Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Электростатика. Законы постоянного тока. Учебное пособие
.pdf
Катер достигает другого берега в момент времени 1tt , когда
g
у = L, где L – ширина реки. Следовательно, время, необходимое для
пересечения реки:
tv
1
L
.
sin
2
Оно будет минимальным, когда
sin 1,
т. е. когда /2.
Это означает, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу.
Чтобы пересечь реку по кратчайшему пути из точки О в точку А, катер
должен идти так, чтобы выполнялось равенство х = 0, т. е.
(cos)0.vv t
12
Отсюда находим
cos / ,vv
12
т. е. курс катера должен быть таким, чтобы выполнялись условия
и
cos /vv . Следовательно, пересечь реку по кратчайше-
/2
му пути катер сможет лишь при условиях:
21
vv , / 2.
21
Пример 5. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой вы-
соты
h , прошло последние 2h = 30 м за время 2t = 0,5 с. Найти высо-
1
ту падения
h и время падения 1t . Сопротивлением воздуха прене-
l
бречь.
Анализ и решение. За начало координат О
возьмем точку, находящуюся на высоте
h от
l
поверхности земли, ось OY направим вертикально вниз (рисунок).
Время будем отсчитывать с момента начала
движения тела. В начальный момент времени
y = 0,
0
равна .
v = 0. Проекция ускорения на ось OY
оу
а g Тогда уравнение, выражающее
у
зависимость координат тела от времени, будет
иметь вид
2
t
y .
2
31
В момент времени
g
g
g
g
g
g
–tt координата тела будет равна
12
2
12
2
1
.
hh
, полу-
12
hh
12
Когда тело упадет на землю,
2
t
1
1
.
2
y
2
t
получим
2
h
Подставив это значение
()
tt
у h , 1tt . Согласно уравнению
h в уравнение
1
чим
22
tgtt
112
22
()
h .
2
Отсюда после преобразований найдем
th
22
t
.
1
2
t
2
Подставив численные значения в формулы, получим
tt
12
2
()
2
0,5 30 9,8 6, 3
th
11
29,80,5 2
6,3 c; 195 м.
Пример 6. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении.
Через
вышки. Определить высоту вышки h, начальную
скорости камня и угол падения
t = 2 с он упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания
1
v и конечную 1v
0
.
Составить уравнение траектории
камня. Сопротивление воздуха не учитывать.
32
Анализ и решение. Точку бросания
x
х
х
g
g
g
камня примем за начало координат О,
ось OY проведем вертикально, ось ОХ –
горизонтально. В этой сиcтеме координат движение камня можно представить как результат сложения двух
прямолинейных движений: равномер-
ного движения со скоростью
vv
0
в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с ускорением g в вертикальном направлении.
Выпишем начальные условия:
0, 0, , 0
xyv v .
00000
xy
Значения проекций ускорений на оси координат равны: 0,
а g Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х, у
.
y
и проекций скоростей
В момент падения на землю у = h, х = s,
ний
,
xvty
0
v и yv от времени, запишутся так:
2
t
2
2
t
получим
, ;
xvt y
0
vv v gt
, .
0
xy
2
2
t
svt h
, ,
01
1
2
tt . На основе уравне-
1
а
откуда найдем
vh
0
t
1
20 м/с, 19,6 м.
20 2
40 9,8 2
s
2
33
Используя уравнения
g
vvv gt можно найти модуль скоро-
xy
сти в любой момент времени t:
, ,
0
22 2 22
vvv vgt
xy
0
.
Модуль конечной скорости камня
222 2 22
10 1
Направление конечной скорости определяется утлом падения
20 9,8 2 28vvgt м/с.
,
значение которого найдем из условия
vv
tg 1, 45 .
00
vgt
y
11
20
9,8 2
Чтобы получить уравнение траектории камня, нужно из уравнений
2
,
xvty
0
t
исключить время. Так как
2
xg
tyx
, то
v
0
2
.
2
v
2
0
Это уравнение показывает, что камень будет двигаться по ветви
параболы с вершиной в точке бросания.
Пример 7. По графику зависимости координаты х от времени t,
изображенной на рисунке, построить графики зависимости (),
aft
и ().
На рисунке
ОА и ВС – участки парабол.
vft
Анализ и решение. Соответствующие графики показаны на рисун-
ках
б и в. При построении их учтено, что в течение времени от нуля
до
t тело двигалось равноускоренно, от 1t до 2t – равномерно, от 2t
1
t – равнозамедленно, от 3t до 4t находилось в состоянии покоя.
до
3
34
D
D
D
Пример 8. По графику зависимости ускорения от времени устано-
вите скорость в момент времени 15 с, если в момент времени 1 с скорость равна 3 м/с.
Анализ и решение. Для удобства решения задачи обозначим точки,
соответствующие времени
t = 2, 5, 9, 12, 15 с соответственно точкам
А В С D Е на графиках. Каждый участок зависимости рассмотрим от-
дельно.
На участке
це 2-й секунды (в точке
ках
АВ и СD тело двигалось с переменным ускорением. Но, как видно
ОА тело двигалось равномерно (без ускорения) и в кон-
A) будет иметь скорость Аv = 3 м/с. На участ-
из рисунка, ускорение на этих участках изменяется линейно с течением
времени: на участке
АВ ускорение растет, на участке СD уменьшается.
35
Поэтому на участках АВ и СD можно считать движение равноускорен-
В
B
ным с ускорением, найденным как среднеарифметическое, т. е.
аа
к20
а
00
630 м/с .
22
D
Принимая движение на участке
му, вычислим скорость
t – время движения на участке АВ, t = 3 с:
где
v в конце 5-й секунды, используя формулу
В
v м/с.
На участке
а = 60 м/с
На участке
2
, поэтому скорость
ВС тело двигалось равноускоренно с ускорением
vvat
CB
СD скорость рассчитывается так же, как и на участке АВ
АВ эквивалентным равноускоренно-
vvat
,
А
3330 93
v в конце 9-й секунды равна
С
93 60 4 333 м/с.
(с учетом ускорения):
333 30 3 423 м/с.
На участке
vvat
D С
DЕ тело двигалось без ускорения (равномерно). Значит,
скорость его не изменилась к концу 15-й секунды.
36
Пример 9. С балкона вертикально вверх брошен мячик с начальной
g
g
g
скоростью
соту балкона над землей. Принять
v = 8 м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Определить вы-
0
g = 10 м/с
2
. Результат представить
в единицах СИ.
Анализ и решение. Для понимания данной задачи следует сделать
поясняющий рисунок, из которого будет видно, как перемещалось тело.
Точку бросания мячика примем за начало координат.
Тело, брошенное вертикально
вверх, движется равнозамедленно
с ускорением
g, в точке А оно
остановится, пройдя расстояние
h за время 1t . Время подъема
1
и высоту
h найдем из уравнений,
описывающих равнозамедленное
движение:
vvgt ;
01k
2
t
hvt
101
1
.
2
Из уравнения
Из уравнения
Из точки
А тело движется до земли равноускоренно с нулевой
vvgt
hvt
101
h
1
находим
01k
v
0
tg
1
2
t
1
находим
2
80,8 3,2 м.
8
10
10 0,8
2
t
. Так как
1
0,8 с.
:h
1
2
v
r
0,
то
начальной скоростью, поэтому
2
()
tt
37
1
,
2
Hh
1
tt
где
– время падения тела.
1
2
g
R
R
R
R
RRR
()
tt
Из уравнения
Hh
1
H
1
находим Н:
2
2
()
gt t
Hh
10 (2 0, 8)
1
2
2
,
1
3, 2 4 м.
2
Пример 10. Найти линейную скорость v и центростремительное
ускорение
б) на широте φ = 60°. Радиус Земли принять равным
а точек на поверхности земного шара: а) на экваторе,
R = 6400 км.
Анализ и решение: Линейная скорость любой точки на экваторе равна
2
v
0
где
Т = 24 ч = 86 400 с – период суточного вращения Земли.
,
T
Центростремительное ускорение
2
v
0
a
0
R
На широте φ точки движутся по окружности радиусом cos
22 2
44
22
RT T
R
.
rR
(по параллели) с линейной скоростью
2cosR
v
T
и центростремительным ускорением
2
v
a
r
Подставив численные значения в формулы
22 2
44
22
TT
v
получим
= 465 м/с,
0
,
2cosR
v
0
T
0,034 м/с ,а
2
4cos
R
2
T
2
v
a
,
r
2
v = 233 м/с,
.
2
v
0
T
2
4cos
R
T
и вычислив,
2
,
a
0
0,017 м/с .а
2
v
0
2
38
Пример 11. Ракета движется относительно неподвижного наблюда-
теля со скоростью
v = 0,99с (с – скорость света в вакууме). Какое время
пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошел один год? Как изменятся линейные
размеры тел в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя? Как изменится для этого наблюдателя плотность вещества
в ракете?
Анализ и решение. Время, прошедшее по часам неподвижного
наблюдателя, найдем по формуле
t
0
t
1/
vc
t
– собственное время в ракете. Размеры тел (вдоль линии движе-
где
0
,
22
ния) найдем из соотношения
22
1/,ll v c
0
где
l – собственная длина тех же тел.
0
Плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя
найдем по формуле
m
,
v
m
0
где
m
22
1/
vc
.vlS
,
Так как поперечные (по отношению к линии движения) размеры
тел не изменяются, то
22
1/,vlS v c
0
mm
22 22
1/ 1/
vclS vc
000
22 22
(1 / ) 1 /
vvc vc
0
0
39
.
Найдем время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя:
t
1 год
0,99
c
⎛⎞
1
⎜⎟
c
⎝⎠
2
7,1 года.
Определим длину тел вдоль линии движения:
0,99
⎛⎞
10,14
ll l
00
⎜⎟
⎝⎠
2
c
.
c
Найдем плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя:
00
2
0,991c
⎛⎞
⎜⎟
c
⎝⎠
0,0199
50,2
.
0
По часам неподвижного наблюдателя пройдет примерно 7,1 года;
продольные размеры тел по линии движения сократятся и составят
приблизительно
0,14l ; для неподвижного наблюдателя плотность ве-
0
щества в ракете увеличивается приблизительно в 50 раз.
Пример 12. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями
vv 3/4с по отношению к неподвижному наблюдателю.
12
Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
Анализ и решение. По классической формуле сложения скоростей
vv v.
12
По релятивистской формуле сложения скоростей
vv
12
v
1
40
vv
12
c
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]