Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая статистика и финансовые вычисления. Методическое пособие
.pdf
11
сумма начисленных процентов (I)
Ответ. Наращенная сумма 1 150 000 рублей.
2) Антисипативные проценты:
наращенная сумма
= 1,176471
471
Ответ. Наращенная сумма 1 176 471 рублей.
Наращение по антисипативному методу всегда происходит более
быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому
банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым
ими ссудам в периоды высокой инфляции.
У антисипативного метода есть существенный недостаток: при
знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.
2.3. Начисление простых процентов по переменным
простым процентным ставкам
В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с
целью снижения своего процентного риска могут устанавливать
переменные ставки процентов для различных финансовых операций.
Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой
из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные
суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что
аналогом процентной ставки в статистике является показатель “темп
прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о
базисных темпах прироста, т.к. первоначальная сумма P остается
неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть
интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим
умножением на первоначальную сумму займа. Погашаемая в конце срока
ссуды сумма составит:
12
или
где j – общее число периодов, в течение которых проценты
начисляются по неизменной ставке.
Множитель (коэффициент) наращения показывает во сколько раз
наращенная сумма больше суммы первоначального долга:
Задача. ссуда в размере 50 тыс. рублей выдана на 2,5 года. Ставка
простых процентов определена следующим образом: первый год – 10 %, а
затем два полугодия на 5 процентных пункта больше, а последнем
полугодии на 10 % выше, чем в предыдущем полугодии. Определить
погашаемую сумму и множитель наращения.
Решение.
= 1,385
Ответ. Погашаемая сумма 69 250 рублей, множитель наращения -
1,385.
Задача. По ссуде в размере 2 млн. рублей общей продолжительностью
120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30 % годовых,
а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будет
увеличиваться на 0,5 % процентных пунктов (обыкновенные проценты).
Определить наращенную сумму.
Решение.
млн. рублей
Ответ. Наращенная сумма 2.225 млн. рублей.
13
2.4. Определение периода времени начисления
простых процентов
Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом
исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых
процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не
влияет на результат. То есть, нет никакой разницы начислять 30 % годовых
1 раз в год или начислить 2 раза по 15 % годовых. Простая ставка 30 %
годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой
ставке 15 % годовых при начислении 1 раз в полгода.
Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных
(длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема
определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если
обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель
называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то
количества полных лет n можно будет выразить как
. Подставив это
выражение в формулы, получим:
для декурсивных процентов:
для антисипативных процентов
Определение числа дней по заданному промежутку между датами
В различных случаях могут применяться различные способы подсчета
числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься
равным 365(366) дней или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в
каждом). Например, обозначение ACT/360 (actualover 360) указывает на то,
что длительность года принимается равной 360 дням.
Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то
проценты называются точными.
Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или
обыкновенных процентах.
Если заданы начальная и конечная даты финансовой операции, то
число дней, содержащихся в этом периоде, определяется двумя способами
1. способ определения точного времени
2. способ определения приближенного времени.
Точное время — это фактическое число всех дней финансовой
операции. При вычислении точного времени можно использовать
календарь порядковых дней года, если рассматриваемый период находится
14
в рамках одного года, то искомое значение определяется как разность
порядковых номеров конечной и начальной даты периода.
Приближенное время — это число дней, определенное в
предположении, что каждый месяц года состоит из 30 дней. Определяя
приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число
полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют фактическое
число дней в неполных месяцах.
Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и
день возврата кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день).
Задача. Кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого
же года. Рассчитать длительность кредита.
Решение.
1) точная длительность ссуды составит:
- по календарю:
22 дня в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 17 дней в июне –
— 1 граничный день = 99 дней
- если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет
порядковый номер 69, а 17 июня – 168)
168 — 69 = 99 дней.
2) при приближенном способе подсчета длительность ссуды составит:
22 + 2 * 30 + 17 – 1 = 98 дней
Ответ. Точная длительность ссуды составит 99 дней, при
приближенном способе подсчета длительность ссуды составит 98 дней
В соответствии с делением процентов на обыкновенные и точные и
времени на точное и приближенное возможны четыре варианта выражения
простого процента. Наиболее часто встречаются следующие комбинации
временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают
соответственно величину t / K):
Точный процент, точное число дней (365/365);
Точный процент, приближенное число дней (360/365);
Обыкновенный (коммерческий) процент, точное число дней (365/360);
Обыкновенный (коммерческий) процент, приближенное число дней
(360/360).
Варианты расчетов приведены в таблице с указанием принятых в
мировой практике финансовых расчетов названий и обозначений.
Таблица 1
Способы расчета простых процентов
№
Название
Обозначение
Содержание
1
Британский
365/365
Точный процент, точное число дней
2
Теоретический
360/365
Точный процент, приближенное число дней
3
Французский
365/360
Обыкновенный процент, точное число дней
4
Германский
360/360
Обыкновенный процент, приближенное
число дней
15
Чаще всего используется вариант, который характеризуется точным
временем и обыкновенным простым процентом. Этот вариант называют
правилом банкиров и всегда используют при учете векселей.
Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением
времени на практике не применяется.
Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными,
однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они
достигают весьма приличных размеров.
Задача. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. рублей выдана
10 мая с возвратом 21 декабря этого года под 45 % годовых (простая
процентная ставка). Определить наращенную сумму этого кредита всеми
способами.
Решение.
Месяц
Точная длительность
ссуды
Приближенная
длительность ссуды
Май
31 - 9 = 22 дня
31 - 9 = 22 дня
Июнь
30
30 * 6 = 180
Июль
31
Август
31
Сентябрь
30
Октябрь
31
Ноябрь
30
Декабрь
21
21 226
223
226 – 1 = 225 день
223 – 1 = 222 дня
Точная длительность ссуды равна:225 дней
Приближенная длительность 222 дня
- точные проценты с точной длительностью ссуды
10 * (1 + 0,45 * 225/365) = 12,773 973 млн. рублей
- точные проценты с приближенной длительностью ссуды
10 * (1 + 0,45 * 222/365) = 12,736 986 млн. рублей
- коммерческие проценты с точной длительностью ссуды
10 * (1 + 0,45 * 225/360) = 12,812 500 млн. рублей
- коммерческие проценты с приближенной длительностью ссуды
10 * (1 + 0,45 * 222/360) = 12,775 000 млн. рублей
Ответ. Наращенная сумма, рассчитанная: по точным процентам с
точной длительностью ссуды 12,773 973 млн. рублей, по точным процентам
с приближенной длительностью ссуды 12,736 986 млн. рублей, по
коммерческим процентам с точной длительностью ссуды 12,812 500 млн.
рублей; по коммерческим процентам с приближенной длительностью
ссуды 12,775 000 млн. рублей
16
2.5. Определение современной стоимости
будущих платежей
Дисконтирование – вычисление текущей стоимости P будущего
денежного поступления S.
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является
расчет современной стоимости будущих денежных поступлений
(платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной
будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки
и длительности операции находится первоначальная (современная,
приведенная или текущая) стоимость P.
В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или
простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его
вида: математическое дисконтирование и банковский учет.
Метод банковского учета (дисконтирования) получил свое название
от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк
выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене
ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его
погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует
прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для
определения размера выкупной цены (а, следовательно, и суммы дисконта)
применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом
используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная
стоимость) векселя определяется по формуле:
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях.
Второй сомножитель этого выражения
называется
дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.
Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные
проценты с точной длительностью ссуды.
Задача. Владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с
предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения.
Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35%
годовых. Определить выкупную цену векселя и сумму дисконта.
Решение. Выкупная цена векселя составит:
а сумма дисконта будет равна
D = S – P = 25000 – 23542 = 1 458 руб.
Ответ. выкупная цена векселя 23 542, рублей, сумма дисконта –
1458 рубля.
17
При математическом дисконтировании используется простая
процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:
Выражение
называется дисконтным множителем
математического дисконтирования по простым процентам.
Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета)
случаях, когда возникает необходимость определить современную
величину суммы денег, которая будет получена в будущем.
Задача. Покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость
закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей.
Уровень простой ставки составляет 30 % годовых (обыкновенные
проценты). Определить текущую стоимость товара методом
дисконтирования и банковского учета.
Решение. Определим дисконтирование:
Применив к этим условиям метод банковского учета, получим:
Ответ. Текущая стоимость товара, определенная методом
дисконтирования 930 233 рублей и методом банковского учета 925 000 рублей.
Задача. Определить через какой период времени произойдет удвоение
суммы долга в 1 млн. рублей начислении на нее 20 % годовых простых:
а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании
антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается
равной 365 дней (точные проценты).
Решение. А) При декурсивном методе начисления процентов применим
формулу:
получим:
Б) При использовании антисипативного метода
18
Ответ. Удвоение суммы долга произойдет при декурсивном методе
начисления процентов через 5 лет, а при использовании антисипативного
метода 2,5 года.
2.6. Эквивалентность простых
учетной и процентной ставок
Эквивалентными называются ставки, при которых условия сделки P и S
для заданного периода Т одни и те же.
Эквивалентные результаты, начисляя проценты декурсивным и
антисипативным методом, можно получить, соблюдая следующее условие:
Или
Если
, то
Или
Задача. Срок уплаты по векселю 200 дней. Учетная ставка 10 %,
Кd = 360 дней. Какова доходность данной операции учета векселя,
измеренная в виде простой ставки процентов при Кi=365 дней.
Решение.
Ответ. Доходность операции учета векселя, измеренная в виде
простой ставки процентов 10,7 %.
19
2.7. Учет инфляции
Расчеты, проведенные ранее, не учитывали возможное обесценение
денежных средств из-за инфляции. Выражаясь формально, учитывали
номинальные, а не сопоставимые (реальные) денежные суммы,
относящиеся к различным моментам времени. Доходность (ставка)
кредитных сделок, подсчитанная с использованием таких сумм, называется
номинальной.
Для коротких инвестиционных периодов и при незначительной
инфляции такой подход не приводит к существенному завышению
доходности сделок. Однако на длинных промежутках времени даже
незначительная инфляция существенным образом сказывается на реальной
эффективности сделки. Для того чтобы получить выражение для
доходности с учетом инфляции, необходимо уметь количественно измерять
характеристики (например, темп) инфляции. Обычно базовой
характеристикой инфляции служит некоторый индекс цен,
представляющий в каждый момент времени средневзвешенную стоимость
какого-либо набора товаров или услуг (например, так называемой
потребительской корзины). Индекс цен I позволяет сопоставлять
покупательную способность денежных сумм (их реальную стоимость) в
различные моменты времени.
Для сохранения доходности финансовой операции с учетом инфляции
необходимо учитывать снижение покупательной способности денег. При
этом для суммы
, покупательная способность которой с учетом
инфляции должна быть равна покупательной способности суммы S при
отсутствии инфляции, можно записать соотношением:
где – сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения
ее покупательной способности.
где – рост цен (инфляция) за рассматриваемый период t.
= =
где I – индекс инфляции за рассматриваемый период.
Для декурсивных процентов, рассчитываемых на основе простой
процентной ставки:
20
где
– это реальная доходность операции, которая будет обеспечена
простой номинальной процентной ставки
, учитывающей инфляцию.
Расчет простой номинальной процентной ставки
, учитывающей
инфляцию:
Из этого равенства найдем простую номинальную процентную ставку
, учитывающую инфляцию:
или
Реальная доходность ссудной операции по процентной ставке
при
известной номинальной ставке , учитывающей инфляцию, и известном
индексе цен I, будет равна:
или
Задача. Ссуда в размере 20 млн. рублей выдана на 200 дней. Банк
планирует реальную доходность операции по простой процентной ставке
в размере 6 % годовых. Ожидается, что значение индекса инфляции за
срок ссуды составит 2,5. Определить множитель наращения,
номинальную ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции и
погашаемую сумму по точным процентам (К=365 дней).
Решение.
I = 1 + = 2,5
= 2,887 или 288,7 %
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]