Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая статистика и финансовые вычисления. Методическое пособие
.pdf
21
= 2,5819
Ответ. Множитель наращения 2,5819, номинальная ставка
процентов 288,7 %, погашаемая сумма 51 638 356 рублей.
Расчет простой номинальной учетной ставки
, учитывающей
инфляцию:
где
– это реальная доходность ссудной операции по учетной ставке.
Реальная доходность ссудной операции по учетной ставке при
известной номинальной ставке и известном индексе цен I, будет равна:
или
Задача. При выдаче ссуды должна быть обеспечена реальная
доходность операции, определяемая учетной ставкой 8% годовых. Ссуда
выдана на полгода, за которые цены повысились на 50%. Определить
значение учетной ставки, которая компенсирует потери от инфляции
(номинальную учетную ставку).
Решение.
I = 1 + = 1 + 0,5 = 1,5
Ответ. Простая номинальная процентная ставка, учитывающей
инфляцию, 72 %.
22
2.8. Контрольные задания
Задача 1. Ссуда в размере А млн. рублей выдана Б марта по В ноября
включительно под простую процентную ставку Г% годовых. Определить
размер погашаемой ссуды и дисконт по точным и коммерческим процентам
с различными вариантами расчета числа дней ссуды.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28 Б 3 5 7 9 11
13
15
17
19
21 В 4 6 8
10
12
14
16
18
20
22
Г
2 5 8
11
14
17
20
23
26
29
Задача 2. Ссуда в размере А млн. рублей выдана Б января 2019 по
В декабря 2019 включительно под простую учетную ставку Г% годовых.
Определить размер погашаемой ссуды и дисконт по точным и
коммерческим процентам с различными вариантами расчета числа дней
ссуды.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
18
20
22
24
26
28
10
12
14
16 Б 4 6 8
10
12
14
16
18
20
22
В
3 5 7 9 11
13
15
17
19
21 Г 2 5 8
11
14
17
20
23
26
29
Задача 3. Контракт на выдачу ссуды в размере А млн. рублей
составлен на 2,5 года. Простая процентная ставка определена следующим
образом: в первом квартале – Б % годовых, во втором квартале на В%
больше, чем в первом квартале, в 3 и 4 квартале – на Г% больше, чем во
втором квартале, а в пятом квартале – на Д процентных пункта больше, чем
в четвертом квартале. Определить размер погашаемой ссуды и множитель
наращения.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
4 6 8
10
12
14
16
18
20
28 Б 24
22
20
18
16
14
12
10 8 6 В 4 6 2 8 10 5 12
14
16
10
Г
10 5 5
10
12
12
18
18
20
20
Д
5 6 7 3 4 5 8 6 4
2
23
Задача 4. Определить дату выдачи ссуды в размере А млн. рублей,
которая была погашена в размере Б млн. рублей по простой процентной
ставке в размере В% годовых 16 числа месяца Г 2020 года различными
способами.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 Б 12
13
14
15
16
17
18
19
20
21 В 16
18
20
22
24
26
28
14
12
10
Г
янв
февр
март
апр
май
июнь
июль
авг
сент
окт
Задача 5. Владелец векселя номиналом А тыс. рублей и сроком
погашения Б числа В месяца 2020 года обратился в банк с предложением
учесть его Г числа Д месяца 2019 года. Банк согласен выполнить эту
операцию по простой учетной ставке Е% годовых. Определить выкупную
цену векселя и сумму дисконта.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
100
120
130
140
150
160
170
180
190
200 Б 4 6 2 8 10 5 12
14
16
10
В
март
апр
май
июнь
июль
авг
сент
окт
нояб
дек
Г
10 5 5
10
12
12
18
18
20
20 Д дек
нояб
окт
сент
авг
дек
нояб
сент
авг
июля
Е
8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
Задача 6. Определить дату погашения ссуды в размере А млн. рублей,
которая была погашена в размере Б млн. рублей по простой учетной ставке
в размере В% годовых числа Д месяца Г 2020 года различными способами.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Б
15
16
17
18
19
20
21
25
24
22 В 16
18
20
22
24
26
28
14
12
10 Г май
июнь
июль
авг
сент
окт
нояб
янв
апр
март
Д
15
17
14 9 12
20
24
10
18
25
Задача 7. Ссуда в размере А млн. рублей выдана на Б дней. Банк
планирует реальную доходность операции по простой процентной ставке в
размере В% годовых. Ожидается, что цена вырастут за срок ссуды на Г%.
Определить множитель наращения, номинальную ставку процентов при
24
выдаче ссуды с учетом инфляции и погашаемую сумму по точным
процентам (К = 365 дней).
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65 Б 250
200
150
240
220
180
160
140
300
210 В 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14 Г 20
18
16
14
12
10
19
17
15
13
Задача 8. Ссуда выдана по номинальной учетной ставке А%. Какова
реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой, если срок
ссуды 9 месяцев, за которые ожидается повышение цен на Б%.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22 Б 20
18
16
14
12
10 8 6 4 2
Задача 9. Эффективность операции учета должна быть А% годовых по
точным процентам. Определить эквивалентную учетную ставку для срока
ссуды Б дней по коммерческим процентам.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48 Б 250
260
280
300
310
320
330
340
350
360
Задача 10. Годовая процентная ставка А%. Определить эквивалентную
годовую учетную ставку.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
А
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Задача 11.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30 № задачи
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
1. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а
продана за 325 тыс. руб. Какова доходность операции для
предпринимателя?
25
2. Капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, за
второй год — в 1,2 раза. Определите процентную ставку за два года. На
сколько процентов увеличился капитал за все время?
3. Предприниматель, купив первую и вторую партии товара
соответственно за 36 тыс. и 42 тыс. руб., продал их соответственно за
48 тыс. и 58 тыс. руб. Какая партия товара обеспечила больший процент
прибыли?
4. Имеется два варианта вложения капитала на три года. Согласно
первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15 %, за
второй год — на 35 %, а за третий год — еще на 10 %. Для второго
варианта рост капитала составит каждый год 20 % от суммы предыдущего
года. Какой вариант следует предпочесть?
5. Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при
этом 8 % убытка. Найдите величину прибыли и доходность операции.
6. Товар первого вида до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар
второго вида. Товар первого вида были уценен на 15 %, а товар второго
вида — на 30 %. Во сколько раз товар первого вида дороже товара второго
вида после уценки?
7. Из-за порчи было списано 10 % товара. Определите, сколько товара
было списано, если его осталось 963 кг.
8. Заработная плата сотрудника составляла 20 тыс. руб. Затем
заработную плату повысили на 20 %, а вскоре понизили на 20 %. Сколько
стал получать служащий?
9. Общий заработок рабочего составил 50 тыс. руб., включая премию в
размере 10 % от месячного оклада. Найдите величину премии и величину
оклада.
10. Цена на товар была понижена на 20 %. На сколько процентов ее
нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Задача 12.
№ по
списку
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30 № задачи
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
1. Найдите простой процент, начисленный за четыре месяца по ставке
7 % на сумму 10 тыс. руб.
2. Ссуда в размере 50 тыс. руб. была выдана на полгода при условии
начисления на нее простых процентов по ставке 20 %. Определите сумму
погашения.
3. Найдите обыкновенный и точный простой процент, начисленный за
120 дней по ставке 8 % на 5 тыс. руб., если год не високосный.
26
4. Сумма 15 тыс. руб. помещена 15 марта на депозитный счет с
условием начисления простых процентов по: а) германскому;
б) британскому; в) французскому варианту. Счет был закрыт 2 августа того
же года. Определите итоговую сумму.
5. Найдите обыкновенный простой процент и итоговую сумму при
начислении процентов по ставке 8,5 % на сумму 150 тыс. руб. за 90 дней.
6. Банк начисляет 10 тыс. руб. за использование 800 руб. в течение
60 дней. Найдите простую процентную ставку, если применяются
обыкновенные проценты.
7. Какая сумма необходима для того, чтобы накопить за пять лет
70 тыс. руб., если на эту сумму будут начисляться простые проценты по
ставке 8 %?
8. За сколько дней сумма 800 тыс. руб. увеличится до 900 тыс. руб.,
если на исходную сумму начисляются обыкновенные простые проценты по
ставке 9 %?
9. Сумма 100 тыс. руб. была получена в долг 20 января с условием
начисления на нее точных простых процентов по ставке 25 % и
возвращения денег через год в сумме 120 тыс. руб. Определите дату
погашения долга, если год — високосный.
10. На сумму 200 тыс. руб. с 15 января по 2 августа начислялись
простые проценты по ставке 7,5 %. Определите наращенную сумму с
учетом: а) точного; б) приближенного числа дней в периоде.
27
3. Сложные проценты
3.1. Определение наращенной суммы
по сложным процентам
Основной областью применения простых процентной и учетной ставок
являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых
менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность
реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и
дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы
P или S.
В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность
реинвестирования процентов.
В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях в
случае, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а
присоединяются к сумме долга, для наращения применяются сложнее
проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с
каждым периодом выплат. Присоединение начисленных процентов к сумме
долга, которая служит базой для их начисления, называется
капитализацией процентов.
В этом случае наращение производится по формуле не
арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой
является начальная сумма P, а знаменатель равен .
где число лет ссуды T меньше числа членов прогрессии k на 1 (T = k – 1).
Наращенная сумма (последний член прогрессии) находится по
формуле:
где – множитель наращения декурсивных сложных
процентов.
Так же как и в случае простых процентов возможно применение
сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный
метод):
где
– множитель наращения сложных антисипативных
процентов.
Однако практическое применение такого способа наращения процентов
весьма ограничено.
Cложные проценты применяются при анализе долгосрочных
финансовых операций . На большом промежутке времени в
28
полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления
“процентов на проценты”.
Принимая во внимание большую эффективность простых процентов на
коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления
процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу
лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми
годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой
процентной ставке.
где a – число полных лет в составе продолжительности операции;
t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год;
K – временная база.
В этом случае вновь возникает необходимость выполнения
календарных вычислений по рассмотренным выше правилам.
Задача. Ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января 2007 года по
30 сентября 2009 года под 28 % годовых (процентная ставка). Определить
наращенную сумму в случае начисления сложных процентов за весь срок
пользования деньгами и смешанном способе (коммерческие проценты с
точным числом дней).
Дано: Р = 3 млн. руб., срок ссуды с 1 января 2007 года по
30 сентября 2009 года , К = 360 дней, так как проценты коммерческие.
Решение:
Начисление сложных процентов:
Наращенная сумма составит:
T = 2 года 9 месяцев = 2,75 года
При смешанном способе:
T = a + b,
где a = 2 года,
b =
;
= 272 дня
Ответ. Наращенная сумма в случае начисления сложных процентов за
весь срок пользования деньгами 5,914 917 млн. рублей и смешанном способе 5,955038 млн. рублей.
Задача. Ссуда в 20 млн. рублей выдается 16 ноября 2016 года по
10 февраля 2019 года под 30% годовых (процентная ставка). Определить
29
наращенную сумму в случае начисления процентов смешанным способом.
Простые проценты точные с точным сроком ссуды.
Дано: Р = 20 млн. руб., 16 ноября 2016 года по 10 февраля
2019 года , К = 365 дней, так как проценты точные
Решение:
T = 2 года ( 2017 и 2018) и 46 дней в 2016 году и 41 день в 2019 году, то
есть a = 2 года, b =
;
= 46 +41 – 1 = 86 дней
й
Ответ. Наращенная сумма в случае начисления смешанных процентов –
36, 189 151 млн. рублей.
3.2. Начисление сложных процентов
несколько раз в год
Важной особенностью сложных процентов является зависимость
конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь
опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база
начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается
неизменной, как в случае простых процентов.
Если начислять 20 % годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в
1 тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)).
Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость
составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном
начислении по 5 % она возрастет до 1,216 тыс. рублей.
По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности
операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить
сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на
первоначальную сумму, то получится 21,6 % (0,216 / 1 * 100), а не 20 %.
Следовательно, сложная ставка 20 % при однократном наращении и 20 %
(четыре раза по 5 %) при поквартальном наращении приводят к различным
результатам, то есть они не являются эквивалентными. Цифра 20 %
отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку.
Эффективной процентной ставкой является значение 21,6 %.
В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку
принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам
при начислении их m раз в году имеет вид:
Задача. Ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной
сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза
в год. Определить будущую сумму к концу срока ссуды.
30
Дано: P = 5 млн. руб., Т = 2 года, j = 35 %, m = 2
Решение:
Ответ. Будущая сумма к концу срока ссуды составит 9,530627 млн.
рублей.
При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная
учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает
вид:
Выражение
– коэффициент (множитель) наращения
по номинальной учетной ставке.
3.3. Начисление сложных процентов
по переменным процентным ставкам
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени,
формула наращения имеет следующий вид:
где i
1
, i2, …, i
k
– значение процентных ставок, действующих в периоды T
1
,
T2, …, Tk соответственно.
Множитель (коэффициент) наращения показывает во сколько раз
наращенная сумма больше суммы первоначального долга в этом случае
будет равна:
=
*
Задача. В договоре зафиксирована сумма ссуды 100 млн. рублей и
переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20 % годовых
плюс маржа 10 процентных пункта в первые два года, -2 процентных
пунктов в третий год, -3 процентных пунктов в четвертый год.
Определить величину множителя наращения и наращенную сумму за
4 года.
Дано: Р= 100 млн. руб., i = 20%,
=
=10 п.п.,
= -2 п.п.,
=-3 п.п.
Определить: S - ?,
-?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]