Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория принятия решений. Учебное пособие-1
.pdf
Упражнение 1.2
Решить задачу ЛП:
f(x
x
3x
2x
2x
x
Упражнение 1.3
) = 3x1 +3x2 -> min;
1, x2
+5x2 >= 10;
1
+2x2 >= 12;
1
+4x2 >= 16;
1
+2x2 >= 6;
1
>= 1 x
1
1, x2
>= 0.
В продаже имеются напитки:
Напиток Содержание спирта, % Цена, руб./кг.
Джин-тоник 10 10
Salute
20 30
Аперитив 25 40
Smirnoff
40 60
В каких пропорциях следует смешать эти напитки, чтобы получить коктейль
с содержанием спирта 30 %, и самый дешёвый?
Упражнение 1.4
Решить задачу ЛП:
f (x
-x
-x
-3x
x
1, x2
начав с угловой точки: (0, 0, 1, 2, 1)
Упражнение 1.5
Пусть известна матрица d
, x3, x4, x5) = 4x1 - 5x2 - x3 - 3x4 - 5x5 -> min;
1, x2
+ 3x2 + 2x4 + x5 = 5;
1
+ 3x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 9;
1
+ 2x2 + x3 + 2x4 + x5 = 6;
1
, x3, x4, x5 >= 0 ,
Т
.
– производительности исполнителей по каждой
ij
работе. Как найти назначения, максимизирующее g – суммарную производительность? Считается, что мы умеем решать задачу о назначениях (с матрицей
>= 0, поиск минимума f).
c
ij
21
d =
7 5 0 3
2 7 1 4
1 3 6 8
5 4 3 2
Упражнение 1.6
В цехе 3 токарных станка и один автомат. Необходимо организовать производство трёх деталей в комплекте: на каждую деталь № 1 три детали № 2 и две
детали № 3. Как загрузить станки, чтобы произвести максимальное число комплектов, если дневная производительность по каждой из деталей у станков:
Станок Деталь
№ 1 № 2 № 3
Токарный 50 40 80
Автомат 120 90 60
Упражнение 1.7
f (y
18y
10y
) = 1200y1 +360y2 -> min;
1, y2
+ 12y2 >= 1;
1
- 4y2 >= 0;
1
10y
+ 15y2 >= 1;
1
-5y
+ 6y2 >= 0;
1
y
>= 0.
1, y2
Упражнение 1.8
Найти решения прямой и двойственной задач.
x
+ x2 -> min;
1
8x
+5x2 >= 1;
1
3x
+6x2 >= 1;
1
x
+7x2 >= 1;
1
x
>=0.
1, x2
22
ч
x
Прим
к
й
ь
р
l
З
ч
о
ы
2. Не
л
й
x
п
ц
е
м
h
3
S
р
о
о
*
x
M
л
н
д
и
н
3
а
о
n
(
xM
л
ч
т
м
и
м
л
н
о
е
ь
н
а
я
у
г
x
r
и
и
н
а
я
ы
в
ы
и
й
н
е
о
S
а
-
я
е
-
я
инейн
е и кв
дратич
ое про
рамми
ровани
Зада
где F(
При
нобочно
(наимен
а нелине
r
), fj(
ер 2.1
аких раз
трапе
шие пот
r
) –
ного пр
r
роизво
мерах ка
ии бу
ри)?
граммир
arg mi
r
r
{:
xf
ьные не
ал с се
ет име
вания:
r
();
Fx
r
xj
)0,
j
инейные
ением б
ь наим
1,..., ;m
функци
льшим
ньшую
r
0},
.
ли равн
поверхн
м S в ф
ость см
рме рав
ачивани
Пове
Эта
S
*
h
4
ада
ного пр
линейн
хность с
2ub
b
задача
,*
d
3
а квадра
грамми
):
ачиван
22
2
,*
4
3
тичного
ования,
b
d
нели
2
4
я будет
пр
min
ейного
S
, * =
3
програм
огда це
инимал
сохране
прогр
60.
ировани
евая ф
23
на
ии сече
ммиров
(частн
нкция к
bh
ия
,,
bh
ния
й случа
адратич
dh
0
d
меет
задачи
а, а огр
.
решени
нелиней
ничени
*
x
rrrrr
r
x
arg min( )
r
xM
rr r
MxAxbx
{: , 0}
TT
cx xKx
r
r
. K – симметричная матрица размера [n*n].
Для решения задач нелинейного и квадратичного программирования широко
применяются численные методы нахождения решения (приближенного решения). Например, в MathCAD есть функция Minimize( f, x, y, …),
(Maximize( f, x, y, …)) дающая набор значений неизвестных x, y, …, минимизирующих функцию f , при ограничениях (уравнениях и неравенствах), указанных
в блоке Given. Т. е.
это фактически arg min f(x).
Пример 2.2
Решить задачу
Fx x x x x
() 2 4 2 min;
xx
28
12
121 2
22
xx
212.
12
xx
,0
12
Решение в MathCAD
ORIGIN:=1
(): 2 4 ( ) 2( ),Fx x x x x
:0, :0.xx
12
121 2
22
Given
28;xx
12
212;xx
12
0x
1
: Minimize( , );
opt F x
xopt F xopt
0;x
2
1
()3.
1
24
2.1. Выбор инвестиционного портфеля (задача Марковица)
D
R
R
x
xxx
x
r
M
M
urururur
rrr
Рентабельность некоторого i-го актива (акция, облигация и т.п.) за определённый период
10
Pp
ii i
R
где D
i
– дивиденды или текущий доход от актива (случайная величина), p
i
0
p
i
цена актива в начале периода (известна), P
,
1
– цена актива в конце периода
i
0
i
–
(случайная величина). Т. о. R
случайная величина и её смысл – прибыль на
i
рубль затрат. Часто рентабельность выражают в процентах, умножая это выражение на 100%.
Пусть имеются w – средства для инвестирования, на рынке имеются n видов
активов. w
ля:
w
x
i
w
Г. Марковиц в 1952 г. поставил и решил задачу: найти портфель
– средства, инвестированные в i-й актив. Тогда прибыль от портфе-
i
n
Rw
ii
1
i
wRw Rw
11 2 2
i
– доля средств, инвестированных в i-й актив, вектор портфеля
...
, рентабельность портфеля
nn
w
n
Rx
1
i
r
...
*
, обеспе-
ii
1
2
n
,
.
чивающий ожидаемую рентабельность портфеля MR
возможном риске (дисперсии рентабельности портфеля DR
nn
RM Rx xMR
()
ii i i
11
ii
тива (можно оценить по прошлым годам, считаем известными).
rrr r r
DR DxR MxRMxR MxRMR xRMR
rrr rrr
x R MR R MR x x M R MR R MR x x K x
( ( )( ) ) [( )( )] ,
TTT T T T
( ) ( ) (( ))(( ))
urururururururur
TTT TT
aMR
,
ii
2
25
≥ r0 при наименьшем
→ min).
– ожидаемая рентабельность i–го ак-
r
R
где
K
R
r
x
r
x
rr
r
– ковариационная матрица случайного вектора рентабельностей активов
R
(можно оценить по прошлым годам, считаем известной).
Т. о. получилась задача квадратичного программирования:
rr r
() min, 1 .
Fx xKx x
T
r
R
n
rax
0
1
i
n
i
i
1
in
0, 1,
i
ii
0
Пример 2.3
Пусть на рынке есть 3 актива с ожидаемыми рентабельностями a
= 15%, a
Оценка ковариационной матрицы
= 8%.
3
1, 5 0 , 5 0, 7
K
0,5 2, 5 0,3
0,7 0,3 1
[%]2. Как правило,
чем доходнее актив, тем больше дисперсия его доходности.
= 11%, a2
1
Найти оптимальный портфель, имеющий ожидаемую рентабельность не менее 11%, если доля вложения в третий актив должна быть не более 0,25.
Fx x xx xx x xx x
() 1,5 1,4 2,5 0,6 min;
11 11 15 8 0
xxx
123
x
0, 25 0
3
xxx
,, 0
123
Решение этой задачи в MathCAD даст
222
112 13 2 233
xxx
123
1
.
0, 436
xopt
0, 28
0, 25
( ) 0.472[%]
Fxopt
,
2
0,687%
Риск портфеля меньше, чем риск самого мало рискового актива в нём. Это эффект диверсификации – комбинирование ценных бумаг в нужных пропорциях.
Упражнение 2.1
.
Показать
T
Kx K x x
ij
ij i j
.
26
3. Принятие решений в условиях неопределённости и риска
Пример 3.1
Вы собираетесь пойти на работу и думаете: надеть плащ или нет. Погода –
неконтролируемый, внешний фактор может быть: θ = 1 – сухо, θ = 2 – дождь,
θ = 3 – ливень. Фактор, которым вы распоряжаетесь (контролируемый), может
быть: a = 1 – выйти без плаща, a = 2 – надеть плащ. M
= {1, 2} – множество
0
(чистых) стратегий.
Всевозможные сочетания этих факторов ведут к следующим вашим потерям
или неудобствам: L(a,θ) – функция или матрица потерь (в условных денежных
057
единицах).
(, )
La
321
, т. е. наибольшие потери 7 будут, если вы без
плаща попали в ливень.
Иногда удобнее говорить не о потерях, а о выигрышах
057
321
, и тогда оперирующая сторона стремится
(, ) (, )
Wa La
максимизировать выигрыш.
3.1. Условия неопределённости
Никакой дополнительной информации о неконтролируемом факторе нет.
Назовём оценкой эффективности стратегии a величину
() min (,) Wa Wa
– то есть наименьший выигрыш, который может быть при
данной стратегии a (гарантированный результат).
(1) min (1, ) min(0, 5, 7) 7;
WW
W
(2) min(3,2,1) 3.
27
Стратегия a* называется оптимальной, если она приносит наилучший га-
рантированный результат:
*argmax()
aWa
aM
0
рантированный результат во множестве стратегий M
(1) 7
W
* arg max argmax 2
a
() (2) 3WM W
0
aa
(2) 3
W
наилучшее, что можно гарантировать правильным выбором
, т. е. нужно надеть плащ.
() (*) WM Wa
.
0
0
– наилучший га-
.
стратегии.
Это стандартный (весьма пессимистичный) взгляд (образ действий) называ-
*argmaxmin (,)
ют максиминным подходом [поскольку
aWa
a
] или критерием
Вальда.
Некоторые нестандартные критерии
А. Критерий оптимизма (макси-макса). В этом случае каждая стратегия ха-
рактеризуется наибольшим возможным выигрышем
тимальной считается
aWa
a
.
*argmax()
Если применить этот критерий в примере 3.1:
(1) max (1, ) max( 0, 5, 7) 0;
WW
W
(2)= max( 3, 2, 1) 1;
a
*argmax 1
a
Б. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица:
* arg max min ( , ) (1 ) max ( , )
aWaWa
a
, где – доля пессимизма,
01 .
Продолжение примера: пусть
a
* argmax 0,5 0,5 arg max 2
aa
70 3,5
31 2
= 0.5
() max (,)Wa Wa
0
– без плаща.
1
– надеть плащ.
и оп-
28
3.2. Условия риска (критерий Байеса – Лапласа)
В этом случае внешний фактор θ считается случайной величиной Θ, имею-
()p
щей известное распределение
– плотность распределения или закон, и
оценкой эффективности стратегии a называют математическое ожидание выигрыша при данной стратегии
EMV a W a
() M (, )
(, )
Wa p
Wa p d
(, ) ()
,
в дискретном и непрерывном случае соответственно. EMV – expected monetary
value. И тогда, естественно,
aEMVa
a
.
*argmax ()
Пример 3.1 (продолжение)
Считаем известным распределение погоды
θ 1 2 3
pθ·100% 60 30 10
EMV W p W p W p
EMV
(1) (1,1) (1, 2 ) (1, 3) 0 0.6 ( 5) 0, 3 ( 7) 0, 1 2, 2;
(2) 3 0,6 ( 2) 0,3 ( 1) 0,1 2, 5;
123
2, 2
a
*argmax 1
a
2,5
– без плаща. Сравним это с максиминным решением
a* = 2 – надеть плащ. При том решении средний выигрыш меньше (-2,5), но
хуже, чем наилучший гарантированный результат (-3) не будет. При a* = 1
средний выигрыш лучше, но можно и сильно промокнуть (-7).
Ожидаемая ценность точной информации (EVPI)
Пример 3.1 (продолжение)
29
Пусть предлагается услуга – утром перед выходом из дома вам сообщать,
какая на улице погода (точная информация). СКакова максимальная цена услуги накануне вечером?
Если проинформируют, что сухо, то ясно – пойдёте без плаща и w = 0, если
дождь, то в плаще и w = -2, если ливень, то в плаще и w = -1. А с каки
ми веро
-
ятностями так сообщат – с теми, как оно бывает. То есть ожидаемый оптимальный выигрыш при покупке информации
00,6 (2)0,3 (1)0,1 0,7
.
Разность: ожидаемый оптимальный выигрыш (при покупке информации) –
оптимальный ожидаемый выигрыш (в условиях риска) и составляет ожидаемую
ценность информации
0,7 ( 2,2) 1,5EVPI
(EVPI – expected value of perfect information)
. Вплоть до такой цены можно заплатить за информа-
цию.
Очевидно
EVPI W a W a
M max ( , ) maxM ( , )
aa
.
О статистических решающих функциях, когда ЛПР перед принятием решения разрешается проведение эксперимента, см., например, [3].
Пример 3.2
Фирма продаёт скоропортящийся продукт. Нереализованный в данном периоде продукт не может быть продан в следующем периоде. k
затраты на хранение пропавшего товара – издержки излишка (на 1 кг). k
– себестоимость и
1
– по-
2
теря прибыли из-за неудовлетворённого спроса – издержки недостатка (на 1 кг).
О предстоящем случайном спросе Θ косвенно говорит x - инфляция в предыдущем периоде (в %). Найти оптимальный запас a (в тоннах) по байесовскому
решающему правилу.
Функция потерь
(),при ,
(, )
La
ka a
ka a
1
(),при .
2
По теореме (байесовский принцип) байесовская решающая функция имеет вид:
adx EMVax
BB
() argmin ( |)
a
,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]