Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория принятия решений. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
С. М. БОРОДАЧЁВ
ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия
для студентов экономических, управленческих
и информационных направлений обучения
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2014
УДК 519.816(075.8)
ББК 22.18я73
Б83
Рецензенты:
кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (протокол № 3 от
23 октября 2013 г.) (завкафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева);
канд. физ.-мат. наук старший научный сотрудник Института математики
и механики УрО РАН Ермаков Д. Г.
Научный редактор – д-р физ.-мат. наук проф. О. И. Никонов
Бородачёв, С. М.
Б83 Теория принятия решений: учебное пособие / С. М. Бородачёв. – Екатерин-
бург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 124 с.
ISBN 978-5-7996-1196-5
Представлены математические модели и методы, используемые для поддержки
принятия управленческих решений в различных условиях информированности. Пособие содержит теоретический материал, упражнения, лабораторный практикум и задания для самостоятельной работы (типовой расчёт). Предназначено для студентов экономических, управленческих и информационных направлений всех форм обучения.
Библиогр.: 13 назв. Табл. 43. Рис. 16.
УДК 519.816(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-7996-1196-5 © Уральский федеральный
университет, 2014
Введение
Любая сфера человеческой деятельности связана с принятием решений.
В зависимости от предметной области дисциплины, посвящённые этой проблематике, назывались исследование операций, экономико-математические методы, математические методы в управлении.
Для постановки задачи принятия управленческого решения необходимо выполнить два условия:
1. Должна быть возможность выбора, т. е. по крайней мере, 2 варианта дей-
ствий.
2. Вариант выбирается по определённому принципу. Известны два принци-
па выбора решения:
a. Волевой –
b. Критериальный – заключается в принятии некоторого(-ых) критерия(-ев)
(мерило) и сравнении возможных вариантов по этому критерию. Принятый
критерий называют целевой функцией. Вариант, для которого целевая функ-
ция принимает наилучшее зн
навливают выбор.
Классификация задач принятия решений может быть проведена по нескольким признакам:
1. По степени полноты информации об условиях, в которых принимается
решение.
a. Детерминированные задачи – относительно каждого действия извест-
но, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу, внешние
факторы также известны.
применяют при отсутствии формализованных моделей.
ачение, называют оптимальным и на нём оста-
b. Вероятностные зада
новки параметры, являющиеся случайными величинами, для которых известны или хотя бы экспертно могут быть оценены распределения вероятностей.
чи (или задачи с риском) – включают в свои поста-
3
c. Задачи в условиях неопределённости – результаты ваших действий
и/или внешние факторы могут быть различными, но их вероятности совершенно неизвестны или не имеют смысла.
2. По используемым математическим методам для их решения (хотя, как
правило, степень полноты информации и определяет используемый метод).
4
1. Элементы линейного программирования
x
x
r
Здесь слово программирование используется в смысле определения про-
граммы действий, программы выпуска изделий, т. е. как планирование.
Пример 1.1
Фирма производит скороварки А и кофеварки Б. Основные операции, и про-
изводственные мощности (если производить что-то одно, в шт. за неделю):
Операция Вид продукции
А Б
Штамповка 25000 35000
Отделка 33333 16667
Сборка А 22500 -
Сборка Б – 15000
Прибыль от шт. 15 рублей 12.5 рубля
Какова должна быть программа выпуска на следующую неделю
скороварок, шт.,
– кофеварок, шт., чтобы прибыль была максимальной?
2
Запишем функцию прибыли и ограничения по мощностям. Пусть полная
производственная мощность цеха штамповки = 1 и т. д.
fxx fx x x
(, ) () 15 12.5 max.
25000 35000
12 1 2
xx
12
1
xx
12
33333 16667
22500 15000
xx
12
xx
12
1, 1
0, 0
1
.
–
1
Изобразим ограничения и целевую функцию на рисунке.
5
т
ц
м
р
щ
а
ь
т
о
xxx
е
р
й
м
о
x
r
5
f
ь
т
е
л
й
x
x
5
у
л
ь
5
п
и
6
т
т
р
2
x
о
о
б
б
н
т
я
и
в
м
о
м
ф
о
з
з
м
и
б
р
о
т
а
и
и
а
н
а
а
-
.
и
в
ю
о
е
С учё
выпуска
её грани
Расс
ях f). Но
Переме
f (остав
угловой
прибыл
ом знак
r
1
2
е.
отрим с
мальны
аем пря
ясь в д
точке
1
max
в нерав
должна
мейство
вектор
ую вдо
пустимо
*
1
*
*
2
*12,
x
1
нств, по
находит
прямых
15
r
n
12,
r
для
ь
n
област
20370
6481
*38
x
2
учаем, ч
ься внут
15 1
у них
олучени
и!). Нах
.
При эт
562,5
1
ру
о кажда
и заштр
,5xf
2
одинако
я макси
дим, чт
м фир
.
точка д
хованн
(при ра
, значит
ального
макси
а получ
опустим
й облас
личных
они пар
начения
ум дост
т макс
го план
и или н
значени
ллельны
прибыл
гается
мальну
Кстат
ниже 10
участки.
и, испол
0%. Поэ
зование
ому раз
мощнос
мно час
ей по с
ть работ
орке ко
иков от
еварок
юда пе
удет зн
евести
чительн
а други
6
x
x
xxx
A
r
f
rrr
rrr
x
r
1.1. Канонический вид задачи линейного программирования
В общем случае число переменных может быть произвольным,
подчинены они m ограничениям вида
, ,...,
xx
12
n
и
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
... .
ax a x ax b
11 2 2
mm mnnm
Введя вектор переменных (плана)
b
1
вектор ограничений
r
b
.
.
b
m
, матрицу коэффициентов
r
...
...
1
2
,
..
n
nn
(1)
(2)
...
aa
11 1
A
... ...
aa
...
1
mmn
n
,
систему ограничений (1) можно записать в матрично-векторной форме
T
Целевую функцию можно записать
() ...
xcx cxcx
11
nn
, тогда задача
линейного программирования примет вид
*
arg max ;
xcx
rr r
{: , 0},
ExAxbx
где E – допустимая область, любая
r
xE
T
r
E
– допустимая точка или план.
r
Пример 1.2
Понятие argmax изображено на рисунке.
7
r
xb
.
(3)
x
r
f
rrr
A
r
r
r
rrr
A
r
Ограничения в виде неравенств можно свести к ограничениям-равенствам
вводя дополнительные вспомогательные переменные, поиск максимума целевой функции можно заменить поиском минимума функции, умноженной на -1.
Тогда приходим к определению.
Канонический вид задачи линейного программирования – найти вектор плана
*
, для которого целевая функция
()
xcx
T
достигает минимума на множе-
r
xb
, где
.
0b
(4)
стве точек E
, удовлетворяет системе ограничений
0
*
arg min ;
xcx
rr r
{: , 0}.
ExAxbx
0
r
xE
T
0
r
r
Вспомним метод Гаусса решение систем линейных уравнений. В нём расши-
ренная матрица системы приводится к ступенчатой форме, определяются базисные и свободные переменные. Если все свободные переменные положить
равными нулю, то полученное частное решение системы называется базисным
решением.
Теорема
r
Каждое допустимое базисное решение системы
xb
есть угловая точка
области E0. Обратно: каждая угловая точка E0 – допустимое базисное решение.
8
1.2. Симплекс-метод
x
x
f
rrr
xxxxx
x
r
r
f
r
x
x
x
Это разработанный Дж. Данцигом (США, 1950-е годы) метод целенаправ-
ленного перебора угловых точек, при котором значение целевой функции убывает от точки к точке. Рассмотрим и обоснуем его на примере.
Пример 1.2
Найти
чениях
x
12
22
xx
12
xx
12
xx
12
xx
12
, обращающие
3
.
6
0, 0
(, ) 2 0,5gx x x x
12 1 2
в максимум при ограни-
*, *
Перепишем задачу в каноническом виде (4), для этого умножим второе не-
,,
равенство на –1, введём уравнивающие вспомогательные переменные
xx
345
в
левые части первых 3х неравенств и перейдём к целевой функции
()
xcx g
T
1
2
r
3
4
5
,
.
2
0.5
r
c
0
0
0
(|) 1 1010|3
,
r
Ab
21100|2
11001|6
.
(5)
Переставим столбцы последней матрицы в порядке 3, 4, 5, 1, 2, 6. Это уже
ступенчатая форма. Свободные переменные
допустимое базисное решение
0
(0 0 2 3 6)
x
,xx
. Полагая их = 0, получим
12
T
.
0
()0fx
, будет ли это
наименьшим значением? В
невыгодно считать свободной (и полагать = 0). Лучше сделать
есть член
()
x
9
0,5
, который показывает, что
2
> 0, т. е. пере-
2
2
вести в базисные (перейти к другой угловой точке). Какая базисная переменная
x
x
f
r
r
rr
r
x
r
x
rr
x
должна при этом перейти в свободные?
желательно сделать максимально
2
положительным, не допуская отрицательности остальных переменных. Из связей переменных (5) видно, что первой достигнет 0
, она и будет свободной.
3
Это уравнение связи называется разрешающим. Начиная с разрешающего уравнения, выражаем базисные переменные и целевую функцию через новые сво-
() 1 0.5
бодные переменные.
xxx
13
. Оба коэффициента при свободных
переменных положительны, поэтому минимум достигается при обращении их в
0, что и происходит в текущей угловой точке
1
(0 2 0 5 4)
x
T
. Значит,
она и есть точка минимума. Каноническая задача решена:
1
* (02054)
xx
max
1g
в точке
(*, *) (0,2)xx
12
T
,
min
(*) 1ffx
. Решение исходной задачи: ясно,
.
Алгоритм симплекс-метода решения канонической задачи линейного
программирования (при известной исходной угловой точке)
1. i = 0.
0
2.
задаёт выбор базисных и свободных переменных.
Выражаем базисные переменные и целевую функцию через свободные
3.
переменные.
4.
Все ли коэффициенты при неизвестных в целевой функции ≥0? Если «да»
i
*
– стоп,
Из свободных переменных, входящих в целевую функцию с отрицатель-
5.
x
. Если «нет» – переход к п. 5.
ными коэффициентами, выбираем имеющую наименьший номер и переводим
её в базисные. Пусть это будет
В выражениях базисных переменных через свободные все ли коэффици-
6.
0
x
енты при
? Если «да» – стоп, целевая функция не ограничена:
l
.
l
f
min
.
Если «нет» – переход к п. 7.
7.
i = i + 1
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]