Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие
.pdf
Физический, пружинный и математический маятники являются
ℓ
ℓ
ℓ
k
примерами свободных гармонических колебаний.
Математическим маятником называют материальную точку,
подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити.
Период колебаний математического маятника
T
π= 2
,
g
где ℓ – длина маятника; g – ускорение свободного падения;
циклическая частота колебаний математического маятника.
Период колебаний математического маятника, совершаю-
щего колебания под действием нескольких сил:
T
Пружинным маятником называется система, состоящая из
пружины, на которой подвешен шарик массы m.
Период колебаний пружинного маятника
π= 2
+
.
ag
g
ω
=
–
m
T π= 2
где т – масса груза; k – коэффициент жесткости пружины;
,
k
ω
=
m
–
циклическая частота колебаний.
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее ко-
лебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром масс.
Период колебаний физического маятника
J
T π=
,2
mgd
где J – момент инерции маятника; m – масса маятника; d – расстояние
mgd
=
от точки подвеса до центра масс маятника;
ω
– циклическая
J
частота колебаний математического маятника.
21
Приведенная длина физического мятника
J
L =
.
md
Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. [1]
Сложение колебаний одного
направления с одинаковыми частотами (рис. 4.2):
1) амплитуда результирующего
колебания
2
1
2
2
;)cos(2
α−α++= AAAAA
1221
2) начальная фаза результирую-
щего колебания
Рис. 4.2
=α
arctg
sinsin
AA
AA
α+α
2211
,
coscos
α+α
2211
где А1 и А2 – амплитуды; α1 и α2 – начальные фазы складываемых колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот. Уравнения траектории результирующего колебания:
y
B
2
2
– 2
x
cosα +
ByA
2
x
= sin2α,
2
A
где x и y – координаты колеблющейся точки на осях Ох и Оу соответственно; А и В – амплитуды колебаний, происходящих вдоль осей Ох
и Оу соответственно; α – разность фаз обоих колебаний.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
где
2
xd
2
dt
=β
– коэффициент затухания; r – коэффициент сопротивле-
mr2
dx
β+ 2
+ ω
2
x = 0,
0
dt
22
m
k
β
−
β
−
β
−
mr2
π
x(t)
ния; m – масса колеблющегося тела;
=ω
0
– собственная частота
колебания системы; k – коэффициент квазиупругости.
Решение уравнения затухающих колебаний:
где
=
0
амплитуда;
х =
t
eAA
– амплитуда затухающих колебаний; А0 – начальная
2
2
– частота затухающего колебания. График
ω−β=ω
0
t
0
teA
затухающего колебания показан на
рис. 4.3.
Время релаксации – это время, в течение которого амплитуда
A0
уменьшается в «е» раз:
1
.
=τ
β
Декремент затухания
t
tA
)(
=δ
TtA
+
)(
e
+β−
e
δδδδ
:
T
β
.
e
==
Tt
)(
α+ω
x
x0
),cos(
A(t)
A1
t
T
Рис. 4.3
Логарифмический декремент затухания колебаний
T
βλ
T ==
=β
,
.
τ
Логарифмический декремент затухания характеризует быстроту убывания амплитуды, прямо пропорционален величине коэффициента сопротивления и обратно пропорционален массе системы.
Добротность системы
где N – число полных колебаний за время релаксации.
Добротность колебательной системы пропорциональна числу
колебаний, совершаемых за время релаксации.
,NQ
π
==
λ
23
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
dt
dt
m
),
cos(
ϕ−ω
=
tAx
βω
k
ω
β
β
β
β
β
β
где
2
xd
2
F
=
0
; F0 – амплитуда вынуждающей силы [1].
f
0
dx
β+ 2
+ ω
2
x = f0cos ωt,
0
Решение уравнения вынужденных колебаний:
f
где
A
=
( )
0
0
2
22
4 ωβ+ω−ω
–
амплитуда вынужденного колебания
22
2
–
=ϕ arctg
Резонанс:
1)
резонансная частота
ω−ω
0
начальная фаза вынужденного колебания
22
;
.
А
2)
амплитуда при резонансе
А
ст
22
;2
β−ω=ω
0p
f
=
A
p
<
<
1
2
3
0
0
(
амплитудно-частотные харак
теристики колебательной си
стемы) приведены на рис
1
Здесь
2
значение амплитуды вынуж
3
денных колебаний
;
22
)(2
β−ωβ
3)
резонансные
A
cт
=
Зависимость
F
0
–
статическое
.
амплитуды
кривые
. 4.4.
-
-
-
ω0
р
Рис. 4.4
ω
вынужденных колебаний от ча
стоты
вынуждающей
называется резонансной кривой
силы
-
.
24
4.3. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Процесс распространения колебания в упругой среде называется
механической волной.
Если колебания происходят вдоль линий распространения волны,
то волны называются продольными. Волна называется поперечной,
если колебания частиц среды перпендикулярны направлению распространению волны.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси Oх:
x
у = Аsin[ω(t –
) + ϕ0];
v
х
у = Аsin[ωt – kx + ϕ0],
где у – смещение частиц от положения равновесия; х – расстояние,
пройденное волной от источника колебаний до рассматриваемой точ-
ки; А – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота колебаний; vх
– скорость распространения волны; k – волновое число, ϕ0 – началь-
ная фаза колебаний. График зависимости смещения частиц в волне от
времени приведен на рис. 4.5.
Длина волны (λ) – это расстояние, которое проходит волна за
один период.
v
λ = vT =
ν
=
πv2
,
ω
где v – скорость волны; Т – период коле-
баний.
Волновое число
π2
k =
.
λ
Разность фаз колебаний двух точек
отстоящих друг от друга на расстояние ∆x:
∆ϕ = k⋅∆x.
Объёмная плотность энергии
dE
w
222
[ ]
dV
25
.sin
α+−ωρω== kxtA
Рис. 4.5
Среднее значение плотности энергии в каждой точке среды:
2
2
λ
2
λ
2
2
λ
22
A
wρω>=<
.
Интерференция волн – это явление усиления или ослабления
интенсивности при наложении когерентных волн:
1) условие интерференционных максимумов:
∆ = ± mλ;
2) условие интерференционных минимумов:
∆ = ± (2m+1)
,
где ∆ – разность хода волн; λ – длина волны; m = ±1, ±2, ±3 … – целое
число (номер интерференционного максимума или минимума) [6].
Стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Па-
дающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
1. Уравнение стоячей волны:
y = 2A⋅cos(kx)⋅cos(ωt),
πx2
где 2A cos(kx) = 2A cos
= Аст – амплитуда стоячей волны.
λ
2. Положение пучностей
x
пучн
= ± m
.
3. Положение узлов
1
x
= ± (m +
узл
.
)
Контрольные вопросы
1. Характеристики механических колебаний.
2. Сложение векторных и скалярных колебаний.
3.Свободные затухающие. Коэффициент затухания. Добротность. Лога-
рифмический декремент.
4. Что называется механической волной. стоячей волной? Графики плос-
кой и стоячей волн и их уравнения.
26
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
4
π
6
π
5.1. ПРИМЕР КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
1. Пуля со скоростью 60 м/с вылетела вертикально вверх. Опре-
делить время, когда пуля упадет на землю?
2. Для точки, лежащей на ободе колеса радиуса R, зависимость
угла поворота от времени задается уравнением ϕ = t3+0,5t2+3t +5, где
все величины заданы в СИ. Какое угловое ускорение к концу второй
секунды получила точка?
3. К концам нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два груза. Пренебрегая массой блока, массой нити и трением,
найти ускорение первого тела, если m1 = 4m2.
4. Какую скорость получит неподвижная лодка, если находящийся в ней человек выстрелит под углом 60° к горизонту? Масса пули
0,01 кг, скорость пули 800 м/с, общая масса лодки с грузом 200 кг.
5. Шар радиуса 6 см закреплен на одном из концов невесомого
стержня длиной 0,6 м. Масса шара 1 кг. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.
6. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно
без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергий. Чему равно отношение линейных скоростей шара и цилиндра?
7. Вид уравнения гармонического колебания х = 8sin(
t +
), м.
Определите максимальную скорость.
8. Максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5·10-3·Н,
полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна
4,5·10-5 Дж. Написать уравнение движения этого тела, если период
тела равен 2 с, а начальная фаза π/3. Написать уравнение движения
этого тела.
27
5.2. РЕШЕНИЕ ДЕМОНСТРАЦИОННОГО
1
.
v
⋅
2
.
ϕ
dt
ω
dt
ϕ
3
.
КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Дано: Решение
v
= 60 м/с
0
tп = ?
Время подъема до верхней точки траектории
tn =
0
.
g
Полное время полета в два раза больше времени подъема до
верхней точки:
2
t
nол
=
v
0
g
=
502
= 12 с.
10
Ответ: 12 с.
Дано: Решение
= t3+0,5t2+3t +5
t = 2 с
Угловое ускорение ε есть производная от
угловой скорости по времени
d
ε = ?
=ε
.
Угловая скорость – это производная от угла поворота по времени:
d
=ω
.
Найдем зависимость угловой скорости от времени:
ω = ϕ′ = 3t2 + t + 3.
Тогда угловое ускорение будет равно:
ε = ω′ = 6t + 1 = 6⋅2 + 1 = 13 рад/с2.
Ответ: 13 рад/с2.
Дано: Решение
m1 = 4m2 На каждое из тел действуют сила тяжести mg
а
1
= ?
и сила натяжения нити Fн (см. рисунок).
28
Поскольку нить невесома и нерастяжима, то
−
=
2
1
−
−
4.
v
m
p
=
a
1 = a2 =
a.
Запишем второй закон Ньютона:
+=
,
Fgmam
н11
+=
.
Fgmam
н22
Ось Оу направим вертикально вниз. Тогда в
проекции на ось Оу:
,
Fgmam
н11
−=−
Fgmam
Вычтем из первого уравнения второе:
(m1 + m2)a = (m1 – m2)g.
Следовательно,
mm
21
.
a
=
+
g
mm
g
у
Fн
Fн
m1g
m2g
a
.
н22
По условию задачи m1 = 4m2. Тогда
4
a =
=
4
+
mm
22
g
mm
22
g
3
= 6 м/с2.
5
Ответ: 6 м/с2.
Дано: Решение
М = 200 кг
m = 10-2 кг
α = 60°
v = 800 м/с
u = ?
Поскольку в горизонтальном направлении
внешние силы не действуют, то выполняется закон сохранения импульса системы на горизонтальную плоскость. Импульс пули
.
Проекция импульса на ось Ох, направленная по горизонтальной
составляющей импульса, равна
р
= mv cosα.
х
Запишем закон сохранения проекции импульса системы «лодка –
пуля» на ось Ох:
0 = mv cosα – Mu.
29
Следовательно,
M
5
.
5
m
uα=
Ответ: 0,02 м/с.
Дано: Решение
cosv
= 0,02 м/с.
R = 0,06 м
m = 1 кг
ℓ = 0,6 м
Момент инерции системы тел равен сумме
моментов инерции тел, образующих данную
систему. Поскольку по условию задачи стержень невесом, то момент инерции системы бу-
ℓ
= ℓ2 = ℓ/2
1
дет определяться моментом инерции шара:
J = ?
J = Jш.
Момент инерции шара найдем по теореме Штейнера:
Jш = Jш0 + ma2,
2
где Jш0 =
mR
2
– момент инерции шара относительно оси, проходя-
щей через его середину; a = ℓ/2 – расстояние между осями.
Таким образом, момент инерции данной системы относительно
оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему,
равен
2
,
25
22
.мкг09,0мкг09144,0
⋅≈⋅=
1
2 ℓ
RmJ
2
2
5
06,0
2
+⋅⋅=J
2
6,0
2
+=
Ответ: 0,09 кг⋅м2.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]