммерческого кредита, предоставленного под 15 % годовых (простая
процентная ставка, временная база 360 дней). Сумма оплаты по
окончанию срока кредита составила 1 млн. 650 тыс. рублей. Чему равен
срок предоставленного кредита?
Решение. При декурсивном методе начисления процентов применим
формулу
37
Ответ. 240 дней - срок предоставленного кредита
3.9. Формула удвоения суммы задолженности
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может
задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в L раз при
данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании
своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим,
приравняв
множитель наращения к величине L:
а) для простых процентов
,
откуда:
б) для сложных процентов
,
откуда:
Особенно часто используется L=2. Тогда предыдущие формулы
называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов
б) для сложных процентов:
Если формулу удвоения для простых процентов легко применять для
прикидочных расчетов, то формула удвоения для сложных процентов
38
требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках
процентов (скажем, менее 10 %) вместо нее можно использовать более
простую приближенную, которую просто получить, если учесть, что
тогда
Задача. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке
простых и сложных процентов равной 10 %. Для ставки сложных
процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле.
Результаты сравнить.
Решение.
а) При простых процентах:
б) При сложных процентах и точной формуле:
в) При сложных процентах и приближенной формуле:
Ответ.
1. Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов
приводит к совершенно различным результатам.
2. При малых значениях ставки сложных процентов точная и
приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
3.10. Контрольные задания
Задача 1. Ссуда в А млн. рублей выдается Б января 2016 года по
В сентября 2019 года под Г% годовых (процентная ставка). Определить
наращенную сумму в случае начисления сложных процентов за весь срок
пользования деньгами и смешанном способе.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
12
15
18
20
25
30
40
50
60
Б
9
12
14
16
18
20
22
24
26
28
В
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
Г
5 7 9
10
12
14
16
18
20
6
39
Задача 2. Ссуда в А млн. рублей выдана Б марта 2018 года под В%
годовых (процентная ставка). Наращенная сумма в случае начисления
сложных процентов за весь срок пользования деньгами и смешанном
способе составила Г млн. рублей. Определить дату возврата ссуды.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
20
25
30
40
50
60
20
25
30
40 Б 5 7 9
10
12
14
16
18
20
6 В 18
20
22
24
26
28
18
20
22
24 Г 29
31
35
52
64
78
34
32
36
48
Задача 3. Ссуда размером А млн. рублей выдана на 2 года по
номинальной сложной процентной ставке Б% годовых с начислением
процентов В раза в год. Определить будущую сумму к концу срока ссуды.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
25
30
40
50
60
18
20
22
24
26 Б 20
22
24
26
28
21
19
17
15
13 В 2 4 12 2 4
12 2 4
12
4
Задача 4. В договоре зафиксирована сумма ссуды А млн. рублей и
переменная ставка сложных процентов, определяемая как Б% годовых
плюс маржа В процентных пункта в первые два года по отношению к
первому году, Г процентных пунктов в третий год по отношению ко
второму году, Д процентных пунктов в четвертый год, по отношению к
третьему. Определить величину множителя наращения и наращенную
сумму за 4 года
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
90
80
70
60
50
40
30
20
10
11
Б
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
В
4 2 1
-2
-4 0 -5
-2 4 2 Г -2
-4
-5 4 2
-4 4 3
-2
-4 Д 0 1 2 0 2 3 0 1 4
2
Задача 5. За какой срок в годах сумма в А млн. рублей увеличится до Б
млн. рублей, если на нее будут начисляться сложные проценты по ставке
В% годовых?
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Б
12
14
18
20
24
24
26
25
30
32 В 22
30
25
24
32
12
15
10
28
16
40
Задача 6. Какова должна быть ставка сложных процентов для того
чтобы сумма долга удвоилась за А лет?
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
3 4 5 2 8 5 3 6 4
8
Задача 7. Определить современную стоимость платежа в размере А
млн. рублей, который должен поступить через Б года, процентная ставка
составляет В%:
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
12
14
18
20
24
24
26
25
30
26 Б 2,5
2,25
3,5
3,75
1,5
2,5
2,25
3,5
3,75
1,5 В 15
25
35
45
55
40
30
20
10
50
Задача 8. Чему будет равна через А года сумма Б тыс. рублей, если
сегодня положить ее на банковский депозит под В% годовых, начисляемых
непрерывно?
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
2 3 4 2 3 4 2 3 4
2 Б 15
25
35
45
55
40
30
20
10
50 В 4 2 2 2 4 2 2 4 4
2
Задача 9. В результате осуществления инвестиционного проекта
планируется получить через А года доход в размере Б млн. рублей. Чему
будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях,
если сила роста составляет В% годовых?
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
2 3 4 2 3 4 2 3 4
2 Б 15
25
35
45
55
40
30
20
10
50 В 14
22
12
32
14
20
21
16
18
24
Задача 10. Кредит на А года предоставлен по ставке сложных
процентов Б% годовых. Определить эквивалентную ставку простых
процентов.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
4 2 3 4 2 3 4 2 3
5 Б 10 8 6 4 12
14
18
10 8 6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]