Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория принятия решений. Учебное пособие-1
.pdf
4) ес
л
м
о
о
ш
а
г
0
3
и
п
)
е
а
т
м
о
а
о
ю
ч
5
д
т
(
н
в
д
л
м
в
и
е
к
г
о
ь
р
5
0
и
о
и
о
д
ч
,
0
т
о
о
о
6
т
я
о
н
в
е
п
п
е
,
-
-
х
и 2 или
более р
бот начи
наются
заканч
ваются
дними и
теми ж
события
между к
ту (см. с
В на
и, то с
торыми
бытие 8
ем прим
целью
она закл
.
ре полу
днознач
чена, в
аем сле
ого опр
одят фи
ующий
деления
тивное с
рафик.
работ н
бытие и
мерами
фиктив
событий
ую рабо
Пост
ния все
начала и
Работа
(i, j)
t
,ij
r
,ij
вим зад
о проек
конца.
,1 0,2
7 30
3 0
чу опре
а (комп
1,3 1,7
0 30
33 46
.1. Ана
еления
лекса ра
2,3 3,4
10 14
0 0
из сетев
инимал
бот). Пе
3,6 4,
21 1
10 0
го граф
ной про
еобозна
5,6 6
7
0 1
ка
олжител
им раб
76,8
7
2 5
ьности
ты ном
,9 7,10
12 15
0 12
ыполне
рами и
8,9 9,10
0 15
5 0
Ранн
t0) насту
но
tt
10
м сроко
ления с
0t
0,1
ti собы
бытия i
77,t
2
ия i назо
когда за
tt
00,2
вём мин
ершатся
. В с
30
мальное
все рабо
бытие 3
время (о
ы, вход
можно п
начала
щие в i).
пасть 2
роекта
Очевид-
утями
71
0,1,3 или 0,2,3. Ясно, что ранний срок
t
определяется длиной максимального из
3
этих путей:
ttt tt
433,4 10
max{ , } max{7 0,30 10} 40ttttt
311,322,3
40 14 54,..., 98
n
, то есть весь проект можно завершить за
.
98 дней. Правила были
0, max{ }, 1,2,..., , берётся по всем событиям,
tt tti nk
0,
для которых работы (,).
Поздним сроком
ikki
k
ki
T
события i назовём максимальное время наступления
i
события i, при котором ещё возможно выполнение проекта к моменту
TT t
что
срока
Т. о.
TtT Tt in n j
nni jij
10
nn
10 9,10
83T
9
. Общее правило
,min{ }, 1,2,...,0,берётся по всем событиям,
для которых работы (, ).
98
. Если событие 9 наступает в любой момент времени до
98 15 83Tt
j
, то срок наступления события 10 не удлиняется.
,
ij
t
. Ясно,
n
Резерв времени события i
i
t
i
T
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 7 30 40 54 64 71 71 78 83 98
0 40 30 40 54 64 71 83 83 83 98
Tt
.
ii
Резерв 0 33 0 0 0 0 0 8 5 0 0
События, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими.
Удобнее, однако, выявить критические работы. Резервом (полным) времени
r
,ij
работы (i, j) называется максимально возможное увеличение продолжительно-
сти работы без увеличения времени выполнения всего проекта. Очевидно
rTtt
,,ij jiij
. Так
0,1 1 0 0,1
40 0 7 33rTtt
удлинить на 33 дня без ущерба для всего проекта.
, то есть работу B можно
0,2
30 0 30 0r
и т. д.
72
Иногда вводят для работ раннее время начала
E
E
St
, позднее время начала
,ij i
LS T t
,,ij i ij
LF T
,ij j
.
, раннее время окончания
Ftt
,,ij i ij
, позднее время окончания
Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Критический путь – это любой путь из i = 0 в i = n длины
t
– критическое время
n
проекта (длина). Ясно, что критический путь состоит из критических работ, на
которые при выполнении проекта и следует обращать наибольшее внимание.
Находим резервы всех работ и выявляем критические (см. таблицу на
предыдущей странице). Изобразим критический путь на графике.
Если задан директивный срок выполнения проекта
t
ется
nn
, то нужно уменьшить продолжительность критических работ путём
, а из анализа получа-
n
привлечения дополнительных средств (наём дополнительных работников, техники и т. п.). Где их взять? Из работ, имеющих резерв времени. Меньше останется средств – работа удлинится, но в пределах резерва это неважно. Это получит развитие в методе CPM.
5.2. Метод критического пути (CPM)
Примем, что продолжительность работы зависит от вложенных в неё
средств, т.е. её стоимости
:
c
,ij
73
M
ckth
,,,,ij ij ij ij
,
– затраты на ускорение работы на единицу времени.
h
,ij
,
– нормальная длительность.
(21)
где
– предельная длительность,
a
,ij
atb
,, ,ij ij ij
b
,ij
Общая стоимость всего проекта равна сумме стоимостей всех работ:
Ckth k th
Выбрав все
tb
,,ij ij
симальной продолжительности
метода CPM: отыскать набор длительностей работ
()
,,, , ,,
ij ij ij ij ij ij
ij ij ij
,,,
.
(22)
, получим минимальную стоимость проекта, но при мак-
t
nM
. Поэтому интерес представляет задача
t
, минимизирующий сто-
,ij
имость C проекта при ограничении, что продолжительность проекта должна
()
быть
.
M
Эту задачу можно сформулировать как задачу линейного программирования. В выражении (22) первая сумма постоянна, поэтому можно искать
max{ }
zth
,,
ij ij
ij
,
max
– целевая функция. Ограничения: было
ttt
ikki
k
,
, это
можно заменить
но в то же время сроки
ttt k,
t
должны быть минимально возможными. Этого можно
i
,ikki
(23)
достичь, взяв целевую функцию вида
где
zth tM
,,
ij ij i i
ij i
,
– больше положительные константы. Ещё ограничение:
i
t
n
.
max
,
(24)
(25)
Видно, что формулы (21), (23), (24), (25) – задача линейного программирова-
t
ния с числом переменных равным сумме числа работ
и n – числа событий
,ij
(кроме начального). Задача всегда громоздкая. Существуют и упрощённые (менее оптимальные) методы, например в пакете ПЭР. В любом случае их цель –
74
определение функции
– зависимости минимально возможного удорожа-
()C
ния стоимости проекта от времени
набора
*ijt
. Функция эта обычно имеет следующий вид.
,
его выполнения и соответствующего
5.3. Метод PERT
Этот метод обобщает анализ сетевого графика в более реалистическую ситуацию, когда продолжительности выполнения работ являются случайными величинами. Они имеют наименьшую длительность a (оптимистическая оценка),
наибольшую длительность b (пессимистическая оценка) и моду mo (наивероятнейшая оценка). Подходящее распределение, обладающее естественными
нижним и верхним пределами – обобщённое бета-распределение:
11
() ( ) ( )
px kx a b x
t
.
75
M
D
2
.
Mt
ab
,
mo
(1)(1)
ab
2
()
ba
Dt
,
2
()( 1)
Поэтому, если ещё задать математическое ожидание m = Mt продолжительности работы, например, равное прежней предполагаемой фиксированной длительности, то определятся параметры α и β, а значит и дисперсия Dt.
Пример 5.1 (продолжение)
Пусть о работе (0, 1) предполагаем a = 0, b = 18, mo = 6, m = 7. Тогда α = 2,33
и β = 3,66 и Dt = 11.
Теперь можно говорить лишь о математических ожиданиях (м. о.) ранних и
поздних сроков наступления событий, но так как
м. о. суммы равно сумме м.
о., то значения будут те же. Аналогично прежнему находится критический путь
t
и его ожидаемое время
.
n
Считая времена выполнения работ независимыми случайными величинами,
li
22
можно рассчитать дисперсии ранних сроков по формуле
2
работам на критическом пути. При i = n
даст дисперсию
n
ikl
k
– сумма по
,
0
t
критического
n
времени проекта.
76
Так как обычно
M
t
является суммой большого числа независимых случайных
i
величин, то по центральной предельной теореме можно считать
и если заданы директивные сроки
достижения событий, то можно рассчитать
i
tNMt
iii
(,)
:
вероятности уложиться в эти сроки. Например, вероятность выполнения всего
проекта в срок
{}( )
Pt
nn
Если в нашем примере
22 222222
n
0,22,33,44,55,66,99,10
:
n
nn
n
t
.
105, 98
10
nn
Mt
131
,
, то
{}0.73Pt
10 10
.
Можно решить и обратную задачу: выяснить, к какому сроку проект будет
'117
завершён с необходимой большой вероятностью, скажем 0,95. Ответ:
n
дней.
77
6. Многокритериальная оптимизация
x
r
F
rr r
r
F
r
x
r
r
r
F
r
F
r
x
r
x
r
F
rr
F
rr
rr
Задача многокритериальной оптимизации – это задача с несколькими критериями (целевыми функциями), которые с разных сторон характеризует различные возможные варианты, стратегии, планы, решения
. Обычно заранее
ясно, что по каждому критерию лучше (например, «больше»). Эти несколько
( ), ( ),..., ( )
критериев
Fx
r
() ,
Fx x M
rr
Fx
Fx
тельно, например,
xFx Fx
12
()
1
r
()
2
...
r
()
s
i
объединяют в векторный критерий
s
, где M – допустимое множество решений. И жела-
( ) max, 1,...,
xis
r
xM
– задача многокритериальной опти-
мизации.
Пример 6.1
Располагая суммой денег b, вы собираетесь сделать запас продуктов
x
r
1
, где мука, кг, по цене , сахар, кг, по цене
x
2
xcx c
112 2
. Цель – произ-
вести больше булок, пусть их выход:
пусть её выход:
() max.Fx x
22
2
() 2 maxFx x x
112
Очевидно,
Если решить задачи с отдельными критериями
b
мальные точки различны:
rr
*1 *2
xx
c
1
,
0
:,,0.Mxcxcxbxx
()
x
1
, и сахарной ваты,
11 2 2 1 2
()
и
x
, то их опти-
2
0
. Т. е. единого решения, обра-
b
c
2
щающего оба критерия в максимум, не существует. Это обычная ситуация, поэтому используется обобщение оптимального решения.
Стратегия
не существует такой стратегии
чём
() (*)
xFx
*
M
называется эффективной (оптимальной по Парето), если
( ) ( *), 1,...,
M
, такой, что
xFxi s
ii
, при-
.
78
Другими словами, она эффективна, если не существует не уступающей ни в
P
ur
ur
ur
F
r
F
r
ur
P
чём, а в чём-то даже лучшей стратегии. Или, кратко, если нет заведомо лучших
точек (стратегий).
Множество всех эффективных стратегий (паретовское множество) обозначается
()
MM
Образ допустимого множества при отображении
альным множеством
значается
(( ))FPM
.
называется критери-
(.)F
. Образ эффективного множества стратегий обо-
()FM
и называется эффективная граница (множество эффектив-
ных векторов критерия).
Пример 6.1(продолжение)
Найдём множество эффективных стратегий. Для этого сначала построим
критериальное множество, затем в нём найдём эффективную границу и, как её
прообраз, паретовское множество (см. рисунок). Видно, что прообраз точки
*
неулучшаем, так как в критериальном пространстве нет образов с лучшими
значениями критериев (в указанном секторе). Поэтому
принадлежит эф-
*
фективной границе. С двумя другими точками на графике ситуация другая. Так
находятся
(( ))FPM
– правая дуга и
– гипотенуза треугольника.
()
M
79
Т. о. делать закупки вне
r
P
x
r
r
() : ,, 0PM x cx cx b x x
11 2 2 1 2
не эффективно.
Стратегии из
не уступают друг другу, и дальнейший, окончательный вы-
()
M
бор делается из дополнительных соображений.
Пример 6.2
Задача выбора инвестиционного портфеля: найти портфель
ющий
r
() minFx DR
1
(наименьший риск) и
, обеспечива-
() maxFx MR
2
(наибольшую доходность).
Можно показать, что критериальное множество имеет вид (заштрихованная
область на рисунке). Тогда очевидна эффективная граница (волнистая линия).
Решая задачу Марковица (см. п. 2.1) для различных
r
, можно построить
0
эффективную границу и найти множество эффективных портфелей.
6.1. Упорядоченные критерии
Если критерии отличаются по важности (пусть уже произведено переобозначение: F
– самый важный и т.д.), то открываются следующие возможности вы-
1
работки единственного оптимального решения.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]