Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория инженерного эксперимента. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.03.01 «Строительство» (профилей «Теплогазоснабжен
.pdf
11
Эксперимент представляет собой последовательность проведения
ряда отдельных опытов, которые являются составной частью эксперимента.
Целью эксперимента является получение информации об объекте ис-
следований или изучаемом процессе опытным путем в результате исследований или моделирования.
Экспериментальные исследования технических объектов сводятся
к решению некоторого количества экспериментальных задач.
В промышленной теплоэнергетике задачи сводятся в основном к четырем типам:
1) построение интерполяционных формул, представляющих собой зави-
симости между параметрами объекта в исследованной области их изменений;
2) поиск оптимальных условий работы объекта (экстремальный экс-
перимент);
3) отсеивание несущественных факторов (факторный анализ);
4) уточнение констант в зависимостях, полученных аналитическим путем.
Любой эксперимент необходимо спланировать. Под планированием
эксперимента понимается выбор числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной экспериментальной задачи с требуемой точностью.
1.4. Планирование эксперимента
Прежде чем проводить эксперимент, его нужно спланировать. По характеру организации и методам обработки результатов эксперимент может
быть пассивным или активным. В пассивном эксперименте исследователь
наблюдает за работающим объектом, не вмешиваясь в процесс его функционирования. В активном эксперименте исследователь сам изменяет уровень управляемых факторов, которые он может контролировать. К контролируемым факторам предъявляются следующие требования:
1) управляемость, то есть возможность поддерживать выбранный уро-
вень фактора в течение необходимого времени;
2) достаточно высокая точность, с которой поддерживается и измеря-
ется уровень фактора;
3) независимость – возможность создать любой уровень данного фак-
тора вне зависимости от уровней других факторов;
4) совместимость, то есть безопасность функционирования объекта ис-
следования и возможность измерения отклика yi в любой точке той части факторного пространства, которая является областью проведения экспериментов.
В теории планирования экспериментов вводится понятие факторного
пространства – это такое в математическом смысле пространство, у которого координаты соответствуют отдельным факторам. Любая точка этого
пространства характеризуется набором значений факторов, при котором
производится измерение отклика yi.
12
Множество наборов уровней факторов, при которых производится
измерение отклика, задается матрицей условий эксперимента. Матрица
для k-факторов и N-измерений имеет вид:
Значение функции отклика Y при данных измерениях также представляется в виде матрицы, которая имеет один столбец и называется матрицей
наблюдений:
План эксперимента представляет собой совокупность данных,
определяющих число, условия и порядок реализации эксперимента. План
эксперимента обычно записывают в виде матрицы плана, то есть прямоугольной матрицы, строки которой отвечают отдельным опытам,
а столбцы – факторам.
План, содержащий все возможные комбинации факторов на определенном уровне равное число раз, называют полным факторным планом (мат-
рица заполнена полностью числовыми значениями факторов). Если план содержит только часть комбинаций полного факторного плана (матрица заполнена не полностью), то его называют дробным факторным планом.
При проведении экспериментов отклик оценивается по результатам
прямых или косвенных измерений. Оценка зависит от точности измерений.
Возможны перечисленные ниже варианты.
1. Отклик – неслучайная величина, ошибки измерений малы по срав-
нению со значением отклика:
y = yi + Δy
i
, (1.1)
где y – истинное значение отклика; yi – измеренное значение отклика; Δyi –
погрешность i-го измерения.
Если Δyi ≤ (0,01…0,02) yi, то погрешностью измерения можно пренебречь и полученное после первого измерения значение yi принять за истинное y. Это случаи прямых измерений, в которых заранее известна (рассчитана) погрешность Dyi. Значительно чаще встречается другой случай.
2. Отклик – неслучайная величина, но погрешностью измерений пре-
небрегать нельзя. Для уменьшения влияния погрешностей измерения производится многократное измерение отклика в одинаковых условиях (то сеть
13
при одних и тех же значениях уровней факторов). Тогда за истинное значение отклика принимают среднее арифметическое значение (математическое
ожидание) результатов параллельных измерений:
(1.2)
где n – число измерений.
Точность соответствия ȳ истинному значению тем выше, чем больше n.
В этом случае, кроме оценки среднего арифметического ȳ, требуется
знать оценку стандартного квадратичного отклонения S от среднего арифметического значения y по формуле:
(1.3)
где (n – 1) – число степеней свободы; здесь S – оценка погрешности измерений, когда число измерений n ограничено. Обычно n составляет от 5 до 50
измерений. При n → ∞S → σ, где σ – теоретическое среднеквадратичное от-
клонение от истинного значения, полученное по данным генеральной совокупности при n → ∞.
Таким образом, в любом эксперименте необходимо производить измерения тех или иных физических величин, то сеть использовать для этого
различные измерительные приборы и другие средства измерений. В этих измерениях уже заложены начальные погрешности, которые определяются
метрологическими характеристиками средств измерений.
14
2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
И СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
2.1. Статистические характеристики случайной величины
В основе большинства вычислений лежит расчет статистических характеристик случайной величины. К наиболее распространенным статистическим характеристикам одномерной случайной величины относятся размах, медиана, мода, среднее значение, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс.
Пусть имеется n измерений свойства х. Необходимо найти статистические характеристики этого множества измерений.
Размах – это разность между максимальным х
max
и минимальным х
min
значениями свойства: p = х
max
– х
min
.
Медиана – средний член упорядоченного ряда значений. Для нахожде-
ния медианы нужно расположить все значения в порядке возрастания или убывания и найти средний по порядку член ряда. В случае n четного числа в сере-
дине ряда окажутся два значения, тогда медиана будет равна их полусумме.
Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.
Среднее значение – это среднеарифметическое из всех измеренных
значений:
(2.1)
Существуют другие виды средних значений (среднее взвешенное,
среднее геометрическое, среднее гармоническое и др.), которые вычисляются в особых случаях и здесь не рассматриваются.
Медиана, мода и среднее значение являются характеристиками поло-
жения – около них группируются измеренные значения случайной величины.
Дисперсия – это число, равное среднему квадрату отклонений значе-
ний случайной величины от ее среднего значения:
(2.2)
Среднеквадратичное отклонение – это число, равное квадратному
корню из дисперсии:
(2.3)
Среднеквадратичное отклонение имеет размерность, совпадающую
с размерностью случайной величины и среднего значения. Например, если
значения случайной величины измерены в метрах, то и среднеквадратичное
отклонение также будет выражаться в метрах.
15
Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению:
(2.4)
Коэффициент вариации выражается в долях единицы или (после
умножения на 100) в процентах. Вычисление коэффициента вариации имеет
смысл для положительных случайных величин.
Дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации, а также размах являются мерами рассеяния значений случайной величины около среднего значения. Чем они больше, тем сильнее рассеяние.
Асимметрия – степень асимметричности распределения значений
случайной величины относительно среднего значения:
(2.5)
Эксцесс – степень остро- или плосковершинности распределения значений случайной величины относительно нормального закона распределения:
(2.6)
Асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. Они отражают особенности группировки значений случайной величины около
среднего значения.
Рассмотренные статистические характеристики относятся к множеству значений х1, х2, ..., хn. Если множество представляет собой выборку
из генеральной совокупности, то возникает задача оценки ее статистических характеристик по выборочным данным. Наибольшее значение имеют
оценка математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
Математическое ожидание случайной величины М(х) – это ее сред-
нее значение в генеральной совокупности. Оно, за редким исключением, бывает неизвестно, и приходится пользоваться его приближенной оценкой (точечной оценкой) – выборочным средним значением x, определяемым
по формуле (2.1). При увеличении числа наблюдений выборочное среднее
стремится к пределу – математическому ожиданию.
Дисперсия генеральной совокупности D(х) – это число, равное среднему квадрату отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Если математическое ожидание известно, то дисперсию находят
по формуле:
(2.7)
16
Если математическое ожидание неизвестно, то определяют оценку
дисперсии по формуле:
(2.8)
Единица в знаменателе формулы (2.8) отражает одну использованную
степень свободы: вместо математического ожидания в формулу подставлено выборочное среднее значение. При увеличении числа наблюдений n
оценка дисперсии S2 стремится к дисперсии генеральной совокупности D(х).
Формулы (2.2) и (2.8) похожи друг на друга, но применяют их в разных случаях. Первая используется для характеристики выборки, а вторая –
для характеристики генеральной совокупности.
В ряде задач возникает необходимость рассчитывать статистические
характеристики суммы или разности случайных величин, а также произведения случайной величины на постоянный множитель.
Пусть имеется случайная величина х. Если умножить ее значения
на постоянный множитель, то получим новую случайную величину: у = ах.
Статистические характеристики новой случайной величины преобразуются
следующим образом:
среднее значение: yср = axср;
дисперсия: σ
y
2
= a
2
σ
x
2
;
среднеквадратичное отклонение: σy = a
2σx
.
При этом коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс не изменят
своих значений. Очевидно, что деление значений случайной величины на
постоянную величину а равносильно умножению на обратную величину 1/а
и приведенные формулы сохраняют свою силу.
Если к случайной величине х прибавить постоянное слагаемое а,
то есть у = х + а, то изменится и среднее значение: = + а. Однако значения
дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса сохранятся. Вычитание постоянного слагаемого равносильно изменению знака
слагаемого а на –а.
Наибольший интерес представляет ситуация, когда производится сложение (вычитание) двух и более случайных величин. Пусть имеются две независимые случайные величины х и у, а их сумма (разность) образует третью
случайную величину: z = x ± у. Статистические характеристики меняются
следующим образом:
среднее значение: = ± ;
дисперсия: σ
z
2
= σ
x
2
+ σ
y
2
.
Если имеется n независимых случайных величин х1, х2, ..., хп и находится их сумма: z = x1 + x2 + ... + xn, то имеем соотношения:
средние значения: = (1) + (1) + … + (n);
дисперсии: σ
z
2
= σ
1
2
+ σ
1
2
+ … + σ
x
2
. (2.9)
17
Особенно большое значение имеет последнее равенство, известное
как теорема сложения дисперсий: дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Используя эту теорему, можно доказать, что дисперсия среднего значения из n значений xi в n раз меньше
дисперсий исходных значений xi:
(2.10)
2.2. Совокупность и ее характеристики
Совокупность принадлежащих изучаемому объекту однородных в определенном смысле элементов опробования образует физическую совокупность. Вся возможная совокупность элементов опробования, принадлежащих объекту, образует генеральную физическую совокупность.
Так как каждому компоненту физической совокупности в результате
проведения испытаний соответствует одно значение случайной величины,
а физической совокупности – совокупность значений этой величины, то эта
совокупность будет являться статистической совокупностью. Статистическая совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной статистической совокупностью.
Другими словами, теоретически бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность всех случайных величин или единиц, которые могут быть к ней отнесены, называется генеральной совокупностью.
Часть генеральной совокупности, взятая для проведения анализа
и по которой можно достоверно судить о генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью (или выборкой).
Число случайных величин или единиц совокупности называется объ-
емом совокупности и обозначается n. В генеральной совокупности n → ∞,
а в выборочной – представлен определенным числом.
Само измеренное значение случайной величины или единицы совокупности называется вариантой совокупности и обозначается xi, i – номер
испытания.
Ряд вариант в совокупности записывается так: x1, x2, x3, …, xn.
Различия между вариантами совокупности называются вариацией
(изменчивостью). Вариация бывает нескольких типов:
качественная – варианты внутри совокупности различаются опре-
деленным качеством (разные цвета (оттенки) одного и того же горизонта
или разных горизонтов в почвах и т. д.);
дискретная количественная – варианты внутри совокупности
имеют количественную меру, но различия между отдельными вариантами
совокупности выражаются целыми числами (количество водопрочных агрегатов, шт.; количество кристаллов гипса в гипсовом горизонте и т. п.). В экс-
18
периментальном почвоведении исследователи нечасто встречаются с качественной и дискретной вариациями, поэтому подробно на них останавливаться не бу-
дем. Нас больше будет интересовать следующий тип вариации;
непрерывная количественная – варианты внутри совокупности
имеют количественную меру, но между отдельными вариантами совокупности нет четко выраженных границ (влажность, плотность, содержание гумуса и т. д.). С данной вариацией чаще всего сталкиваются почвоведы при
статистической обработке почвенных данных.
2.3. Группировка данных
Получаемые в процессе исследования выборочные данные обычно
представляют собой неупорядоченный ряд результатов измерений. Поэтому
первым шагом перед началом любого статистического анализа является группировка полученных данных в ряд распределения, или вариационный ряд.
Группировка полученных данных осуществляется разными способами в зависимости от типа вариации и объема выборки. Первый и наиболее
простой способ – ранжирование.
Ранжирование – распределение полученных данных в порядке возрастания или убывания.
Такой способ дает некоторое представление о полученном материале:
позволяет выявить лимиты – максимальные (max) и минимальные
(min) значения;
в центре такого ряда цифр сосредоточено основное количество ва-
риант со «средним значением» признака.
Если объем выборок велик, то ранжирование не слишком облегчает
обзор данных, тогда прибегают к более сложному способу – группировке
в вариационный ряд.
Вариационный ряд – ряд ранжированных чисел, для которых указаны
значения варианты и соответствующие им частоты (сколько раз повторяется
та или иная варианта). Он строится следующим образом:
1) выписать в столбик в порядке нарастания все типы вариант, кото-
рые встретились в совокупности (классы, xi);
2) определить, сколько раз каждая цифра встречается в выборке (ча-
стоты встречаемости в выборке каждого класса, f).
Сумма частот всех классов будет равняться объему выборки.
Данный способ группировки дает более четкую картину закономерностей распределения вариант в выборке:
в центре вариационного ряда сосредоточено основное число вариант;
чем больше значения вариант отклоняются от значений вариант, нахо-
дящихся в середине ряда, тем меньше таких вариант встречается в выборке;
класс, в котором представлено больше всего вариант, называется
модальным.
19
Если классов больше 10, то вариационный ряд строится с использованием искусственных классов, в которые входит не одно значение вариант,
а несколько.
Для этого рассчитывается так называемый шаг – разница между край-
ними значениями класса:
(2.11)
где max – максимальное значение вариант в выборке, min – минимальное.
2.4. Графическое представление вариационного ряда
Данные, сгруппированные в вариационный ряд, можно изобразить
графически, если по оси абсцисс отложить значения классов, а по оси ординат – частоту встречаемости. Существует два способа графического изобра-
жения вариационных рядов.
Первый способ – полигон распределения (полигон частот), который
представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.
Используется тогда, когда классы представлены одним значением вариант,
как в случае с водопрочными агрегатами.
Рис. 2.1. Полигон распределения
Второй способ – гистограмма, то есть графическое изображение рас-
пределения данных. Это способ представления статистических данных
в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы, которая отображает
распределение отдельных измерений параметров изделия или процесса.
Иногда ее называют частотным распределением, так как гистограмма показывает частоту появления измеренных значений параметров объекта. Высота каждого столбца указывает на частоту появления значений параметров
20
в выбранном диапазоне, а количество столбцов – на число выбранных диапазонов. Важное преимущество гистограммы заключается в том, что она позволяет наглядно представить тенденции изменения измеряемых параметров
качества объекта и зрительно оценить закон их распределения. Кроме того,
гистограмма дает возможность быстро определить центр, разброс и форму
распределения случайной величины. Строится гистограмма, как правило, для
интервального изменения значений измеряемого параметра.
Рис. 2.2. Гистограмма
Графическое изображение вариационных рядов дает возможность визуально оценить качество экспериментального материала на предмет:
симметричности (асимметричности) распределения значений в вы-
борке;
одно- или многовершинности;
плавности (эксцесса).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]