Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы, цепи с распределенными параметрами, электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
21
в результате получим [2]:
500 ,)(uB
Cсв
=+=
;
11
0 0 0 0125
св Cсв
A i ( ) u ( ) R .= + = − + = −
;
22
0 0 0 0156
св Cсв
C i ( ) u ( ) R .= + = + =
.
Запишем переходные токи и переходное напряжение на конденсаторе
[2].
2500
1 1 1
0 37 314 10 15 0 0125
t
пр св
i i i . sin( t ) . e
−
= + = + −
;
2500
2 2 2
0 2116 314 13 55 0 0156
t
пр св
i i i . sin( t ) . e
−
= + = − +
;
2500
10 8 314 13 55 0 5
t
cCпр Ccв
u u u . sin( t ) . e
−
= + = − +
.
График переходного напряжения на конденсаторе показан на рисунке
1.8 [2].
Рисунок 1.8. Переходные напряжения к примеру 4
Пример 5. Конденсатор, емкость которого С =100 мкФ, подключается
к источнику постоянного напряжения
U
через реостат с сопротивлением R
=10 Ом. Максимальное значение зависимости
)t(p
C
равно 250 Bт [2].
22
Необходимо рассчитать
i
t( )
,
)t(u
C
после коммутации; время, в
течение которого ток уменьшается до половины своего максимального
значения; количество энергии и заряд заряженного конденсатора; количество
энергии, преобразованной в тепло в процессе зарядки конденсатора [2].
Мгновенное значение мощности конденсатора определяется
выражением
iup
CC
=
. Так как при заряде конденсатора
)e(Uu
t
С
−
−= 1
, а
t
e)RU(i−=
, то
)ee()RU(p
tt
C
2−−
−=
,
где = RC = 1010010-6 = 10
-3
[2].
Максимальную скорость нарастания энергии конденсатора найдем из
условия
0 =dtpd
C
. Определим значение
t
e
−
, при котором
250=
C
p
( ) ( )
02
222
=+−=
−−
tt
C
eRUeRUdtpd
,
отсюда
05
t
e.
−
=
[2].
Найдем напряжение источника U из следующего равенства:
22
250 0 5 0 25 4( . . )U R U R= − =
,
U =100 В.
В результате получим переходные зависимости [2]:
t
e)t(i
1000
10
−
=
,
)e()t(u
t
C
1000
1100
−
−=
.
Время уменьшения тока в два раза [2]:
t
m
t
eIe)RU(i
−−
==
;
23
1
0 5
t
mm
I . I I e ;
−
==
33
1
10 2 0 693 10
m
t ln( I I ) ln .
−−
= = =
.
Количество энергии и заряд конденсатора:
2 6 4
0 5 0 5 100 10 10 0 5
C
W . CU . .
−
= = =
Дж.
6
100 100 10 0 01q CU .
−
= = =
Кл.
Количество энергии преобразованной в тепло [2]:
22
2 2 2 2 2
0
00
2 0 5 0 5
2
tt
R
UU
W i Rdt e dt e U RC R . CU .
RR
− −
= = = = − = = =
Дж.
CR
WW =
.
Зависимости изменения
)t(p),t(u),t(i
CC
показаны на рисунок 1.9.
Рисунок 1.9. Графики зависимостей тока, напряжения и мощности к примеру
5
Пример 6. К гармоническому источнику ЭДС e(t) = 100 sin(1000t+45°)
В момент времени tK = 0.004 с подключается RL ветвь. R =50 Ом, L = 0.05 Гн.
24
Необходимо получить выражение для тока в ветви [2].
Так как время коммутации не равно нулю, то общее выражение для
тока имеет вид [2]:
)tt(p
ïðK
K
Ae)t(i)tt()t(i
−
+−=1
.
Определим принуждённую составляющую тока.
2
250
100
45
45
===
j
j
m
ïðm
e
e
Z
E
I
,
)tsin()t(i
ïð
10002=
.
Корень характеристического уравнения р =10000. Определим
постоянную интегрирования А используя начальные значения в момент
коммутации [2]:
t = tK,
Asin += 420
, A=-1.07.
В результате получим следующее выражение для тока [2]:
( )
).t(
e.tsin).t()t(i
004010000
0711000200401
−
−−=
.
Множитель в виде смещённой единичной функции говорит о том, что
до коммутации ток равен нулю. Кроме этого, смещена свободная
составляющая переходного тока [2].
25
Рассмотрим примеры расчета переходного процесса классическим
методом в электрической цепи второго порядка.
Пример 7. Параметры цепи (рисунок 1.10, а) R =100 Ом, L = 4010
-3
Гн,
С = 510-6 Ф, E = 125 B [2].
Необходимо рассчитать неизвестные переходные токи и напряжение на
конденсаторе [2].
До коммутации
;)(i 00
1
=−
;)(i 00
2
=−
;)(i 00
3
=− 00 =−)(u
L
;
00 =−)(u
С
.
По законам коммутации
000
22
=−=+ )(i)(i
,
000 =−=+ )(u)(u
СС
.
Принужденные составляющие токов и напряжений после коммутации
12
125 100 1 25
пр пр
i i E R .= = = =
,
0
3
=
пр
i
,
0=
Lпр
u
;
0=
Cпр
u
.
а) б)
Рисунок 1.10. Расчетная схема к примеру 7
Определим свободные составляющие независимых начальных
значений [2]:
2 2 2
0 0 0 0 1 25 1 25
св пр
i ( ) i ( ) i ( ) . .+ = + − + = − = −
.
.000)0()0()0( =−=+−+=+
CпрсCcв
uuu
26
Определим корни характеристического уравнения:
( ) ( )
01 =++= pCpLpCpLR)p(Z
;
;LCRCpp 01
2
=++
2
0
222
21
14121
−−=−−= LCCRRCp
,
;
;
10
1051002
1
3
6
=
=
−
6
63
2
0
105
1051040
1
−
−−
=
=
.
p
1,2
= -
20001000 jj
св
−=
.
Составим систему уравнений для свободных составляющих (рисунок
1.10, б) [2]:
1 2 3
1 1 2
1
0
0
0
св св св
cв Lcв св св
св Ссв
i i i ;
Ri u Ri Ldi dt ;
Ri u .
− − =
+ = + =
+=
После подстановки известных значений при
)(t += 0
получим [2]:
000
1
=+−=+ R)(u)(i
Ccвcв
,
3 1 2
0 0 0 1 25
св св св
( ) ( ) ( ) .
i i i
+ = + − + =
,
00
1
0
2
=+−=
+=
)(i
L
R
dt
di
св
)(t
св
.
В связи с тем, что для каждой из свободных составляющих необходимо
определять две неизвестные постоянные интегрирования, составим вторую
систему уравнений, дифференцируя первую [2]:
=+
=−−
;
dt
du
dt
di
R
;
dt
di
dt
di
dt
di
Cсвсв
свсвсв
0
0
1
321
0
1
3
11
=+=+
св
свCсвсв
i
Cdt
di
R
dt
du
dt
di
R
.
27
После подстановки известных значений при
)(t += 0
получим:
3
1
3
6
0
1 1 25
0 2 5 10
100 5 10
св
св
t ( )
di .
i ( ) .
dt RC
−
=+
= − + = − = −
;
3
3 1 2
0 0 0
2 5 10
св св св
t ( ) t ( ) t ( )
di di di
.
dt dt dt
= + = + = +
= − = −
;
35
1
00
100 2 5 10 2 5 10
Cсв св
t ( ) t ( )
du di
R ( . ) .
dt dt
= + = +
= − = − − =
.
Выражения для свободных составляющих при двух комплексно-
сопряженных корнях имеют вид [2]:
);tsin(Aea
cв
t
cв
+=
−
sinA)(a
св
=+0
;
)tcos(eA)tsin(A
dt
da
cв
t
свcв
св
+++−=
−
;
cosAsinA
dt
da
cв
)(t
св
+−=
+= 0
.
Для переходных токов и напряжения на конденсаторе получим:
,,sinA
,sinA
251
0
22
11
−=
=
33
1 1 1 1
3
2 2 2 2
2 10 2 5 10
2 10 0
( A sin A cos ) . ;
( A sin A cos ) ;
− + =
− + =
,sinA
,,sinA
0
251
44
33
=
=
33
3 3 3 3
33
4 4 4 4
2 10 2 5 10
2 10 2 5 10
( A sin A cos ) . ;
( A sin A cos ) . .
− + = −
− + =
Из соответствующих пар уравнений найдем постоянные
интегрирования [2]:
A1 = -1.25; A2 = -1.4; A3= -1.4; A4 =125;
1
= 0;
2
=
63 5.
;
3
=
63 5.−
;
4
= 0.
28
Решения для переходных токов и напряжения на конденсаторе имеют
вид:
1000
1
1 25 1 25 2000
t
i . . e sin t
−
=−
;
1000
2
1 25 1 4 2000 63 5
t
i . . e sin( t . )
−
= − +
;
1000
3
1 4 2000 63 5
t
i . e sin( t . )
−
= − −
;
tsineu
t
c
1000
125
−
=
.
Соответствующий график изменения тока
1
i
показан на рисунке 1.11
[2].
Рисунок 1.11. Переходный ток к примеру 7
Пример 8. Параметры цепи (рис 1.10, а) R = 250 Ом, L = 66710-3 Гн, С
= 210-6 Ф, E =125 B.
Необходимо рассчитать неизвестные переходные токи и напряжение на
конденсаторе [2].
До коммутации
;)(i 00
1
=−
;)(i)(i 000
22
=+=−
;)(i 00
3
=−
000 =+=− )(u)(u
СС
.
По законам коммутации
;)(i)(i 000
22
=−=+
000 =−=+ )(u)(u
СС
.
Принужденные составляющие токов и напряжения [2]:
29
12
125 250 0 5
пр пр
i i E R .= = = =
;
0
3
=
пр
i
;
0==
CпрLпр
uu
.
Свободные составляющие независимых начальных значений:
2 2 2
0 0 0 0 0 5 0 5
св пр
i ( ) i ( ) i ( ) . .+ = + − + = − = −
;
.)(u)(u)(u
СпрСCcв
000000 =−=+−+=+
Корни характеристического уравнения:
−=−−=
−622
21
1022502114121 LCCRRCp
,
( )
500100010210667110225021
63
2
6
−=−
−−−
,
p1 = -500, p2 = -1500 [2].
Системы уравнений для свободных составляющих имеют такой же вид,
как и в примере 6. Решение систем уравнений дает следующие результаты
[2]:
;)(i
св
00
1
=+
2
0 0 5
св
i ( ) . ;+ = −
3
0 0 5
св
i ( ) . ;+=
;)(u
Ссв
00 =+
10000
1
−=+
)(i
св
;
00
2
=+
)(i
св
;
10000
3
−=+
)(i
св
;
5
0 2 5 10
Ссв
u ( ) .
+ =
.
Выражения для свободных составляющих при двух действительных и
разных корнях имеют вид [2]:
PtPt
св
eAeAa
21
+=
;
21
0 AA)(a
св
+=+
.
PtPt
св
eApeApa
2211
+=
;
2211
0 ApAp)(a
cв
+=+
.
В результате получим пары уравнений:
30
12
34
56
78
0
05
05
0
A A ,
A A . ,
A A . ,
A A ,
+=
+ = −
+=
+=
12
34
56
78
32
30
32
3 500
A A ;
A A ;
A A ;
A A ,
+=
+=
+=
+ = −
совместные решения которых дают постоянные интегрирования:
A1= -1; A2 =1; A3 = - 0.75; A4= 0.25; A5= - 0.25; A6= 0.75; A7 = 250; A8 = -
250 [2].
Окончательно получим [2]:
500 1500
1
05
tt
i ( t ) . e e
−−
= − +
;
500 1500
2
0 5 0 75 0 25
tt
i (t ) . . e . e
−−
= − +
;
500 1500
3
0 25 0 75
tt
i ( t ) . e . e
−−
= − +
;
tt
C
ee)t(u
1500500
250250
−−
−=
.
Соответствующий график изменения напряжения на конденсаторе
показан на рисунке 1.12 [2].
Рисунок 1.12. Переходные напряжения к примеру 8
Пример 9. Параметры цепи (рисунок 1.13, а) R =12 Ом, L = 9.55 мГн, С
= 796 мкФ,
tsin)t(e 3142202 =
[2].
Необходимо определить переходный ток
1
i
t( )
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]