Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Табличный процессор MS Excel. Учебное пособие.pdf
−
a
12
x
1
x
a
11
x
2
a
13
x
11
3
3
x
K
3
K
2
a
)1(
a
23
)1(
a
22
x
K
a
a
33
a
n
x
a
11
)1(
a
n2
x
n
)1(
a
22
)2(
n3
x
=++
n
)2(
b
1
a
2
22
)2(
)2(
;
11
)1(
;
)1(
;
(9)
=++++
n
b
=+++
a
b
3
a
33
KKKKKKKKKKKKKK
a
nn
x
b
=
n
)1n(
−
)1n(
−
n
,
из которой следует определение
)1(
n
b
n
=
x (10)
n
a
n
nn
)1(
−
и далее обратным ходом - вычисление значений неизвестных по формуле:
⎛
⎜
= (11)
x −=
b
⎜
i
⎝
Решение системы (12) методом Гаусса представлено на рис. 50.
Последовательность действий следующая.
Прямой ход:
1. В диапазон A2:C4 ввести коэффициенты системы, стоящие при неиз-
вестных.
2. В диапазон
3. Диапазон
D2:D4 ввести свободные члены системы.
A2:D2 скопировать в диапазон A6:D6.
4. Выделить диапазон
$A$2:$D$2*A3/$A$2}
<
Ctrl>+<Shift>+<Enter>.
, завершив ввод одновременным нажатием клавиш
−
)1i(
i
n
−
∑
+=
⎧
x5
⎪
⎪
x
⎨
1
−
a
ij
1ij
x
1
2
x5
2
⎞
)1i(
x
x
x
1
⎟
⎟
j
−
⎠
3
3
)1i(
a
ii
;10
=−+
;2
(12)
=++
.1,1ni;
⎪
⎪
1
⎩
2
x
x
x3
3
.16
=+−
A7:D7 и ввести в него формулу {=A3:D3-
61
5. Выделить диапазон A7:D7 и скопировать его через маркер заполнения
на строку
6. Выделить диапазон
7. Выделить ячейку
A8:D8.
A6:D7 и скопировать содержимое в буфер обмена.
А10.
Рис. 50. Реализация метода Гаусса в MS Excel
8. Выполнить команду
альная вставка
нажатия кнопки
(рис. 51) в поле Вставить включить флажок значения. После
ОК из диапазона A6:D7 в диапазон A10:D11 будут скопирова-
Правка - Специальная вставка. В окне Специ-
ны только значения, а не формулы.
Рис. 51. Диалоговое окно Специальная вставка
62
9. Выделить диапазон A12:D12.
10. Ввести в него следующую формулу
шив ввод одновременным нажатием клавиш
Обратный ход:
1. Выделить диапазон F8:I8.
2. Ввести в него следующую формулу
одновременным нажатием клавиш
3. Выделить диапазон
F7:I7.
4. Ввести в него формулу
одновременным нажатием клавиш
5. Выделить диапазон
F6:I6.
6. Ввести в него формулу
ввод одновременным нажатием клавиш
В результате в диапазоне
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>.
{=(A11:D11-F8:I8*C11/B11}, завершив ввод
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>.
{=(A10:D10-F7:I7-F8:I8*C10/A10}, завершив
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>.
I6:I8 получаем следующее решение системы.
3
⎛
⎜
⎜
−=41
X (13)
⎜
⎝
{=A8:D8-A7:D7*B8/B7}, завер-
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>.
{=A12:D12/C12}, завершив ввод
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
21.2. Метод простой итерации
Представим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в виде:
a
⎧
11
⎪
a
⎪
21
⎨
⎪
⎪
a
⎩
Для решения СЛАУ итерационным методом необходимо преобразовать
ее к равносильному виду:
x
1
x
2
=+++
x
1
x
1
a
12
22
2
x
2
x
a
K
K
a
n
n1
x
a
n
n2
x
LLLLLLLLLLLL
x
x
1
1n
b
1
a
11
b
2
a
22
2
2n
a
12
x
11
a
a
21
22
2
x
a
x
a
K
1
L
L
a
nn
−−−=
n
a
n1
a
11
a
−−−=
a
22
;1b
=+++
;
b
2
(14)
=+++
.nb
;
x
n
n2
;
x
n
(15)
LLLLLLLLLLL
L
a
1nn
−
nn
x
.1n
−
−−−=
a
b
x
n
a
nn
a
n
1n
x
nn
1
63
a
+
В сокращенной записи система представится в виде:
Тогда, задаваясь начальным набором , рассчитываем первое и
последующие
b
x
i
i
a
ii
n
∑
=
≠
a
ij
a
1j
ii
ij
k-е приближения по формуле:
=−= (16)
.
n,1i;jx
K
0
,,
xx
n
0
1
⎛
⎜
+
x =
i
b
⎜
a
⎜
ii
⎜
1
)1k(
n
∑
=
a
ij
1j
−=
i
⎜
ij
⎝
≠
⎞
⎟
⎟
)k(
x
⎟
j
⎟
,n,1i;
(17)
⎟
⎠
до выполнения условия точности для всех переменных .
,,
K
xx
1
n
x <−
i
)1k(
)k(
x
i
e
(18)
Достаточными условиями сходимости данного метода являются:
n
a
> ;,1;
ii
a
∑
ij
j
=
1
jini
≠=
или (19)
n
a ≠=
> ;,1;
ii
a
∑
ij
i
=
1
jinj
,
требующие, чтобы модули диагональных элементов были соответственно
больше суммы модулей внедиагональных элементов строки или столбца.
0
Вектор выбирается произвольно, но чем он ближе к решению,
x ,1,
i
ni
=
тем быстрее сходится итерационный процесс. Как правило, вектор
часто полагают равным вектору правых частей или нулевому вектору .
x ,1,0=
i
x
i
ni
00=
64
21.3. Метод Зейделя
По методу простой итерации очередное приближение целиком определяется значениями переменных, полученными на предыдущем шаге. Для улучшения сходимости, т.е. уменьшения количества итераций (приближений), используют метод Зейделя. Суть его заключается в том, что при вычислении
менной на
(к+1)-м шаге, используются значения j-х переменных, уже вычис-
ленных на этом шаге. Расчетные формулы для вычисления корней СЛАУ имеют следующий вид:
L
a
1
−−−=
a
11
k
n
)(
x
;
n
k
+
x
1
b
)1(
a
11
a
a
12
11
1
k
)(
x
2
i-й пере-
L
a
2
−−
a
22
k
n
)(
x
;
n
k
+
x
2
b
)1(
a
22
a
2
21
−=
a
22
k
)1(
+
x
1
LLLLLLLLLLL
L
a
1
nn
−
nn
x
n
−−
a
)1(
k
+
1
−
k
+
x
n
b
)1(
n
a
nn
a
1
n
−=
x
nn
1
a
)1(
k
+
или в общем виде:
⎛
⎜
⎜
+
x ≠=
i
1
)1k(
b
⎜
a
⎜
ii
−
1i
−=
a
∑
i
ij
=
1j
+
x
)1k(
j
n
−
∑
a
ij
+=
1ij
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
)k(
x
⎟
j
⎟
.ji;n,1i;
⎟
⎠
Задание
. Решить СЛАУ: а) методом Гаусса; б) методом простой итерации; в) методом Зейделя; г) матричным методом; д) с помощью модуля Поиск
решений. Варианты для выполнения задания представлены в табл. 13.
Для примера возьмем следующую систему:
⎧
⎪
⎪
x
⎨
x
x5
1
1
2
x5
2
=−+
x
3
x
3
;10
=++
;2
⎪
=+−
⎪
1
⎩
2
x
x
x3
3
.16
Прежде чем решать систему итерационными методами, необходимо убедиться в том, что для нее выполняется достаточное условие сходимости. Для
данной системы оно выполняется, т.е. диагональные элементы по модулю
65
больше суммы внедиагональных элементов в каждой строке. В случае невыполнения условия необходимо путем преобразований или перестановки уравнений привести исходную систему к тождественному виду.
Таблица 13
Номер
варианта
1 5x+8y-z= -7
x+2y+3z=1
2x-3y+2z=9
2 x+2y-z= 4
3x-5y+3z=1
2x+7y-z=8
3 3x+2y+z= 5
2x+3y+z=1
2x+y+3z=11
4 x+2y+4z=31
5x+y+2z=29
3x-y+z=10
5 4x-3y+2z=9
2x+5y-3z=4
5x+6y-2z=18
6 2x-y-z=4
3x+4y-2z=11
3x-2y+4z=11
7 x+y+2z= -1
2x-y+2z= -4
4x+y+4z=-2
СЛАУ Номер ва-
рианта
8 3x-y= 5
9 3x-y+z= 4
10 x+y+z= 2
11 2x+y-z= 1
12 2x-y-3z= 3
13 x+5y+z= -7
14 x-2y+3z= 6
СЛАУ
-2x+y+z=0
2x-y+4z=15
2x-5y-3z= -17
x+y-z=0
2x-y-6z= -1
3x-2y=8
x+y+z=6
3x-y+z=4
3x+4y-5z=8
2y+7z=17
2x-y-z=0
x-2y-z=2
2x+3y-4z=16
3x-2y-5z=12
Рис. 52. Решение СЛАУ методом простой итерации
66
Рис. 53. Решение СЛАУ методом Зейделя
В табл. 14 представлены расчетные формулы для вычисления корней
СЛАУ методом простой итерации.
Чтобы получить решение методом Зейделя необходимо скопировать таблицу с методом итераций (рис. 52) на другой лист и внести изменения в две
ячейки.
Для системы, состоящей из 3-х уравнений, при вычислении Х2 и Х3 на 1м шаге ссылки делаются на переменные, вычисленные на этом же шаге.
Таблица 14
Расчетные формулы метода простой итерации
Формулы для вычислений
или значения
Метод простой итерации
Матрица коэффициентов
Вектор свободных членов
Условие проверки точности для Х1
Условие проверки точности для Х2
Условие проверки точности для Х3
Начальное приближение
Х1
Ячейка Формула или значение
A3:C5
D3:D5
B9
C9
D9
E8
=ЕСЛИ(ABS(E8E9)<=0,001;"корень найден";"точности нет")
=ЕСЛИ(ABS(F8F9)<=0,001;"корень найден";"точности нет")
=ЕСЛИ(ABS(G8G9)<=0,01;"корень найден";"точности нет")
=D3/A3
67
=++
+
Окончание табл. 14
Начальное приближение
Х2
Начальное приближение
Х3
Формула вычисления Х1
Формула вычисления Х2
Формула вычисления Х3
21.4. Матричный метод решения СЛАУ
a
x
a
⎧
⎪
⎪
Систему уравнений:
⎨
⎪
⎪
⎩
можно представить в матричном виде:
1
11
a
x
a
1
21
a
x
a
1
1n
F8
G8
E9
F9
G9
x
2
12
x
2
22
x
2
2n
Ах=b,
K
K
K
=D4/B4
=D5/C5
=$D$3/$A$3
-$B$3/$A$3*F8$C$3/$A$3*G8
=$D$4/$B$4$A$4/$B$4*E8$C$4/$B$4*G8
=$D$5/$C$5$A$5/$C$5*E8$B$5/$C$5*F8
x
a
n
n1
=+++
x
a
n
n2
LLLLLLLLLLLL
=+++
x
a
nn
n
;1b
;
b
2
,
b
n
aaa
⎡
⎢
⎢
где - матрица коэффициентов при неизвестных;
⎢
=
A
⎢
⎢
a
n
⎣
K
K
⎤
n
11211
⎥
aaa
⎥
n
22221
⎥
KKKKK
a
K
n
21
⎥
⎥
a
nn
⎦
x
⎡
⎤
1
⎢
⎥
x
⎢
⎥
2
x
=
⎢
⎢
⎢
⎣
- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.
⎥
K
⎥
⎥
x
n
⎦
b
⎡
⎤
1
⎢
⎥
b
⎢
⎥
b
2
=
⎢
⎥
K
⎢
⎥
⎢
⎥
b
n
⎣
⎦
Умножая систему на обратную матрицу
-1
А
слева, получим:
-1
А
*A*x= А-1*b или X= А-1*b.
68
В MS Excel решение СЛАУ будет выглядеть следующим образом (рис. 54).
Рис. 54. Матричный метод решения СЛАУ в MS Excel
Формульный вариант решения СЛАУ матричным методом можно про-
смотреть, выполнив команду
Примечание. Для удобства просмотра блок решения с пояснительным текстом
перемещен в блок
B11:C13.
Сервис - Параметры - Вид - Формулы.
F3:G5
При оформлении заданий необходимо помнить одно из правил оформления документов в компьютерном делопроизводстве - эстетичность. Что касается данного задания, матрицы и решение должны быть четко выделены границами. Для этого используется команда
полнении команды появляется диалоговое окно
Формат - Ячейки - Граница. При вы-
Формат ячеек, в котором вы-
бирается тип линии и внешние границы, границы можно формировать, используя образец выделенного фрагмента.
Рис. 55. Формульный вид решения СЛАУ матричным методом
69
21.5. Решение СЛАУ с помощью модуля Поиск решений
Прежде чем настраивать окно Поиск решений для решения СЛАУ, необходимо подготовить таблицу следующим образом (рис. 56).
В диапазон
диапазон
команда
D7:D9 выделен для размещения корней системы. Далее выполняется
Сервис - Поиск решений. Диалоговое окно Поиск решений необхо-
димо настроить в соответствии с рис. 57.
А7:A9 записаны левые части СЛАУ в виде формул, пустой
Рис. 56. Подготовка таблицы для решения СЛАУ
с помощью модуля
Поиска решений
Рис. 57. Настройка окна Поиск решений для решения СЛАУ
70