Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Практикум
.pdf
11
7. Если абсолютно жесткий невесомый прямолинейный стержень,
концы которого соединены шарнирами с другими частями конструкции,
находится в равновесии под действием сил, приложенных но его концам,
то следует реакции направить вдоль стержня.
Действительно, если к стержню со стороны других частей кон-
струкции приложены силы в каждом из его концов, т. е. а шарнирах, то
после сложения сил оказывается, что в каждом шарниров приложено по
одной силе. В результате стержень находится и равновесии под действием
двух сил, приложенных в шарнирах. Согласно второму закону эти силы
по модулю равны и направлены в противоположные стороны по обшей
линии действия, т. е. вдоль стержня. При этом стержень подвергается
растяжению силами F1 и F’1 (рис. 1.13, а) либо сжатию силами F2 и F’2
(рис. 1.13,6), причем F’1,=- F1 и F2 = F’2. Если стержень подвержен
растяжению, то реакции стержня T1 и Т’1 приложенные к шарнирам, на
основании закона равенства действия и противодействия направлены
вдоль стержня друг к другу (рис. 1.13,а).
Если стержень подвержен сжатию, то реакции стержня S1 и S’2,
приложенные к шарнирам, направлены вдоль стержня друг от друга (рис.
1.13, б). Следовательно
F1 = - T1 и F1 = - T’1 (рис. 1.13, а), а также
F2 = - S2 и F2 = - S’2
Рисунок 1.13
(рис 1.13, б). Так как F’1 = - F1 и F’2 = - F2,
то получим:
T’1 = - T1 и S’2 = - S2
Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от
взаимного расположения приложенных к телу сил, рекомендуется
проводить в следующем порядке:
а) выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть
для отыскания неизвестных величин;
12
изобразить активные силы;
если твердое тело несвободно, то, применив закон освобождаемости
от связей, приложить к нему соответствующие реакций связей;
рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела, как
тела свободного, находящегося под действием активных сил и /реакций
связей;
б) использовать необходимые и достаточные условия (уравнения)
равновесия в соответствии со взаимным расположением сил, приложенных к твердому телу, и определить искомые величины.
2. Система сходящихся сил
1. Равновесие твердого тела, к которому приложена система
сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия
которых пересекаются в одной точке. После переноса всех сил по их
линиям действия в эту точку получается эквивалентная система сил,
приложенных в одной точке.
Равнодействующая R системы сил, приложенных в одной точке,
приложена в той же точке и изображается замыкающей стороной
силового многоугольника построенного на слагаемых силах, то есть
равнодействующая R равна векторной сумме слагаемых сил.
При построении суммы векторов (рис. 2.1) надо к концу первого
слагаемого вектора F1 приложить вектор F’2 равный второму слагаемому
вектору F’ к концу второго слагаемого вектора К присоединить вектор
F’3 равный третьему слагаемому вектору F3 и т. д. Суммой векторов R
является замыкающий вектор, начало которого совмещено с началом
первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего слагаемого
вектора. Если векторы изображают силы, то многоугольник OABCD,
построенный на рисунке для четырех слагаемых сил, называется
силовым, а его замыкающая сторона OD является равнодействующей R.
Рисунок 2.1
13
Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершены
силового многоугольника оказываются лежащими на одной прямой.
Равнодействующая R этой системы сил лежит на той же прямой. На рис.
2.2 изображена равнодействующая четырех сил F1, F2, F3 и F4 лежащих
на одной прямой. (Для ясности изображения линии действия сил
несколько смещены друг относительно друга.)
Рисунок 2.2
Для равновесия твердого тела, к которому приложена система
сходящих сил, необходимо и достаточно, что бы векторная сумма этих
сил равнялась нулю: R=0, т. е. чтобы силовой многоугольник был
замкнут. Это значит, что конец вектора последней слагаемой силы должен
совместиться с началом вектора первой слагаемой силы. Из рис. 2.3
изображен замкнутый силовой многоугольник, построенный на пяти
слагаемых силах.
В случае равновесна твердого тела, к которому приложены силы,
лежащие на одной прямой, вершины замкнутого силового много-
угольника оказываются лежащими на прямой, вдоль которой в обоих
направлениях отложены слагаемые силы, векторная сумма которых равна
нулю (рис. 2.4).
Рисунок 2.3 Рисунок 2.4
При решении задач на равновесие твердого тела, к которому
приложена плоская система сходящихся сил, надо выполнить четыре
первых пункта, указанных в начале.
14
Затем:
а) построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо
начинать с силы, известной как по модулю, так и по направлению);
в) решив силовой многоугольник, определить искомые величины.
Если число активных сил и реакций связей, приложенных к твердому
телу, находящемуся в равновесии, равно трем, то задача сводится к
построению и решению силового треугольника.
2. Теорема о трех непараллельных силах. Если твердое тело
находится в равновесии под действием трех непараллельных сил,
лежащих в одной плоскости, то линия действия т этих сил пересекаются в
одной точке (рис. 2.5).
Следует иметь в виду, что пересечение линий действия трех непа-
раллельных сил в одной точке является лишь необходимым условием для
равновесия твердого тела. Пересечение линий действия трех сил в одной
точке не является достаточным условием, так как равнодействующая этих
сил может сказаться не равной нулю. Следовательно, достаточным
условием является наличие замкнутого силового треугольника при
одновременном пересечении линий действия трех сил в одной точке.
Рисунок 2.5
Теорема о трех непараллельных силах значительно облегчает
решение задач на равновесие твердого тела и тех случаях, когда
направление, одной, из трех уравновешивающихся сил неизвестно. Дей-
ствительно, определив точку пересечения линий действия двух сил,
направления которых известны, можно указать направление линии дей-
ствия третьей силы, так как она должна пройти через точку приложения
этой силы и точку пересечения лилий действия первых двух сил.
3. Метод проекций. Ортогональная проекция силы на ось, подобно
проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на
косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлением проектируемой силы (рис. 2.6):
прх. F=ab=F cos (х, ^F).
Проекция силы на ось является алгебраической величиной. Если
угол между положительным направлением оси проекций и вектором
15
заключен в пределах oт 270° до 360˚ либо oт 270° до 380˚, то проекция
силы на ось положительна. Если же он лежат в пределах от 9.0° до 270˚,
то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна к оси,
то проекция силы на ось равна нулю. По этому способу определяются
ортогональные проекция силы на координатные оси х и у (рис. 2.7)
прхF = ab = F cos (x,^F),
прyF = a1b1 = F cos (y,^F).
Рисунок 2.6
Впредь для краткости будем обозначать:
при F = Fx, при F=Fy
либо
при F = Х, при F=У.
Следовательно,
Fx = Х = F cos (x,^F),
Fy = У = F cos (y,^F).
С помощью этих формул, зная модуль и направление силы, можно
определить ее проекции на оси ортогональных декартовых координат.
В случае решения обратной задачи, т. е. при определения модуля и
направления силы по заданным проекциям на оси декартовых координат,
вычисление, ведется по формулам:
(модуль силы), (2)
(направляющие косинусы) (3)
Нельзя отождествлять понятия проекции силы и ее составляющей.
На рис. 2.8 изображена сила F, разложенная на дне составляющие силы F1
и F2, направленные параллельно соответствующим осям координат, т, е.
F=»F1+F2. Составляющая силы является вектором, который можно
представить в виде произведения проекции силы на орт (единичный
вектор) соответствующей оси, т, е.
F1 = Fxi = Xi, F2 = Fyj = Yj
Следовательно, разложение силы па составляющие можно записать
16
в виде F = Fxi + Fyj = Xi + Yj.
Рисунок 2.7 Рисунок 2.8
Орты осей координат всегда направлены и положительных
направлениях соответствующих осей. Знак проекция силы определяет
направление ее составляющей, т. е. если проекция силы положительна, та
направление составляющей силы совпадает с положительным направ-
лением соответствующей оси, если же проекция силы отрицательна, то
направление составляющей силы противоположно положительному
направлению соответствующей оси.
Переходим к определению равнодействующей плоской системы
сходящихся сил методом проекций. Пусть даны силы F1, F2, ….,Fn. В
плоскости действия сил построена система осей декартовых координат
ху. Разложения данных сил по ортам этих осей координат имеют вид
F1 = F1xi + F1yj, F2 = F2xi + F2yj,…, Fn = Fnxi + Fnyj.
Разложение равнодействующей плоской системы сходящихся сил
по ортам этих осей координат дается формулой: R = Rxi+Ryj, где Rx и Ry
проекции равнодействующей на соответствующие оси. Проекции
равнодействующей на оси декартовых координат равны алгебраическая
суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси
(4)
Определив по этим формулам проекции равнодействующей, можно
вычислить ее модуль
R = (5)
и направляющие косинусы
, , (6)
17
Сравнения равно веси я твердого тела яри наличии плоской системы
сходящихся сил. Для равновесия твердого тела, к которому приложена
система сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы
проекций всех сил системы на оси декартовых координат равнялись
нулю:
(7)
или, в более краткой записи,
(7)
Задача называется статически определенной, если число неизве-
стных равно числу независимых уравнений равновесия. Если же число
неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача
называется статически неопределенной. В последнем случае одними
уравнения ми статики задача не может быть решена. Для ее решения
следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например
сопротивлением материалов.
Задача на равновесие твердого тела под действием плоской системы
сходящихся сил является статически определенной, если число
алгебраических неизвестных не более двух. Так, если известны на-
правления всех слагаемых сил и модули всех сил, кроме двух, то можно
определять неизвестные модули двух сил. Если одна из сил не известна
ни по величине, ни по направлению, то все остальные слагаемые силы
должны быть заданы.
Преимущества аналитического метода проекций по сравнению с
геометрическим методом силового многоугольника, особенно заметки в
задачах на равновесие твердого тела при наличии более трех сходящихся
сил. Действительно, решение силового четырех-, пяти- и n-угольника
представляет известные трудности, в то время как решение задача
методом проекции лишь незначительно усложняется при увеличении
числа проектируемых сил.
При решении методом проекции задач на равновесие твердого тела,
находящегося под действием плоской системы сходящихся сил, надо
выполнить четыре первых пункта, указа и пых в начале. Затем:
убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных и не более двух;
выбрать в плоскости действия сил систему осей декартовых
координат ху;
составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на
оси декартовых координат (7*);
18
решить систему составленных уравнений равновесия и
определить искомые величины; если величина какой-либо из неизвестных
сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы
противоположно тому, которое было указано на рисунке.
Если по условию задачи требуется определить равнодействующую,
то после выполнения первых четырех пунктов решения задачи надо
вычислить проекции равнодействующей Rх и Ry по формулам (4), затем
определить модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы по
формулам (5) и (6).
При выборе осей декартовых координат целесообразно их направить так, чтобы они были параллельны либо перпендикулярны
большинству слагаемых сил.
При определении проекции силы па ось можно пользоваться сле-
дующим приемом: вычислить модуль проекции силы как произведение
модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и
прямой, лежащей на оси проекций. Для определения знака проекции силы
надо смотреть па проектируемую силу и ось проекции так, чтобы
плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Вели при
этом направления силы и оси совпадают, то проекция силы
положительна, если же направления силы и оси противоположны, то
проекций силы отрицательна.
Например, проекции на ось х сил F1 и F2 изображенных на рис. 2.9,
а, положительны, и можно сразу записать:
Рисунок 2.9
F1х = F1 cos а1, F2x = F2cos a2,
вместо того чтобы производить вычисления
F2x = F2cos(360˚- a2) = F2cos a2
Проекции же сил Fa, и Fб, показанных на рисунке 2.9,б,
отрицательны, так как непосредственно ясно, что
F3х = — F3 cos a3, F4x = — F4 coos a4
19
Сложнее было бы вычислить проекции формально:
F3x, = F3 cos (180° + а3) = — F3 cos a3,
F4x, = F4 cos (180° + а4) = — F4 cos a4,
4˚. Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с
одной неподвижной точкой. Момент силы F относительно точки О,
который записывается в виде m0 (F), для плоской системы сил равен по
абсолютной величине произведению модуля силы F на расстояние h от
точки О до линии действия силы F, называемое плечом.
Если сила F стремится повернуть тело вокруг точки О против
часовой стрелки, то момент силы положителен, если же в направлении
часовой стрелки, то отрицателен.
(В дальнейшем вместо: «сила стремится повернуть тело вокруг
точки О …», будем говорить; «сила видна направленной вокруг точки
О»). Например (рис. 2.10), m0(F1)=F1h1, m0(F2)= - F2h2
Размерность момента силы в технической системе единиц — кГм, а
в системе CИ-н· м = дж (джоуль), причем 1 кГм = 9,81 дж.
Следует помнить, что плечо h является отрезком перпендикуляра,
опущенного из точки на линию действие силы. Иногда ошибочно в
качестве плеча изображают отрезок, соединяющий точку, относительно
которой вычисляется момент, с точкой приложения силы.
Момент силы относительно точки равно нулю, если линия
действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно
нулю.
Например: m0(F3) = 0 (рис. 2.10).
Рисунок 2.10
Теорема Вариньона для системы сходящихся сил (теорема о
моменте равнодействующей): момент относительно точки
равнодействующей R системы сходящихся сил F1, F2 … Fn, расположен-
20
ных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов
слагаемых сил относительно той же точки:
(8)
Здесь
.
Удобство применений теоремы Вариньона заключается в том, что,
минуя непосредственное определение равнодействующей, можно
вычислить ее момент относительно точки, зная моменты всех слагаемых
сил относительно той же точки.
Выражение момента силы F относительно точки А через проекции
силы на оси декартовых координат имеет вид
М= Fx a ; М= Fy b (9)
где Fx и Fy — проекция силы F на оса декартовых координат, х и у
— координаты точки В приложений силы F,a и b — координаты точки А
(рис. 2.11).
Этой формулой рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда
определение величины плеча h связано с вычислительными трудностями.
В частности, если момент силы F определяется относительно начала
координат О, т. е. a=b=0, то формула принимает вид
М=0 (10)
где Fx и Fy — проекции силы на F оси декартовых координат, x и у
— координаты топки приложении силы F.
Рисунок 2.11
Перейдем к рассмотрению задач на равновесие твердого тела с
одной неподвижной точкой. Если единственной связью, наложенной на
твердое тело, находящееся в равновесии, является неподвижная точка
(например, шарнир), то ее реакция должна уравновешиваться с
равнодействующей всех активных сил. Следовательно, при равновесии
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]