Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы, цепи с распределенными параметрами, электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
11
Найдём начальное значение свободной составляющей напряжения на
конденсаторе для момента t(0+):
u
Cсв
(0+) = uС(0+) - u
Cпр
(0+)=50 -75= -25 [2] .
Найдем корни характеристического уравнения, для чего определим
входное сопротивление в послекоммутационной схеме относительно ветви с
конденсатором (рисунок 1.1, б) [2]:
Z =
;)RR(RRCj
3232
1 ++
;)RR(RRpC)p(Z 01
3232
=++=
p =
400
3232
−=+− CRR)RR(
.
Свободные составляющие при одном корне имеют вид:
pt
cв
Aei =
1
,
2
pt
cв
i Be=
,
pt
cв
Cei =
3
,
.Dei
pt
cв
=
4
Постоянные интегрирования А, В, С, D могут быть определены двумя
способами [2].
Первый способ:
Находим начальные значения переходных токов и напряжений для
после коммутационной схемы (рисунок 1.1, а), после чего определяем
начальные значения свободных составляющих [2].
По законам Кирхгофа:
=+−+
=+++
=+−+−+
, 000
00
0000
33
12
321
)(iR)(u
E)(u)(iR
)(i)(i)(i
C
C
12
Откуда:
;R)(u)(i
C
1505000
33
==+=+
;)(R)(uE)(i
C
2505015000
11
=−=+−−=+
.)(i)(i)(i 112000
312
=−=+−+=+
Значения свободных составляющих при t = (0+):
11
0 0 0 2 1 5 0 5
cв пр
i ( ) i ( ) i ( ) . . ;+ = + − + = − =
2 2 2
0 0 0 1 0 1
св пр
i ( ) i ( ) i ( ) ;+ = + − + = − =
3 3 3
0 0 0 1 1 5 0 5
св пр
i ( ) i ( ) i ( ) . . .+ = + − + = − = −
Второй способ:
Находим начальные значения свободных составляющих токов и
напряжений для схемы (рисунок 1.1, б), из которой исключен источник
принужденного режима.
По законам Кирхгофа:
=+−+
=+++
=+−+−+
, 000
000
0000
33
12
321
)(iR)(u
;)(u)(iR
;)(i)(i)(i
свСсв
Ссвсв
свсвсв
Откуда:
11
0 0 25 50 0 5
св Cсв
i ( ) u ( ) R . ;+ = − + = =
33
0 0 25 50 0 5
св Cсв
i ( ) u ( ) R . ;+ = + = − = −
2 1 3
0 0 0 0 5 0 5 1
св св св
i ( ) i ( ) i ( ) . . .+ = + − + = + =
Второй способ оказался более коротким [2].
13
Определим постоянные интегрирования:
1
0 0 5
св
А i ( ) .= + =
;
10
2
=+= )(iB
св
;
3
0 0 5
св
C i ( ) .= + = −
;
.)(uD
Ссв
250 −=+=
Переходные токи и напряжение после коммутации равны суммам
принужденных и свободных составляющих (рисунок 1.2):
400
1
400
3
1 5 0 5
1 5 0 5
t
t
i . . e ;
i . . e ;
−
−
=+
=−
.eu
;ei
t
С
t
400
400
2
2575
−
−
−=
=
Рисунок 1.2. Переходные токи и напряжение после коммутации к примеру 1
Пример 2 [2]. Параметры цепи (рисунок 1.3, а) R2 = R3 = 2 Oм, L = 1
мГн, Е =12 В.
Необходимо рассчитать переходные токи и переходное напряжение на
индуктивности [2].
14
а) б)
Рисунок 1.3. Расчетная схема к примеру 2
До коммутации:
,)(i 00
1
=−
,)(i 00
2
=−
,)(i 00
3
=−
.)(u
L
00 =−
В момент коммутации ток:
000
22
=+=− )(i)(i
.
Определим значения принужденных составляющих токов и
напряжений для t(0+):
;)(RR)RR(E)(i
пр
122222120
32321
=+=+=+
2 3 1
0 0 0 5 0 6
пр пр пр
i ( ) i ( ) . i ( ) .+ = + = + =
Значение свободной составляющей тока через индуктивность в момент
t(0+):
.)(i)(i)(i
прсв
660000
222
−=−=+−+=+
Характеристическое сопротивление цепи относительно ветви с
индуктивностью:
Z(p) = pL+R2 = 0;
.LRp 2000102
3
2
−=−=−=
−
Система уравнений для свободных составляющих (рисунок 1.3, б):
15
=+
=+++
=+−+−+
00
000
0000
33
22
321
,)(iR
;)(u)(iR
;)(i)(i)(i
св
Lсвсв
свсвсв
Откуда:
;)(
i
св
00
3
=+
;)()(
ii
свсв
600
21
−=+=+
122600
22
==+−=+ )(iR)(u
свLсв
.
Свободные составляющие имеют вид:
.Deu;Cei;Bei;Aei
t
Lсв
t
св
t
св
t
св
pppp
====
321
Найдём постоянные интегрирования:
;)(А
i
св
60
1
−=+=
;)(B
i
ыс
60
2
−=+=
;)(С
i
св003
=+=
.)(uD
Lсв
120 =+=
Запишем переходные токи и переходное напряжение на
индуктивности:
);e(ei
ptpt
−=−= 26612
1
);e(ei
ptpt
−=−= 1666
2
;i 606
3
=−=
.eeu
ptpt
L
=+= 12120
Соответствующие кривые приведены на рисунке 1.4 [2].
16
Рисунок 1.4. Переходные токи и напряжения после коммутации к примеру 2
Пример 3. Параметры цепи (рисунок 1.5, а) J = 12 A, R2 = R3 = 2 Ом, L =
1 мГн [2].
Необходимо рассчитать переходные токи и переходное напряжение на
индуктивности.
а) б)
Рисунок 1.5. Расчетная схема к примеру 3
До коммутации
1
0i ( ) J;−=
;)(i 00
2
=−
;)(i 00
3
=−
.)(u
L
00 =−
После коммутации
;)(i)(i 000
22
=−=+
;J)(i =+0
1
.J)(i =+0
3
В принужденном режиме ток источника тока J разделяется по
параллельным ветвям:
;J)(i
пр
120
1
==+
;)RR(RJ)(i
пр
60
3232
=+=+
17
;)RR(RJ)(
i
пр
60
322
3
=+=+
;)(u
Lпр
00 =+
Начальное значение свободной составляющей второго тока:
.)(i)(i)(i
прсв
660000
222
−=−=+−+=+
Остальные значения свободных составляющих при t = (0+) найдем
двумя способами [2].
Первый способ:
Для схемы (рисунок 1.5, а) составим систему уравнений:
=+−+++
=+−+−+
, 0000
0000
3322
321
)(iR)(u)(iR
;)(i)(i)(i
L
Откуда
;JJ)()()(
iii
прсв
0000
111
=−=+−+=+
.)()()(
;)()()(
uuu
iii
LпрLLсв
прcв
24024000
6612000
333
=−=+−+=+
=−=+−+=+
Второй способ:
В ветви с источником тока переходной процесс возникнуть не может,
поэтому
001=+)(i
св
[2].
Составим систему уравнений для свободных составляющих по схеме
(рисунок 1.5, б):
=+−+++
+=+
, 0000
00
3322
32
)(iR)(u)(iR
);(i)(i
свLcвсв
свсв
18
Откуда:
;)(i
св
60
3
=+
.)(iR)(iR)(u
свсвLсв
242626000
2233
=+=+−+=+
Составим характеристическое уравнение цепи относительно ветви с
индуктивностью (ветвь с источником тока разрываем из-за бесконечного
внутреннего сопротивления) и найдём корень:
Z(p) = pL + R2 + R3 = 0 ;
.)(L)RR(p 40001022
3
32
−=+−=+−=
−
Выражения для свободных составляющих токов и напряжения на
индуктивности имеют вид [2]:
;Aei
pt
св
=
1
;Bei
pt
св
=
2
;Cei
pt
св
=
3
pt
Lсв
Deu =
,
где:
;)(iА
св
00
1
=+=
;)(iB
св
60
2
−=+=
;)(iC
св
60
3
=+=
00 =+= )(uD
Lсв
.
Запишем переходные токи и переходное напряжение на
индуктивности:
);e(
;
pt
свпр
свпр
iii
iii
+=+=
=−=+=
16
12012
333
111
;ee
),e(e
ptpt
LсвLпрL
ptpt
свпр
uuu
iii
24240
1666
222
=+=+=
−=−=+=
Соответствующие переходные кривые приведены на рисунке 1.6 [2].
19
Рисунок 1.6. Переходные токи и напряжения после коммутации к примеру 3
Пример 4. Параметры цепи (рисунок 1.7, а) R1 = 40 Oм, R2 = 32 Oм, С =
22 мкФ, e = 25sin314t.
Необходимо рассчитать переходные токи и переходное напряжение на
конденсаторе [2].
а) б)
Рисунок 1.7. Расчетная схема к примеру 4
До коммутации:
6 25
2
1
1
2
70 8 32
2 25 80 0 233
32 70 8
j
C
m
m
C
X R .
I E R j j . e ;
R jX j ,
= − = − =
−−
1
0 233 314 6 25i . sin( t )
= −
;
6 25 17 55
1
1
2 25 2 40 0 233 6 77
jj
mm
Cm
U E R I . e . e
−
= − = − =
;
6 77 314 17 55 0 0 6 77 17 55 2 1
С C C
u . sin( t ); u ( ) u ( ) . sin . .
= − − = + = − = −
20
Составим характеристическое уравнение цепи относительно ветви с
конденсатором и найдём корень.
01
2121
=++= )RR(RRpC)p(Z
;
6
1 2 1 2
40 32 40 32 22 5 10 2500p ( R R ) CR R ( ) .
−
= − + = − + = −
.
Найдём принужденные составляющие первого тока и напряжения на
конденсаторе после коммутации [2].
10 15
2
1
1
2
70 8 32
25 40 0 37
32 70 8
j
C
m пр
m
C
X R .
I E R j j . e
R jX j .
= − = − =
−−
;
1
0 37 314 10 15
пр
i . sin( t );
= +
10 15 13 55
1
1
25 40 0 37 10 8
jj
m т пр
Cm пр
U E R I . e . e
−
= − = − =
.
10 8 314 13 55
С пр
u . sin( t );
= −
0 10 8 13 55 2 6
С пр
u ( ) . sin . ;
+ = − = −
2 2
0 2116 314 13 55
'
пр C пр
i u R . sin( t );= = −
0 0 0 2 1 2 6 0 5
Ссв C Cпр
u ( ) u ( ) u ( ) . . .+ = + − + = − + =
.
Выражения для свободных составляющих имеют вид:
pt
св
Aei =
1
,
pt
Cсв
u Be ,=
2
pt
св
i Ce .=
Определим постоянные интегрирования с помощью схемы (рисунок
1.7, б).
=+−+
=+++
,)(u)(iR
;)(iR)(iR
Cсвсв
свсв
000
000
22
2211
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]