Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика механика, молекулярная физика и термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие
.pdf
Дано:
р
p
R
p
R
R
p
5
=
10 Па,
Р
0
= 80 °С,
t
1
= 185 °С,
t
2
Δm = 0,25 г,
М = 0,029 кг/моль.
V – ?
СИ
4
2,5 10 кг
Решение
Из уравнения состояния идеального
газа
m
VRT
,
M
где р – давление; V – объем; m – масса; М – молярная масса; R – универ-
сальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль К); Т – абсолютная тем-
пература; выразим массу:
VM
m
.
T
VM p VM
Тогда для двух состояний
Отсюда
Объем
mm m
12
V
pM
0
pVM
mR
11
TT
12
0
00
mm
12
TT
MT T
021
;
TRT
12
11
12
mRT T
.
12
()
.
.
Проверим размерность полученной формулы:
Дж
кг К
mRT T
pMT T
12
() Па
021
моль К
Па К
моль
2
Дж Н м
кг Н
м
2
3
[м ].V
Подставим данные:
2,5 10 8,31(273 80)(273 185)
V
Ответ:
5
10
0,029(185 80)
33
.1,1 10 мV
21
1,1 10
343
.м 1,1 л
Пример 12. Баллон емкостью 5 л содержит смесь гелия и водорода
р
р
M
M
R
при давлении 600 кПа. Масса смеси равна 4 г, массовая доля гелия равна
0,6. Определить температуру смеси.
Дано:
V = 5 л,
m = 4 г,
= 0,6 m,
m
1
р = 600 кПа.
Т – ?
СИ
410 кг,
610 Па.
33
3
5
Решение
Применим для смеси газов закон Даль-
,510 м
тона:
pp p
зов равно сумме парциальных давлений.
– давление смеси га-
12
Из уравнения состояния идеальных газов
m
VRT
,
M
где р – давление; V – объем; m – масса; М – молярная масса; R – универ-
сальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль К); Т – абсолютная тем-
пература, выразим температуру:
V
Количество вещества
Тогда
pV pV
T
R
0,6 0,4
MM
TvR
m
1
,
v
1
1
mm
12
MM M M
12 1 2
mm
12
.
m
2
v
2
2
mm
0,6 0,4
.
, количество вещества смеси
.
Проверим размерность полученной формулы:
T
pV
0,6 0,4
mm
MM
12
кг Дж
R
кг
моль
3
Па м Н м К Дж К
Дж Дж
моль К
22
[К].
53
M
M
610 510
T
0,004 0,002
0,6 0, 4
3
410 8,31
257,9 258 К.
Ответ: Т = 258 К.
Пример 13. Во сколько раз увеличится объем v, равный 2 молям кис-
лорода при изотермическом расширении при температуре Т = 300 К,
если при этом газу «сообщили» теплоту Q = 4 кДж?
Дано:
v = 2 моль,
Т = 300 К,
Т = const,
Q = 4 кДж.
n =
/VV
21
СИ
3
410 Дж
?
Решение
По первому началу термодинамики,
количество теплоты, сообщаемое газу,
идет на изменение его внутренней энергии и на совершение газом работы:
QUA
.
Изменение внутренней энергии газа
im
URT
2
M
,
где М – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная,
R = 8,31 Дж/(моль К); Т – изменение температуры; m – масса газа;
i – число степеней свободы молекул.
Изотермический процесс – процесс при неизменной температуре
im
URT
(Т = const), следовательно,
2
M
Элементарная работа А = pdV, полная работа
= 0, тогда
.QA
.ApdV
При изотермическом процессе давление является функцией объема
газа. Из уравнения состояния
RT
А vdV
Тогда
. Следовательно,
pV
mRT
давление
V
mRT RT
pv
.
VV
V
23
VV
22
ААvRT vRT vRT
VV
А QvRT n n ne
dV dV
VVV
11
ln ( ) ln ( ) ; .
Q
vRT
Проверим размерность полученной формулы:
ln
V
2
.
1
Q
vRT
vRT
Подставим данные:
Ответ:
2, 23.n
Q
2 8,31 300
Дж
моль К
4000
Дж
моль К
2,23.ne
[1].
Пример 14. Идеальный двухатомный газ в количестве v = 2 моль,
находящийся при температуре Т = 300 К, адиабатически увеличивает
свой объем в 2 раза. Затем этот газ изобарически увеличивает свой
объем в 3 раза. Определить конечную температуру газа. Найти также
количество теплоты, сообщенное газу в этих процессах.
Дано:
ν = 2 моль,
= 300 К,
Т
1
1–2)
3)
V
2
V
1
V
3
V
2
3
2,
2
3.
Q – ?
,Т
12
const,р
0,Q
СИ
Решение
р
P
1
p
2
1
2
V
V
1
2
3
V
3
V
1. По условию процесс перехода 1 2 – адиабатный. Из уравнения
Пуассона для адиабатического процесса
1
constTV найдем темпера-
туру после расширения:
24
p
1
11
TV TV T T
21 2 2
21
TV
1
11
1
V
2
V
V
2
1
,
где
лоемкость при постоянном давлении;
ном объеме;
– коэффициент Пуассона (показатель адиабаты); pC – теп-
C
V
– теплоемкость при постоян-
C
V
527
ii
CRRC RR
Vp
22 2 2
,
, где i = 5 – число степе-
ней свободы для двухатомного газа
C
C
7
p
5
C
V
1, 4 .
Проверим размерность полученной формулы:
1
[] К [К].
TT
22
Подставим данные:
T
2
V
1
V
2
1,4 1
1
300 227,4
2
3
м
3
м
К.
2. По условию переход 2 3 – изобарный.
Температура из закона Гей-Люссака для изобарного процесса
VT TV
33 23
VT V
22 2
TT
33
; 227, 4 3 682
К.
Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q,
полученное газом, расходуется на изменение его внутренней энергии
()U
и совершение газом работы (А) против внешних сил:
QUA
.
Адиабатическим называется процесс, происходящий без теплооб-
мена с окружающей средой.
25
Из первого начала термодинамики
A
р
p
12 12 12
3. Изобарный процесс – процесс при неизменном давлении.
Работа, совершаемая при изобарическом нагревании,
(),pV V
23 2
численно равна площади под графиком процесса в p–V-
координатах.
Изменение внутренней энергии газа
0.QUA
23 2
pV
URT
im
23 23
2
M
,
где М – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная,
R = 8,31 Дж/(моль К); Т – изменение температуры; m – масса газа;
i – число степеней свободы молекул (для двухатомного газа i = 5).
m
VRT
Из уравнения состояния идеального газа
запишем:
M
223 23 3 2
i
UvRTT
23 3 2
2
M
(),
m
VRTvRTT
QvRTT
(),
i
23 3 2
2
1( ).
Проверим размерность полученной формулы:
i
[] 1 ( ) моль К [Дж].
QvRTT
23 3 2
2 моль К
Дж
Подставим данные:
5
Q
23
1 2 8,31(682 227, 4) 2,64 10
2
4
Дж = 26,4 кДж.
Полное количество теплоты
кДж.
26,4QQ Q Q
26,4QQ
кДж.
Ответ:
12 23 23
К,
682T
3
Q
12
0,
23
26
Пример 15. Электрическое поле создается двумя концентрическими
R
R
R
R
E
E
E
R
Е
заряженными цилиндрами с радиусами
ной плотностью электрического заряда
= 10 см и
1
мкКл/м и
1
2
= 20 см и линей-
2
мкКл/м.
2
1
Определить напряженность и построить график зависимости Е(r). Опре-
делить разность потенциалов электрического поля между цилиндрами
Дано:
= 10 см,
1
= 20 см,
2
= 1 мкКл/м,
1
= –2 мкКл/м.
2
СИ
0,1 м,
0,2 м,
6
10
Кл/м,
6
210
Кл/м.
Решение
τ
2
l
τ
1
E
r
1
1
r
2
R1
R2
3
2
2
E
3
r
E
_
3
Е(r)?,
Согласно теореме Гаусса
?
–
12
q
EdS
S
n
– поток вектора напряженно-
0
сти электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри
12
этой поверхности зарядов, деленной на
(8,8510
0
0
Ф/м – элек-
трическая постоянная),
cos ,
EdS
S
q
0
EdS
S
n
q
.
0
Точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля,
лежат в трех областях: области
сти III
(.)rR
32
I,()rR
1. Для определения напряженности
сову поверхность
(цилиндр) радиусом
S
1
11
области
в области I проведем гаус-
1
r
1
II ,()
rR
12 2
и воспользуемся теоремой
обла-
Гаусса.
27
Для точки 1, расположенной внутри цилиндра радиусом
поэтому
q
EdS E
11
S
00.
0
11
,,0Rq
Для точки 2 внутри гауссовой поверхности находится заряд
Так как
где
22
EE
n
– площадь гауссовой поверхности. Тогда
2Srl
E
2
, то Е можно вынести за знак интеграла:
const
l
1
EdS
2
S
E
2
10 1,8 10
23,148,8510
,
0
l
11
rl r
22
20 02
64
ES
22
12
r
2
l
1
,
0
(1)
,
В/м.
r
2
Для точки 3 внутри гауссовой поверхности находятся заряды
и
22
где
,ql
EdS
3
S
– площадь гауссовой поверхности. Тогда
2Srl
33
E
3
ll l
12 12
E
10 2 10 1,8 10
23,148,8510
()
00
()
12 12
3
22
03 03
66 4
,
ES
l
rl r
12
r
3
()
12
33
(2)
,
В/м.
r
3
0
l
,
21
).ql
ql
11
2. Построим график Е(r).
В области I
111
.() 0rRЕ
28
В области II
R
R
R
R
R
–
E
В точке r =
()
rR
12 2
напряженность
1
ER
21
4
1, 8 1 0
() 1,810
1
0,
изменяется по закону 1/r.
()Еr
2
5
В/м = 180 кВ/м.
В точке r =
В области III
В точке
Таким образом, функция Е(r) в точках
(r
2
ER
22
()rR
32
rR
32
ER
32
стремится к
2
4
1, 8 1 0
() 0,910
2
0,
()Еr
3
стремится к
(r
3
4
1, 8 1 0
() 0,910
2
0,
слева):
2
5
В/м = 90 кВ/м.
изменяется по закону 1/r.
справа),
2
5
В/м = – 90 кВ/м.
rR
180
90
I II III
0 R1 R2 r, м
90
и
1
терпит разрыв.
rR
2
Потенциал будем определять, учитывая связь напряженности и по-
тенциала:
dEdr
.
d
dr
Тогда разность потенциалов
RR
22
11 1 12
12
RR
11
dr dr r
22 2 2
rr R
00 0 01
1
R
2
ln ( ) ln .
R
1
R
29
Проверим размерность полученной формулы:
R
Кл
[] ln [В].
12
2 Кл Кл
R
12
R
01
м
2
Кл
Нм
Нм Дж
2
Подставим данные:
6
12
23,148,8510
10 0,2
ln 1,25 10
12
0,1
4
В = 12,5 кВ.
Ответ:
,
0E
1
12
E
1, 8 1 0
2
r
12,5 кВ.
4
В/м,
E
2
3
1, 8 1 0
r
3
4
В/м,
Пример 16. Какой длины нужно взять кусок стальной проволоки се-
чением 0,2
2
мм , чтобы, присоединив его к полюсам элемента с ЭДС
2 В и внутренним сопротивлением 7,2 Ом, получить в цепи ток 250 мА?
6
Удельное сопротивление стали
Дано:
S = 0,2 2мм ,
ε = 2 В,
СИ
0,25 А.
r = 7,2 Ом,
I = 250 мА,
ρ =
0,12 10 Ом ∙ м.
l – ?
6
0,12 10 Ом м.
Решение
72
Из закона Ома для замкнутой
.210 м
цепи
I
, где r – внутрен-
r
нее сопротивление элемента;
R – внешнее сопротивление
(сопротивление проволоки)
Выразим R:
.Rr
I
Сопротивление линейного однородного проводника
l
RS
,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]