Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Электростатика. Законы постоянного тока. Учебное пособие
.pdf
Подставив значения 1v и 2v , получим:
p
p
по классической формуле сложения скоростей
33
vcc c
1, 5 ;
44
по релятивистской формуле сложения
33
cc
44
vc
33
cc
44
1
c
0,96 .
2
Пример 13. Какой стала бы длина тела по направлению движения
относительно неподвижного наблюдателя при
?v с
Анализ и решение. Сокращение размеров тела в движущихся систе-
мах отсчета определяется формулой
22
1/.ll v c
0
При v, стремящейся к с, l стремится к нулю. Следовательно, при
v – с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.
Пример 14. Один баллон емкостью
давлением
кислород под давлением
2,5 МПа,p другой баллон емкостью
1
1, 6 МПа.p
2
20 лV содержит азот под
1
44 лV содержит
2
Оба баллона были соединены
между собой и оба газа смешались, образовав однородную смесь
(без изменения температуры). Найти парциальные давления
и
1
2
обоих газов в смеси и полное давление р смеси.
Анализ и решение. Парциальное давление азота
*
P
и кислорода
1
*
P
2
находим из уравнений:
41
m
1
1
m
2
2
*
() ;
PV V RT
11 2
*
() .
PV V RT
21 2
В начальных состояниях уравнения Менделеева – Клапейрона для
азота и кислорода
m
1
PV RT
11
PV RT
22
;
m
1
2
.
2
Учитывая формулы
*
()
PV V RT и
11 2
m
1
1
m
PV RT
11
*
()
PV V RT принимают вид:
21 2
11 2 11
21 2 22
1
*
();PV V PV
*
().PV V PV
и
1
m
2
2
PV RT
22
m
2
,
уравнения
2
Получаем
*
P
1
PV
11
VV
12
;
*
P
2
PV
22
VV
12
.
Подставим заданные численные значения:
2,5 10 2 10
*65
P
1
210 4,410
P
62
22
1, 6 10 4 , 4 1 0
*6
2
210 4,410
0,78 10 7,8 10 [Па];
62
22
1,10 10 [Па].
Полное давление смеси газов равно сумме парциальных давлений:
**
PP P;
12
0,78 10 1,10 10 1,88 10 [Па].P
66 6
42
Пример 15. Определить среднюю кинетическую энергию
RkN
N
W
вращ
вращательного движения одной молекулы двухатомного газа, если
суммарная кинетическая энергия молекул одного киломоля этого газа
U = 3,01 МДж.
Анализ и решение. Средняя кинетическая энергия вращательного
движения молекулы
i
WkT
вращ
где
i – число степеней свободы вращательного движения моле-
вращ
вращ
,
2
кулы.
Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа (внутренняя
энергия идеального газа)
i
,
URT
2
где i – общее число степеней свободы молекулы (поступательного
и вращательного движения).
Отсюда
T
.
2U
iR
Подставляя формулу
2U
T
в уравнение
iR
WkT
вращ
i
вращ
,
2
получим
2
ikUikU
W
вращ
Учитывая, что
6,02 10 1/моль,N окончательно получаем
A
23
вращ вращ
2
iR iR
, где
A
W
.
вращ
43
– число Авогадро,
A
iU
вращ
iN
A
.
Подставим численные значения величин, учитывая, что для двухатомного газа
2;i 5;i
23,0110
323
6
210 [Дж].
21
Пример 16.
вращ
W
вращ
510 6,0210
Определить среднюю длину свободного пробега < >
и среднее число столкновений < z > молекулы гелия за 1 с при температуре Т = 400 К и давлении р = 1 Па.
Анализ и решение. Средняя длина свободного пробега молекул
определяется формулой
1
,
2
dn
2
где d – эффективный диаметр молекулы. Гелий – газ одноатомный.
Диаметр гелия находим из справочных таблиц; n – число атомов в единице объема.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона в виде PnkT находим
P
nkT ,
k – постоянная Больцмана,
где
Перепишем уравнение
1, 38 10 Дж/К.k
2
23
1
с учетом формулы
2
dn
nkT
P
Подставим численные значения:
23 2
1, 38 10 4 10
23,141,9 10 1
220
44
kT
2
.
2
dP
3, 45 10 [м].
2
Среднее число столкновений атомов за единицу времени можно
найти из формулы
vz
.
Средняя скорость v атомов определяется формулой
v
8RT
.
Таким образом,
z
18RT
.
Подставим численные значения
Пример 17.
z
Кислород массой т = 2 кг занимает объем
188,31410
3,45 10 3,14 4 10
и находится под давлением
23
0, 2 МПа.p
1
рился при постоянном давлении до объема
ление возросло до
0,5 МПаp при неизменном объеме. Найти изме-
2
2
4, 2 10
4
[1/с].
1
1 мV
При нагревании газ расши-
3
3 м ,V а затем его дав-
2
нение внутренней энергии U газа, совершенную им работу А
и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
Анализ и решение. Изменение внутренней энергии газа выражается
формулой
im
URT
.
2
3
В данном случае
TT T
31
,
im
URTT ,
()
2
31
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5).
45
Температуры газа в каждом состоянии найдем, используя уравне-
p
p
ние Менделеева – Клапейрона
m
VRT
.
Отсюда
T
V
.
mR
Подставим численные значения параметров каждого из трех состояний:
2 10 1 32 10
T
1
2 10 3 32 10
T
2
53
5 10 3 32 10
T
3
Подставляя в выражение
53
28,31
53
28,31
28,31
URTT числовые значения,
1155 [К];
2887 [К].
im
()
2
385 [К];
31
находим
58,31
U
2
32 10
2(2887 385) 3,24 10 [Дж].
3
6
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается
формулой
m
ARTT
12 2 1
().
Работа газа при V = const равна нулю:
0.A
23
46
Таким образом, полная работа, совершаемая газом, равна
2 8,31(11,55 3,85)10
AA
12
3, 2 10
2
2
4,00 10 [Дж].
5
Согласно первому началу термодинамики
теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U и работы А:
.QUA Следовательно,
66
0,410 3,2410
Q
3, 64 [ МДж].
График процесса приведен на рисунке.
Пример 18.
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно.
Температура нагревателя в 2 раза выше температуры охладителя.
Работа цикла равна 1 кДж. Какое количество теплоты передано охладителю за один цикл?
Анализ и решение. Количество теплоты, отданное охладителю, рав-
но разности между теплотой, полученной газом от нагревателя, и совершенной им работой:
.QQA
21
Из определения КПД тепловой машины
следует
Теперь уравнение
A
Q .
QQA примет вид
21
A
QAA
2
Q
1
A
1
47
⎛⎞
1
1
⎜⎟
⎝⎠
.
Для идеальной тепловой машины КПД равно
E
E
F
F
TT
12
По условию задачи
Подставим формулу
⎛⎞
1
⎜⎟
⎝⎠
и с учетом численного значения А получим
1A
2TT . Значит,
12
2
TT
22
10 1 10 [Дж].
Q
2
T
2
2
1
⎛⎞
33
⎜⎟
0,5
⎝⎠
.
T
1
2
TT
22
2
T
в уравнение
0,5
0,5.
2
A
QA
2
Пример 19. К бесконечной равномерно заряженной вертикальной
плоскости подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой
т = 40 мг и зарядом q = 670n Кл. Натяжение нити, на которой висит
шарик, F = 490 мкН. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.
Анализ и решение. Напряженность
электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью, направлена
перпендикулярно плоскости и численно определяется формулой
E
, откуда 02.
2
0
По определению этой величины имеем
э
Eq
48
или
э
Eq .
Значит,
F
F
F
F
F
F
F
2
0 э
q
,
где
– сила, действующая на заряд q со стороны электрического по-
э
ля заряженной плоскости.
Запишем условие равновесия заряженного шарика
0.mg F F
эн
Введем силу
mg F
Очевидно, что силы
.
э
и
н
должны быть направлены вдоль од-
ной прямой, чтобы выполнялось условие
0.FF
н
В скалярном виде
0.FF
н
Как видно из рисунка,
Тогда уравнение
22 2
mg F
0FF приобретает вид
н
22 2
mg F F.
.
э
эн
Отсюда
222
Fmg
эн
12
Учитывая, что
:
вычисляем
28,8510 1 Кл
12
10 2
6,7 10 м
8,85 10 Ф/м,
1 (воздух) и 29,81 м/с ,g
0
(4,9 10 ) (4 10 9,81) 7, 75 10
42 5 2 6
49
.
⎡⎤
.
⎢⎥
⎣⎦
Пример 20. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от од-
ной пластины до другой, приобрел скорость
8
10 см/с.v Расстояние
между пластинами d = 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между
пластинами; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах.
Анализ и решение.
1) По определению
,
12
A
q
где А – работа электрического поля по перемещению заряда q
между точками поля с потенциалами
19
1, 6 10 Клqe
– численное значение заряда электрона.
1
и
. В нашем случае
2
Работа А электрического поля идет на изменение кинетической
энергии электрона:
2
mv
0
v и v – начальная и конеч-
0
где
2
AW ,
9,11 10 кгm – масса электрона;
31
mv
k
22
ная скорости электрона.
Как видно из условия,
0,v и получаем
0
mv
A .
2
2
Таким образом, уравнение
.
приобретает вид
12
12
A
q
2
2mve
Подставим численные значения величин:
31 6 2
12
9,11 10 (10 )
19
21,610
50
2,85 [ В].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]