Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы, цепи с распределенными параметрами, электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
31
Найдем значения корней характеристического уравнения цепи:
01 =++= )pLR(pLRpC)p(Z
,
01
2
=++ LCRCpp
.
12
52 345 358 8
,
. j .
p
= −
.
а) б) в)
Рисунок 1.13. Расчетная схема к примеру 9
Рассчитаем установившийся режим до коммутации и определим
независимые начальные значения.
4107963141 1
6
===
−
Cx
C
,
3
314 9 55 10 3
L
x L .
−
= = =
;
0
21
1
220 2
1 86
12 12 3
4
24 3
2
j
j
mm
m
вх
L
C
L
EE
e
I . e
Z
( j )
R( R jx )
j
jx
j
R jx
= = = =
+
+
−+
−+
+
+
;
1
1 86 314 21i . sin( t )= +
;
21 14
21
2 1 86 12 24 3 0 92
jj
mm
L
I I R ( R jx ) . e ( j ) . e ,
= + = + =
2
0 92 314 14i . sin( t )= +
;
21 69
1
1 86 4 7 45
jj
m
Cm
C
U I ( jx ) . e ( j ) . e ,
−
= − = − =
7 45 314 69
C
u . sin( t )= −
;
22
0 0 0 92 14 0 22i ( ) i ( ) . sin .− = + = =
;
0
0 0 7 45 69 6 96
CC
u ( ) u ( ) . sin( ) .− = + = − = −
.
32
Рассчитаем принужденный режим после коммутации (рисунок 1.13, б).
0
05
1
12 3
220 2 4 2 14
12 3
jj
L
m m m
C
m
L
R jx j
I E Z E jx e j . e
R jx j
= = − + = − + =
++
;
1
2 14 314 5
пр
i . sin( t )= +
;
59
2 1
2 14 12 12 3 2 09
jj
т пр т пр
L
I I R ( R jx ) . e ( j ) . e ;
−
= + = + =
2
2 09 314 9
пр
i . sin( t )= −
;
5 85
1
2 14 4 8 57
jj
пр
Cт пр
C
U I ( jx ) . e ( j ) . e
−
= − = − =
;
8 57 314 85
Спр
u . sin( t )= −
;
2
0 2 09 9 0 33
пр
i ( ) . sin( ) .+ = − = −
,
0 8 57 85 8 54
Спр
u ( ) . sin( ) .+ = − = −
.
Найдем свободные составляющие независимых начальных значений
[2]:
2 2 2
0 0 0 0 22 0 33 0 55
св пр
i ( ) i ( ) i ( ) . ( . ) .+ = + − + = − − =
;
0 0 0 6 96 8 54 1 58
С
Ссв Cпр
u ( ) u ( ) u ( ) . ( . ) .+ = + − + = − − − =
.
Найдем свободные составляющие зависимых начальных значений
(рисунок 1.13, в). Для этого составим необходимую систему уравнений и
рассмотрим её при
)(t += 0
[2]:
+=+
=+
+−=+
+++=+
),(Ri)(iL)(u
;R)(i)(u
);(i)(i)(i
свсвLсв
свСсв
свсвсв
000
00
000
32
3
321
( * )
откуда
1 2 3
0 0 0 0 55 0 13 0 42
cв св св
i ( ) i ( ) i ( ) . . .+ = + + + = − =
.
33
Запишем свободные составляющие в общем виде:
),tsin(Ceu
),tsin(Bei
),tsin(Aei
св
t
Cсв
св
t
св
св
t
св
3
22
11
+=
+=
+=
−
−
−
.Cсв
св
св
sinС)(u
;sinB)(i
;sinA)(i
3
22
11
0
0
0
=+
=+
=+
В данных трёх уравнения шесть неизвестных. Для получения полной
системы продифференцируем уравнения [2]:
);tsin(eA)tcos(Aei
cв
t
cвcв
t
св 111
+−+=
−−
);tsin(eB)tcos(Bei
cв
t
cвcв
t
cв
22
2
+−+=
−−
;
);tsin(eC)tcos(Ceu
св
t
свсв
t
Ссв 33
+−+=
−−
.sinCcosC)(u
;sinBcosB)(i
;sinAcosA)(i
свCсв
свсв
свсв
33
222
111
0
0
0
−=+
−=+
−=+
Для определения значений левых частей продифференцируем систему
уравнений ( * ) и рассмотрим ее при
)(t += 0
:
+
=+
+
−=+
+
++
=+
),(iR)(iL
;R)(i)(u
);(i)(i)(i
свсв
свCcв
свсвсв
00
00
000
32
3
321
Учитывая, что
dtduCi
C
=
1
, получим [2]:
6
1
0 0 0 42 796 10 527 64
Ccв св
u ( ) i ( ) С . .
−
+ = + = =
;
3
0 0 527 64 12 43 9
св Cсв
i ( ) u ( ) R . .
+ = − + = − = −
;
3
23
0 0 0 13 12 9 55 10 163 28
cв Cсв
i ' ( ) Ri ( ) L . . .
−
+ = + = − = −
;
34
1 2 3
0 0 0 163 28 43 97 207 25
св св св
i ( ) i ( ) i ( ) . . .
+ = + + + = − − = −
.
В результате получим следующие уравнения:
11
22
33
207 25 358 8 52 345
163 28 358 8 52 345
527 64 358 8 52 345
. . Acos . Asin ,
. . Bcos . Bsin ,
. . C cos . C sin ,
− = −
− = −
=−
1
2
3
0 42
0 55
1 58
. Asin ;
. B sin ;
. C sin .
=
=
=
Данные пары уравнений позволяют найти постоянные интегрирования
A, B, C и начальные фазы
1 ,
2 ,
3 . Нам нужно найти только ток
1
i
,
поэтому определим A и 1:
1
1
0 42
207 25 358 8 52 345
1
. Asin ;
. . Acos . Asin ,
=
− = −
откуда А = -0.636;
1
41 32.
= −
[2].
Окончательно получим:
52 345
1 1 1
2 14 314 5 0 636 358 8 41 32
.t
пр св
i i i . sin( t ) . sin( . t . )e
−
= + = + − −
.
График переходного тока и его составляющих показан на рисунке 1.14.
35
Рисунок 1.14. Переходный ток к примеру 9
Пример 10. К источнику постоянной ЭДС подключается RLC ветвь. R
=1000 Ом, L = 0.1 Гн, С = 0.110-6 Ф, Е =100 В [2].
Необходимо получить выражение для тока в ветви [2].
Найдём корни характеристического уравнения цепи и определим
характер переходного процесса. При заданных параметрах элементов цепи
корни одинаковые: р
1,2
=10000. Характер переходного процесса критический.
Принуждённый ток в ветви равен нулю. Решение для переходного тока имеет
вид:
pt
e)tAA()t(i
21
+=
. Для определения двух постоянных интегрирования
необходимо два уравнения. Второе уравнение получим, дифференцируя
решение [2]:
pt
e)ptAApA()t(i
221
++=
.
Найдём левые части уравнений при t = 0: i(0)= 0,
LE)(i =
0
. Второе
начальное значение найдено через напряжение на индуктивности [2].
Решая совместно полученные два уравнения при t = 0 получим А1= 0,
А
2
=1000. Выражение для тока примет вид:
t
te)t(i
10000
1000
−
=
.
36
Соответствующая зависимость, подтверждающая критический характер
переходного процесса, приведена на рисунке 1.15 [2].
Рисунок 1.15. Переходный ток к примеру 10
1.2 Операторный метод анализа переходных процессов
При операторном методе анализа динамических режимов функция
времени f(t), называемая оригиналом, с помощью преобразования Лапласа
замещается функцией F(p), называемой изображением. Уравнения для
изображений токов и напряжений составляются на основе законов Кирхгофа
для операторных схем замещения исследуемой цепи. Исследуемая
электрическая цепь должна быть линейной [2].
Следует помнить, что при переходе от оригиналов к изображениям
начало системы координат должно быть совмещено с моментом коммутации.
Это учитывается впоследствии соответствующим смещением решения [2].
В задачах с периодическими источниками операторным методом
находят только свободные составляющие переходных токов и напряжений
[2].
На схеме замещения переменные i(t), u(t) замещаются их
операторными изображениями I(p), U(p) [2]. Постоянные величины E , J
имеют изображения
pE
и
pJ
. Индуктивности замещаются
последовательным соединением операторного сопротивления pL и источника
0
2.5 10 4 5 10 4 7.5 10 4 0.001
0.02
0.04
i t (
)
t
.
37
внутренней ЭДС Li(0) [2]. Ёмкости замещаются последовательным
соединением операторного сопротивления
pC1
и источника внутренней
ЭДС
0
C
U ( )/ p
. Направление внутренней ЭДС Li(0) совпадает с
направлением тока i(t), а внутренняя ЭДС
0
C
U ( )/ p
направлена против тока
[2]. Изображения напряжений на индуктивностях и ёмкостях при ненулевых
начальных условиях определяются по следующим формулам [2]:
0
CC
U ( p ) I( p ) pC U ( ) p=+
;
0
L
U ( p ) pLI( p ) Li( )=−
. (1.6)
Если операторным методом ищутся свободные составляющие
переходных токов и напряжений, то внутренние ЭДС определяются также
через свободные составляющие начальных значений
0
св
Li ( )
и
0
Cсв
U ( )/ р
[2].
При наличии участков с индуктивно связанными цепями
целесообразно произвести развязку индуктивных связей, а потом заменить
оригиналы изображениями [2].
Последовательность расчета переходного процесса.
1. Составляем операторную схему замещения электрической цепи
после коммутации и записываем систему алгебраических уравнений
состояния цепи в операторной форме в соответствии с выбранным методом
анализа.
2. Решаем систему уравнений относительно изображений искомых
величин.
3. По найденным изображениям находим оригиналы с помощью
таблиц, связывающих оригиналы и изображения или с помощью теоремы
разложения.
Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид дроби F(p)
=
)()( pMpN
, причём степень N(p) относительно р ниже степени М(р), а
38
корни р в уравнении М(р)= 0 различны, то оригинал определяется по
следующей формуле теоремы разложения [2]:
f (t) =
=
n
k
)p(M
)p(N
k
k
1
tp
k
e
. (1.7)
Если уравнение
( )
0
K
Мp =
имеет пару комплексно-сопряжённых
корней
св,
p
−=
21
, то оригинал определяется по формуле:
f (t) = 2
1
1
N( p )
M ( p )
( )
t
св
e cos t
−
+
(1.8)
где
11
N( p ) M ( p )
=−
.
Существуют формулы и для случая кратных корней М(р)= 0 [2].
Если источник синусоидальный, то его изображение имеет достаточно
сложный вид, поэтому рекомендуется операторным методом определять
только свободные составляющие токов и напряжений, а принуждённые
составляющие искать с помощью символического (комплексного) метода [2].
Из приведённых ниже примеров видно, что постоянные
интегрирования определяются при переходе от изображений к оригиналам.
Это существенно упрощает решение задач высокого порядка [2].
Рассмотрим примеры расчета переходного процесса операторным
методом в электрической цепи первого порядка.
Пример 11. Параметры цепи (рисунок 1.1, а, пример 1) R1 = R2 = R3 = 50
Ом, С =100 мкФ, Е =150 В [2].
Необходимо рассчитать переходные токи
1
i
,
2
i
,
3
i
и переходное
напряжение
C
u
операторным методом [2].
39
Определим искомые токи и напряжение двумя способами [2].
Первый способ (ищутся переходные токи и напряжения):
Операторная схема замещения для определения переходных токов и
переходного напряжения на конденсаторе показана на рисунке 1.16, а.
Воспользуемся методом узловых потенциалов. В примере 1 было найдено,
что uС(0)=50 B, а u
Ccв
(0)= -25 В.
а) б)
Рисунок 1.16. Расчетная схема к примеру 11
2 2 3
1 0 1 1
C
ab C
E U ( )
U ( p ) U ( p ) pC pC
p R p R R
= = + + + =
)
)p(p)p,(pp
pp
366
105022505010100
50
1
50
1
10100
50
50
1150
−−−
++=++
+
.
Полученное выражение
)pp()p,()p(M)p(N 21050250150
23
++=
−
является рациональной дробью, следовательно, для нахождения оригинала
можно воспользоваться формулой разложения [2]:
uС (t) =
)p(M
)p(N
1
1
tp
e
1
+
)p(M
)p(N
2
2
tp
e
2
.
40
Найдём корни
( )
0
K
Мp =
.
3
2 50 10p( p )
−
+
= 0.
,0
1
=p
400
2
−=p
[2].
Производная
p)p(M
2
102
−
+=
.
Оригинал иab (t) = uС (t) =
tt
t
ee
e
,
400400
2
0
2575
400102
400250150
2
150
−−
−=
−
−
+
.
Найдём переходные токи.
502575150
400
1
)e(R)uE()t(i
t
ab
−
+−=−=
400
1 5 0 5
t
..e
−
=+
,
400 400
33
75 25 1 5 0 5
tt
ab
i ( t ) u R e . . e
−−
= = − = −
.
Второй способ (ищутся свободные составляющие переходных токов и
напряжений):
Свободные составляющие переходных токов и напряжения можно
определить отдельно, воспользовавшись схемой замещения (рисунок 1.16, б),
где u
Ccв
(0)= -25 В [2].
23
0 1 1
Cсв ab Cсв
u ( p ) u ( p ) ( pCu ( ) p ) ( R R pC )= = + + =
(
)
6 6 3
100 10 25 1 50 1 50 100 10 0 125 2 5 10( p p ) p . p N( p ) M( p )
− − −
− + + = − + =
.
Корень уравнения М (р)
01052
3
=+=
−
p
; p =
4001052
3
−=−
−
[2].
Производная
3
105
−
=)p(M
.
Оригинал свободной составляющей напряжения на конденсаторе:
u
Ccв
(t) =
tt
ee
,
400400
3
25
105
1250
−−
−
−=
−
[2].
Оригиналы свободных составляющих токов:
400 400
1 1 1
25 50 0 5
tt
св b a ab
i ( t ) ( ) R U R e . e
−−
= − = − = − =
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]