Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие
.pdf
2.2. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ
r
п
Закон всемирного тяготения:
mm
21
GF =
,
2
где F – модуль силы притяжения; m1 и m2 – массы тел; r – расстояние
между телами; G – гравитационная постоянная.
Сила тяжести
Fт = mg,
где т – масса тела; Mп – масса планеты; Rп – радиус планеты; g –
ускорение свободного падения,
M
п
R
.
2
Gg =
Вес тела – это сила, действующая на опору или подвес:
Р = m(g ± a),
где a – ускорение, с которым тело движется по вертикали; знак «+»
ставится при движении вверх, знак «-» – при движении вниз.
Сила упругости
F
упр =
- k⋅∆ℓ,
где k – коэффициент жесткости (упругости); ∆ℓ – абсолютная деформация.
Сила трения
Fтр = µN,
где µ – коэффициент трения; N – модуль силы нормальной реакции
опоры.[4]
Закон сохранения импульса. Полный импульс замкнутой си-
стемы не изменяется:
n
∑ ∑
= =
i
1 1
n
=υ=∆
constmp
iii
i
.
11
2.3. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
∫
2
dt
2
m
2
Работа численно равна произведению силы F на перемещение ее
точки приложения S и косинуса угла α между направлением силы и
перемещения:
A = F⋅S⋅cosα.
Работа, совершаемая переменной силой:
⋅α⋅= dSFA cos
,
где интегрирование ведется вдоль траектории.
Работа силы тяжести
A = mg(h1 – h2),
где h1 и h2 – начальная и конечная высота тела.
Работа силы упругости
A −=
k
2
1
2
)(
xx
,
2
где x1, x2 – начальное и конечное значение абсолютной деформации.
Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:
dA
⋅v⋅
;
cosα,
N =
N = F
где α – угол между вектором скорости и перемещением.
Кинетическая энергия тела
2
vm
E =
к
,
где т – масса тела; v – модуль скорости тела.
Пользуясь формулой импульса тела, выражение для кинетической энергии принимает следующий вид [7]:
2
р
E
=
к
Теорема об изменении кинетической энергии:
A = ∆EК = Е
где ЕК2 и ЕК1 – кинетическая энергия тела в начальном и конечном
положениях.
12
– ЕК1,
К2
.
Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью
2
зпз
Земли на высоту h (h << R, где R – радиус Земли):
Е
= mgh.
p
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
2
kx
Ep=
,
где x – абсолютная деформация тела; k – жесткость пружины.
Работа потенциальной (консервативной) силы
A = Еp1 – Еp2,
где Еp1 и Еp2 – потенциальная энергия в начальном и конечном состоянии.
Полная механическая энергия тела
Е = Еp + Ек,
где Ек – кинетическая энергия; Ер – потенциальная энергия тела).
Закон сохранения механической энергии гласит: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной:
Е = Еp + Ек = const.
Закон изменения механической энергии:
А
= Е2 – Е1;
д
Е
+ Ек1 = Еp2 + Ек2 + Ад,
p1
где Ад – работа всех непотенциальных (диссипативных) сил, действующих на тело.
Коэффициент полезного действия механизма
A
п
A
N
N
,
%100%100
⋅=⋅=η
где Aп и Nп – полезная работа и мощность; Аз и Nз – затраченная работа и мощность.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте законы Ньютона.
2. Какие вы знаете силы в механике?
3. Дайте определение работы, мощности, энергии и импульса тела.
4. Сформулируйте закон сохранения импульса и закон сохранения
13
энергии.
3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[
]
r
F
M
=++
+
[][
]
r
p
r
p
α
O
3.1. МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Моментом силы относительно какой-либо оси называется про-
изведение величины силы (F) на плечо (d):
M = Fd.
Плечо силы – это кратчайшее расстояние (перпендикуляр), проведенное от линии действия силы до оси вращения:
FrM
,= ,
где
–
радиус-вектор точки приложения силы
;
–
сила
.
Направление вектора
определяется по правилу буравчика
Условия равновесия твердого тела
1.
Векторная сумма внешних сил, действующих на тело, равна
нулю
вращения равна нулю
:
21
2.
Сумма моментов внешних сил относительно неподвижной оси
:
21
Момент импульса
где
.
n
n
prmrL
,, == v ,
0...
.
0...
=+++
;
–
импульс
.
FFF
MMM
–
радиус-вектор
.
Направление вектора момента им
-
Рис. 3.1
пульса определяется правилом правого
буравчика
мента импульса совпадает с направлени
–
направление вектора мо
-
-
ем поступательного движения правого
винта при его вращении от
(
рис
. 3.1).
14
Модуль вектора момента импульса:
r
p
∫
∫
2
12
L = r⋅p⋅sinα = p⋅ℓ = m
где α – угол между векторами
и
; ℓ = r⋅sinα – плечо импульса.
⋅υ⋅
ℓ,
Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения:
L = Jω,
где J – момент инерции тела относительно оси; ω – угловая скорость
вращения тела [3].
3.2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА
ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется
сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси
вращения:
n
∑
=
i
∆=
1
2
.
rmJ
ii
Для тела с неравномерно распределенной массой момент инерции будет равен
22
== dVrdmrJ
ρ
,
где ρ – плотность тела; V – его объем.
Приведем моменты инерции тел различной геометрической формы.
1. Момент инерции диска или цилиндра относительно оси, про-
ходящий через центр масс:
2
J =
mR
0
.
2. Момент инерции стержня длиной l относительно оси, перпен-
дикулярной к стержню и проходящей через центр масс:
1
0
2
ℓmJ =
.
15
3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через
5
=
ε
dt
ω
dt
его центр масс:
2
0
2
mRJ =
.
Для нахождения момента инерции тела относительно оси, не
проходящий через центр масс, воспользуемся теоремой Штейнера.
Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями [6]
2
,
amJJ +=
0
где а – расстояние между осью, проходящей через центр масс, и произвольной осью.
3.3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Основное уравнение динамики вращательного движения:
MJ
или
Jd
)(
M
=
,
где J – момент инерции тела относительно оси; ω – угловая скорость;
ε – угловое ускорение.
Момент сил, действующих на вращающееся тело, прямо пропорционален моменту инерции тела относительно неподвижной оси
вращения и угловому ускорению. Основное уравнение динамики
вращательного движения твердого тела относительно неподвижной
оси можно записать так:
Ld
M
=
.
16
Если система замкнута, то момент внешних сил равен нулю:
dt
const
L
=
∑
ℓ
2
2
2
∫
0=M
.
Следовательно,
Ld
,0=
а
или
constmL
v
Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса.
Момент импульса твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.
==
ii
i
.
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося относи-
тельно неподвижной оси:
2
E
к
ω=J
.
Полная кинетическая энергия твердого тела
22
E
v
к
ω+=Jm
,
т.е. полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии массы, равной массе всего тела, движущейся вместе с
центром масс, и кинетической энергии его вращения относительно
оси вращения, проходящей через центр масс.
Работа при вращении тела
ϕ⋅= dMA
z
или
А = Ек2 – Ек1,
где dϕ – угловое перемещение; Mz – момент действующей силы относительно оси Z [6].
17
Контрольные вопросы
1. Дайте основные понятия динамики вращательного движения.
2. Формулы моментов инерции тел различной формы. Сформулируйте
теорему Штейнера.
3. Напишите основное уравнение вращательного движения.
4. Формула полной кинетической энергии твердого тела.
4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Колебания весьма разнообразны по своей физической природе:
механические колебания, электромагнитные колебания в колебательном контуре.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания.
Гармонические колебания – это колебания, проходящие по за-
кону косинуса или синуса.
Уравнение гармонических колебаний:
x = A⋅sin(ωt + ϕ)
или
x = A⋅cos(ωt + ϕ),
где А = xm – амплитуда колебаний; (ωt + ϕ) – фаза в момент времени
t; ϕ – начальная фаза колебаний.
График зависимости координаты колеблющегося тела от времени
приведен на рис. 4.1, а.
Величина А - амплитуда колебания. Амплитуда колебаний – это
максимальное или минимальное отклонение точки от положения равновесия.
18
N
2
ω
2
2
2
2
2
2
Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, называется периодом колебаний
(Т). Одно полное колебание совершается за период.
Период колебаний
t
T =
;
1
π
,
==T
ν
где N – число полных колебаний за время t; ν – частота колебаний; ω
– циклическая частота.
Число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц
времени, называют циклической частотой.
Число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени, называют частотой периодических колебаний (νννν).
Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
v
= x′ = - vm sin(ω0t + α),
x
где vm = Aω0 − амплитудное значение скорости.
График зависимости vx от времени показан на рис. 4,1, б.
Ускорение точки, совершающей гармонические колебания:
2
cos(ω0t + α),
0
где am = Aω
ax = vx′ = -Aω
2
− амплитудное значение ускорения.
0
График зависимости ax от времени показан на рис. 4.1, в.
Кинетическая энергия точки в произвольный момент време-
ни t [7]:
ω
22
sin
2
( )
t
2
kA
=+==
ϕω
sin
2
( )
ϕω
+t
.
E
2
m
v
к
mA
Потенциальная энергия точки в произвольный момент времени:
ω
22
cos
2
ϕω
+=+ t
,
где k = mω
2
E
2
– коэффициент квазиупругости.
kx
p
2
kA
==
2
( ) ( )
cos
ϕω
t
19
mA
2
2
dt
ω
б
в
а
v
-A
v
m
-v
a
am
-a
A
х
x
х
m
m
T/4
T/4
T/4
T/2
T/2
T/2
3T/4
3T/4
3T/4
T
T
T
t
t
t
Рис. 4.1
Полная энергия точки в произвольный момент времени t:
22
Am
ЕEE
ω
к
p
==+=
kA
2
.
4.2. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободными колебаниями называются колебания в результате
какого-либо однократного начального отклонения системы от положения равновесия.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих гар-
монических колебаний:
2
xd
2
ω
2
0
=+ x
,
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
– циклическая частота колебаний; m – масса колеблющегося тела.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]