Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория инженерного эксперимента. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.03.01 «Строительство» (профилей «Теплогазоснабжен

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

4. ТОЧНОСТЬ И ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ,

СПОСОБЫ ИХ ОЦЕНКИ И УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Анализ точности результата вычислений, то есть определение его последней значащей цифры, которой можно доверять, является важной составной частью вычислительного процесса. Реальная оценка практически достижимого уровня точности способствует не только экономии сил и средств, но часто связана с вопросами достоверности достигнутых результатов и без- опасности их прикладного использования.

4.1. Понятие приближенного числа и погрешности

Анализ точности результата вычислений осуществляется на основе понятия погрешности. Пусть х1 – истинное значение некоторой величины, а х1r – значение, присвоенное ей в ходе эксперимента или экспертной оценки, при которых всегда возникают некоторые ошибки, например результат любого измерения содержит ошибку датчика и прибора. Поэтому значение х1r называют приближенным значением изучаемой величины или просто приближенным числом.

Абсолютная погрешность Δx любого приближенного числа есть аб- солютная величина разности между истинным значением величины х1 и ее приближенным значением х1r, то есть Δx = |х1 – х1r|. Истинное значение величины, как правило, неизвестно, поэтому оценкой абсолютной погрешности считается установление неравенства вида |х1 – х1r| ≤ Δxp, где Δxp – предельная абсолютная погрешность.

Абсолютная погрешность записи приближенных чисел обычно принимается равной половине единицы последнего разряда в записи: например, запись числа π = 3,14 имеет погрешность 0,005, а π = 3,1416 – 0,00005. Если обозначение числа имеет большее количество цифр, чем это требуется согласно установленной точности, их следует округлить.

В окончательных результатах расчета принято записывать числа, сохраняя одну недостоверную цифру за последней верной, а предельную абсолютную погрешность указывают за этим результатом после знака «±». Например, если при расчете получено число 271,734 с предельной абсолютной погрешностью 0,043, то последняя достоверная цифра после запятой – 7, а последняя записываемая цифра – 3, и, согласно правилам, результат должен быть записан как 271,73 ± 0,05.

Абсолютная погрешность характеризует точность приближенного числа недостаточно: погрешность в 0,5 м слишком велика для отмеривания куска ткани в магазине и слишком мала для измерения расстояния между двумя городами. Таким образом, пригодность абсолютной погрешности выявляется только при сопоставлении с практическим значением данной пере-

менной, то есть по так называемой относительной погрешности. Относи- тельная погрешность dx определяется как отношение абсолютной погрешности Δx (или Δxp) к абсолютной величине истинного значения х1r, то есть

dx = Δx

/ |х

|. Иногда это отношение умножают на 100, иными словами, вы-

ражают в процентах (процентная погрешность). На практике обычно пользуются понятием предельной относительной погрешности dxp, которая удовлетворяет неравенству dx ≤ dxp.

Погрешности, в силу разных источников их происхождения, классифицируют как устранимые (инструментальные, методические) и неустра- нимые (наследственные).

Инструментальные погрешности связаны с конечной точностью представления исходной информации (округление значений входных величин или ошибки измерений).

Методические погрешности обусловлены тем, что многие задачи решаются приближенно с использованием специальных численных методов. Это, в частности, относится к вычислению тригонометрических, логарифмических, показательных функций.

Наследственные погрешности – это погрешности результата вычислений, вызванные распространением или трансформацией погрешностей исходных данных при прохождении их по вычислительному алгоритму через ряд промежуточных результатов.

4.2. Оценка погрешностей вычислительного процесса

Пусть независимая переменная х известна с некоторой точностью. С какой точностью можно найти значение функции y = f (x)? Обратная задача: если необходимо рассчитать значение функции y с заданной точностью, то какова должна быть точность определения значения переменной х?

В большинстве технических расчетов удовлетворительным считается такой уровень точности результата, при котором его максимальная относительная погрешность не превышает 5 %. Например, при переходе системы единиц МКГСС к Международной системе единиц (СИ) перевод килограмма силы в Ньютоны можно осуществить введением множителя 10 вместо более точного множителя 9,807. Ошибка при этом составит (10 – 9,81) / 9,81 = 0,02, что в большинстве случаев вполне допустимо.

Однако такой уровень точности бывает и неприемлемым. Например, при запуске искусственных спутников Луны с околоземной орбиты вторую космическую скорость (около 11200 м/с) требуется выдержать с ошибкой, не превышающей 0,000002. В противном случае запускаемый аппарат станет спутником не Луны, а Солнца.

Трансформация наследственных погрешностей при осуществлении вычислительного процесса происходит по определенным закономерностям. Наиболее важные случаи распространения ошибок представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Случаи распространения ошибок

Операция

Реализация

операции

Абсолютная

ошибка

Относительная

ошибка

Сложение

x1 + x2

Δx1 + Δx2

(Δx1 + Δx2) / |x1 +

Вычитание

x1 – x2

Δx1 – Δx2

(Δx1 + Δx2) / |x1 –

Умножение

x1 × x2

Δx1 × |x2| + Δx2 × |x1|

Δx1 / |x1| + Δx2 / |x2|

Деление

/ x

(Δx1 × |x2| + Δx2×|x1|) /x

Δx1 / |x1| + Δx2 / |x2|

Возведение в степень

Δx × |n| × |x

n-1

Δx × |n| / |x|

Примечание. *Показатель степени n может принимать произвольные значения, если n – пра- вильная дробь, то ошибка уменьшается.

Пример 1. Диаметр круга D определен с некоторой погрешностью. Как определить погрешность величины площади круга S, вычисленной по формуле S = π ∙ D2/4?

Измеренный диаметр D составил 5 см, абсолютная погрешность для данных условий изготовления круга и измерения его диаметра оценивается как ±2 мм. Тогда предельная относительная погрешность равна 0,2/5 = 0,04. Поскольку в вычислении заложена операция умножения D × D, то относитель- ная погрешность вычисленной площади круга составит:

ΔS/S = ΔD/D + ΔD/D = 0,04 + 0,04 = 0,08.

Тогда абсолютная погрешность площади круга:

ΔS = 0,08 × S = 0,08 × 19,625 = 1,57 см2.

Пример 2. Известно, что площадь квадрата равна 12,34 см2.С какой по- грешностью должна быть измерена сторона квадрата, чтобы расчет его площади обеспечил необходимую точность?

Из выражения площади следует, что она дана с предельной абсолютной погрешностью 0,005 см2, тогда относительная погрешность составит (0,005/12,34) = 0,0004. Так как длина стороны квадрата L есть S

0,5

то ΔL/L = |0,5| × 0,04 = 0,0002, откуда абсолютная погрешность измерения стороны квадрата составит ΔL = S × 0,0002 = 0,0007 см.

Способы уменьшения значения наследственных погрешностей:

 при выполнении операций сложения и вычитания над последователь- ностью чисел, содержащей большое количество членов, необходимо сначала оперировать с наименьшими по абсолютной величине числами;

 следует избегать вычитания близких по значению чисел;

 необходимо избегать сложения чисел, отличающихся на несколько

порядков;

 для уменьшения погрешностей округления чисел промежуточные действия рекомендуется производить, сохраняя после запятой на один-два знака больше, чем требуется в окончательном результате.

5. ДВУХМЕРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

5.1. Статистические характеристики системы

двух случайных величин. Коэффициент корреляции

Система двух случайных величин имеет пять основных статистических характеристик: средние значения x и ȳ, дисперсии σ

и σ

и корреля-

ционный момент (или ковариацию) Kху, которые вычисляют по формулам:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Особый интерес представляет формула (5.3), которая отражает взаимосвязь между случайными величинами х и у. Поскольку корреляционный момент имеет размерность, его преобразуют в безразмерную величину по формуле:

(5.4)

Величина r играет чрезвычайно большую роль в статистических исследованиях и называется коэффициентом корреляции. Его значения заключены в интервале между +1 и –1. Если коэффициент корреляции равен нулю, то линейная связь между случайными величинами отсутствует. При r = 1 связь функциональная положительная. При r = –1 связь функциональная отрицательная.

В реальных условиях коэффициент корреляции не бывает равен единице (или минус единице) и характеризует степень статистической связи между свойствами х и у. Чем ближе по абсолютной величине r к единице, тем сильнее связь между свойствами: она может быть положительной (r > 0) и отрицательной (r < 0). Таким образом, коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между двумя величинами. Для оценки нелинейных зависимостей он непригоден.

Для оценки значимости связи по величине коэффициента корреляции используют следующую классификацию (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Классификация по величине коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции

Значимость связи

Менее [0,4]

Слабая

[0,4–0,8]

Хорошая

Более [0,8]

Линейная

5.2. Уравнение линейной регрессии

Если между величинами х и у установлена линейная статистическая зависимость, то представляет интерес найти ее выражение в виде уравнения прямой линии: у = ах + b, где а и b – коэффициенты.

Такое уравнение называется уравнением регрессии. Если величина х неслучайная, то существует одно уравнение регрессии. Если обе величины (х и у) случайные, то имеется два уравнения регрессии и можно вычислять зависимости как у от х, так и х от у. Расчет уравнения сводится к определению наиболее вероятного значения у, когда известно значение х. Опуская вывод, запишем уравнение линейной зависимости через статистические характеристики:

(5.5)

Аналогичный вид имеет второе уравнение зависимости х от у:

(5.6)

Эти уравнения пересекаются в точке средних значений x и ȳ.

Уравнение линейной регрессии позволяет решать несколько практических задач. Первое назначение уравнения описательное, потому что часто важен сам факт линейной зависимости и ее аналитическое выражение. Но наибольшая эффективность уравнения заключается в возможности про- гнозирования значения одной случайной величины, если известно значение другой. Поскольку зависимость носит статистический характер, прогнозирование по уравнению (4.5) будет сопровождаться погрешностью tσδ или,

с учетом формулы (3.6), погрешностью   , где t – коэффициент ве- роятности. Чем больше коэффициент корреляции по абсолютной величине,

тем меньше погрешность прогнозирования. Для надежного прогнозирования необходимо использовать лишь такие зависимости, у которых коэффициент корреляции больше 0,87.

5.3. Сравнение двух выборок непараметрическими методами

Непараметрические методы математической статистики – методы непосредственной оценки и проверки гипотез о теоретическом распределении вероятностей и тех или иных его общих свойствах (симметрии, независимости и т. п.) по результатам наблюдений. Непараметрические методы разработаны для тех ситуаций, достаточно часто возникающих на практике, когда исследователь ничего не знает о параметрах исследуе- мой выборки (отсюда и название методов). Другими словами, непараметрические методы не основываются на оценке параметров (среднее значение или стандартное отклонение) при описании выборочного распределения случайной величины.

Для примера рассмотрим подробнее один из наиболее популярных непараметрических методов математической статистики – метод КраскелаУоллиса (Н-тест).

Суть метода заключается в следующем.

Для начала необходимо объединить имеющиеся в наличии выборки и посчитать объем объединенной выборки.

Затем в каждой выборке отдельно присвоить каждому элементу порядковый номер и рассчитать сумму порядковых номеров для каждой выборки.

Подставить полученные значения в формулу:

где N – объем объединенной выборки; R1 – сумма порядковых номеров из первой выборки; R2 – сумма порядковых номеров из второй выборки.

Полученное значение Н сравнивают с табличным и делают вывод о достоверности различий между выборками. Если Н больше табличного значения, то различия есть, а если меньше – различий нет.

5.4. Сравнение двух выборок по средним значениям

На практике, как правило, имеют дело не с одной, а с несколькими выборками. Эти выборки оцениваются по статистическим параметрам, однако различия между параметрами этих выборок могут быть случайными, незначительными и этими различиями можно пренебречь, но могут быть и существенными.

В первом случае, когда различия несущественны, такие выборки можно отнести к одной генеральной совокупности. Во втором случае, когда различия между выборками значительные, такие выборки нельзя относить к одной генеральной совокупности. Встает вопрос, как оценить существенность различий между выборками? Наиболее простой способ – это сравнение средних значений двух выборок.

Сравнивая между собой средние значения двух выборок, примем, что различия между ними случайны или не существуют. Такой способ называют принятием нулевой гипотезы. Чтобы принять нулевую гипотезу и считать различия недостоверными или отвергнуть и считать различия существенными, используют t-критерий:

где – это ошибка среднего значения, которая считается по следующей формуле:

где S – стандартное отклонение, n – объем выборки.

Полученное значение t сравнивают с критерием Стьюдента (tst), точнее с табличным значением критерия для данных степеней свободы, которые рассчитываются:

где n1 и n2 – объемы первой и второй выборок соответственно, а 2 – так как у нас сравниваются две выборки.

При выборе табличного значения критерия также необходимо обратить внимание на уровень значимости: 0,5; 0,1; 0,01. Чем меньше уровень значимости, тем точнее результат, однако в статистике в основном используют уровень значимости, равный 0,5, реже – 0,1, так как всегда есть ошибка или погрешность. На рисунке 5.1 указаны стандартные значения критерия Стьюдента.

Рис. 5.1. Стандартные значения критерия Стьюдента

Таким образом, если полученное значение t больше табличного, то ги- потеза отвергается, различия между выборками достоверны и их нельзя отнести к одной генеральной совокупности.

6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

6.1. Общие сведения о планировании экспериментов

Эксперимент – один из методов исследования, состоящий в целенаправленном воздействии на объект исследования в заданных контролируемых условиях на основании имеющихся знаний. Эксперименты могут быть активными и пассивными. Пассивный эксперимент сводится к наблюдению за происходящим процессом, и его параметры не могут контролироваться исследователем. По сути, пассивный эксперимент является наблюдением. Основным, позволяющим получить наиболее полную и достоверную информацию видом эксперимента, является активный, который проводится в управляемых и контролируемых условиях.

Поскольку в большинстве случаев проведение эксперимента связано с материальными расходами, то ставится задача получения максимального результата при минимальных затратах, решением которой занимается планирование эксперимента.

Планирование эксперимента предусматривает последовательные действия по методу выбора количества и условий его проведения, минимально необходимых и достаточных для решения стоящих перед экспериментатором задач с необходимой точностью.

При планировании эксперимента предусматривается утверждение объема опытов, проводимых по заранее определенной схеме в зависимости от поставленных целей и задач исследований. Если в эксперименте участвуют несколько факторов одновременно, то он называется факторным.

В настоящее время наиболее результативно методы планирования экспериментов применяются при решении задач по оптимизации (экстремальных задач), другими словами, по поиску экстремума некоторой функции. Задача планирования эксперимента в такой ситуации формулируется следующим образом: допускается, что параметр оптимизации y связан

с факторами каким-либо математическим выражением, поэтому необходимо так спланировать эксперимент, чтобы при минимальном количестве факторов, изменяя их значения по определенным правилам, можно было найти область оптимума.

Как правило, используют планирование эксперимента для изучения и математического описания явлений и процессов через построение математических моделей в форме так называемых уравнений регрессии, представляющих собой соотношения, связывающие с помощью ряда параметров значения факторов и результаты эксперимента.

Регрессионный метод заключается в определении аналитического выражения связи, где изменение одной величины (результативного признака) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние

на выходную характеристику, принимается постоянным. То есть регресси- онный анализ определяет аналитическую зависимость между контролируемыми факторами х1, х2, ..., хn и выходным параметром y.

Основной целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости среднего значения результативного признака у от фак- торных параметров х1, х2, ..., хn.

Статистическая модель связи или уравнение регрессии выражается функцией:

ȳ = f (x1, x2, ..., xn). (6.1)

Данная функция достаточно адекватна реальному процессу (явлению) в случае построения модели, отвечающей следующим требованиям:

 все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение;

 объем исследуемой выборочной совокупности должен быть доста- точно большим;

 причинно-следственные связи между факторами и выходной вели- чиной должны описываться линейной или приводимыми к линейной формами зависимости.

Построение уравнения регрессии имеет одну из проблем – размерность, то есть определение числа факторных признаков, включаемых в модель. Поэтому их число должно быть оптимальным за счет сокращения размерности путем исключения второстепенных несущественных факторов, что позволит получить модель, реализуемую быстрее и качественнее. С другой стороны, построение модели малой размерности может привести к недостаточно полному описанию исследуемого явления или процесса.

6.2. Планирование однофакторного эксперимента

Суть планирования однофакторного эксперимента сводится к получению уравнения парной регрессии, которая характеризует связь между двумя признаками: факторным и результативным.

Уравнения (6.2, 6.3, 6.4) описывают аналитическую связь между этими признаками:

 прямой: ȳ = a0 + a1 x; (6.2)

 гиперболы: ȳ = a0 +







; (6.3)

 параболы: ȳ = a0 + a1 x + a2 x2. (6.4)

В приведенных выражениях оценку параметров уравнения регрессии, как правило, осуществляют методом наименьших квадратов, основанном на предположении о независимости исследуемой совокупности. Суть метода состоит в нахождении параметров модели а0, а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений

результативного признака от теоретических, полученных по выбору уравнения регрессии.

(6.5)

Для прямой зависимости уравнение (6.5) будет иметь вид:

(6.6)

Приняв q как функцию параметров а0, а1 и продифференцировав ее, получим:

(6.7)

В итоге система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов будет иметь следующий вид:

(6.8)

где n – число единиц наблюдения.

Параметр а0 в уравнениях регрессии (6.8) показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных или не выделенных для исследования факторов, параметры а1 и а2 в уравнении параболы дают картину изменения в среднем значения результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения.

В случае обратной зависимости между x и y, когда с увеличением (уменьшением) х уменьшается (увеличивается) результативный признак y, задача решается аналогичным образом. При ее решении парная регрессия описывается уравнением гиперболы (6.3), а система нормальных уравнений для определения параметров гиперболы будет иметь следующий вид:

(6.9)

Решение данных алгебраических уравнений не представляет собой серьезных трудностей.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]