Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистический контроль качества портландцемента и бетона. Практикум
.pdf
где
‒ число уровней факторов А и В;
qi – количество вариант на i-том уровне
Факторные (
,
,
) и остаточная дисперсия
) находятся по формулам
2.11-2.14:
где
,
,
‒ дисперсии факторов А, В и их комбинации (взаимодействия);
21
Число степеней свободы для фактора АfA = lA – 1 = 3 – 1 = 2, для фактора
4,14
2,4
58,60
экс
F
9,1
2,4
91,7
экс
F
45,0
2,4
89,1
экс
F
В fB = lB – 1 = 4 – 1 = 3, совместного влияния fAB = (lA – 1)(lB – 1) = 23 = 6, f2 =
lAlB(q – 1) = 34(4– 1) = 36.
Для фактора А (расход пластифицирующей добавки)
по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора
(Приложение 3) Fкр 5,39; F
экс>Fкр
Для фактора В (модуль крупности песка)
F
< Fкр.
экс
Для совместного действия факторов
.
; Fкр = 4,51;
; Fкр = 3,47; F
< Fкр.
экс
Таким образом, при уровне значимости 0,01 на текучесть пенобетонной
смеси оказывает влияние только пластифицирующая добавка, а модуль
крупности песка и совместное действие двух факторов не влияют на это.
Контрольные вопросы
;
1. Дать определение понятию «дисперсия».
2. Как находится число степеней свободы отдельных факторов и их
совместного влияния?
3. Порядок нахождения критического значения критерия Кохрена.
4. Какие преобразования в исходной таблице данных необходимо
выполнить для дальнейшего проведения двухфакторного
дисперсионного анализа?
22
Практическая работа 3
БАЗОВАЯ ОБРАБОТКА ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Цель работы – изучить основные принципы построения интервального
ряда распределения случайной величины X. Провести проверку гипотезы о
нормальном распределении случайной величины X в выборочной
совокупности данных.
Основные понятия и определения
Базой для статистической обработки является множество данных,
полученных в ходе измерения одного или нескольких свойств изучаемого
объекта. Множество данных может быть представлена генеральной и
выборочной совокупностью.
Генеральной совокупностью данных называют все единицы
наблюдения, которые получены в ходе экспериментального исследования.
Объем генеральной совокупности переменчив и зависит от цели
исследования. Границы генеральной совокупности определяются задачами
исследования. Однако работать с генеральной совокупностью зачастую
неудобно из-за наличия огромного количества данных. Для рациональной
статистической обработки из генеральной совокупности извлекают
выборочную совокупность данных.
Выборочная совокупность данных (выборка) должна быть
репрезентативной по отношению к генеральной совокупности, т.е. должна
как можно точней соответствовать ее характеристикам в целом.
Генеральная совокупность данных может быть конечной (N=const) и
бесконечной (N=∞). Объем выборки же всегда ограничен (обозначается
буквой n).
По объему выборки разделяют на большие (n≥30) и малые (n≤30).
Важно запомнить: чем меньше объем выборки, тем менее
достоверными будут результаты статистической обработки.
Выборка данных представляется в виде ряда X1, X2, … , Xn случайной
величины X.
23
Распределение случайной величины X в выборочной совокупности
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118
Абсолютная частота mi
Значения случайной величины Х
может быть нормальным (см. рис. 3.1) и отличным от нормального (рис.
3.2).
Нормальным считается распределение, при котором выполняется
условие: чем больше значение признака Xi отличается от его среднего по
выборке значения
, тем реже это значение встречается в выборке.
Любое распределение, не соответствующее вышеуказанному условию,
соответственно является отличным от нормального [3,4].
Рисунок 3.1 ‒ Нормальное распределение случайной величины Х
24
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Название оси
Значения случайной величины Х
Рисунок 3.2 ‒ Распределение случайной величины X,
отличное от нормального
Xi в выборке данных называется вариантой.
Начальным этапом статистического изучения вариации является
построение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц
совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям
признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.
Вариационные ряды распределения бывают интервальными и
дискретными.
Интервальный ряд распределения можно представить в виде таблицы,
состоящей из столбцов (строк) – интервалов варьирующего признака Xi и
числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот - mi).
25
Ниже приведен пример проверки нормального распределения случайной
Предел прочности при сжатии образцов-кубиков с длиной ребра 15 см, МПа
34,5
27,4
34,5
34,4
32,8
32,3
34,3
28,5
33,4
33,3
31,9
33,9
29,8
34,4
29,3
28,8
34,5
34,2
33,9
29,9
27,2
30,5
33,0
34,0
31,6
31,9
29,2
29,4
32,3
28,4
32,6
29,5
34,2
27,2
31,3
29,3
27,3
32,1
27,9
32,6
29,2
32,4
29,3
29,2
32,2
27,9
34,3
30,1
32,6
31,8
31,1
27,7
30,9
31,1
31,6
30,8
30,0
31,6
32,9
27,9
29,4
34,3
33,4
28,2
31,3
34,5
30,2
30,9
30,9
29,0
34,8
29,0
28,3
32,8
29,1
33,2
28,8
27,3
31,9
30,7
32,8
28,4
29,3
33,3
29,4
30,3
34,6
31,6
31,7
32,6
29,7
31,9
32,9
28,9
34,2
29,1
28,6
34,5
30,0
34,4
33,1
31,8
31,9
28,7
33,4
29,2
28,4
30,3
28,0
30,6
34,3
34,5
27,8
29,5
30,4
31,7
32,1
33,8
31,8
34,8
33,4
34,8
31,9
31,3
32,9
30,5
33,9
31,4
34,3
27,2
30,6
33,0
27,1
29,2
33,8
32,7
33,5
28,3
30,2
32,0
30,9
31,7
32,2
32,6
28,2
32,6
34,5
32,4
34,8
34,2
величины Х, выборку которой необходимо представить в виде интервального
ряда.
Исходные данные
При испытании бетонных образцов на прочность ОТК завода ЖБИ
получило данные, представленные в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Выборка результатов испытаний бетонных образцов на прочности
при сжатии
Исходные данные для самостоятельной работы приведены в
приложении 6, пункт 6.2.
Ход работы
По выборке объёма n = 150 составляем интервальный ряд
распределения. Количество интервалов найдите по формуле Стерджесса,
ширину интервала округлите до 0,01 (в большую сторону), левую границу
первого интервала округлите также до 0,1 (в меньшую сторону). Постройте
гистограмму частот и кумулятивную кривую.
Находим среднее значение, выборочные дисперсию и среднее
квадратическое отклонение. При доверительной вероятности = 0,95
определите доверительный интервал для генеральной средней.
26
Проверьте гипотезу о нормальном распределении предела прочности
при сжатии бетонных образцов по данной выборке. Уровень значимости =
0,05.
Из представленных в таблице 3.1 данных видно, что предел прочности
при сжатии бетонных образцов лежит в диапазоне от 27,1 до 34,8 МПа. По
формуле Стерджесса (3.1) находим количество интерваловk:
k = 1 + 3,322lgn = 1 + 3,322lg150= 1 + 3,3222,176 = 8,228 (3.1)
где: n – объем выборки.
Округляем (в большую сторону): k = 9. Находим ширину
интервалов:
где:
соответственно максимальное и минимальное значение в
выборке.
В соответствие с условием задачи округляем это значение до 0,86 (с
точностью до 0,01 в большую сторону). В качестве левой границы первого
интервала выбираем значение 27,1(округлив в меньшую сторону самое
маленькое значение x
= 27,1).
min
Разбиваем диапазон данных на интервалы равной ширины. Находим
абсолютные частоты для всех интервалов (подсчитываем, сколько значений
выборки попадает в каждый промежуток). Заносим данные в таблицу 2.2.
Рассчитываем значения относительных частот по формуле 2.3 и
значения эмпирической функции распределения (накопленные частоты) по
формуле 2.4:
где абсолютная частота случайно величины х.
27
Таблица 3.2.
Интервальный ряд распределения случайной величины Х
Интервал
(МПа) x
i
27,10-
27,96
27,96-
28,82
28,82-
29,68
29,68-
30,54
30,54-
31,4
31,40-
32,26
32,26-
33,12
33,12-
33,98
33,98-
34,84
Абсолютная
частота m
i
12
13
19
13
14
21
20
13
25
Относительна
я частота w
i
0,08
0,09
0,13
0,09
0,09
0,14
0,13
0,09
0,17
Эмпирическа
я функция
распределени
я F*(x)
0,08
0,17
0,29
0,38
0,47
0,61
0,75
0,83
1,00
Строим гистограмму относительных частот wi (рис. 3.1) и
кумулятивную кривую эмпирической функции распределения F
(x) (рис. 3.2).
i
Рис.3.1.‒ Гистограмма относительных частот wi
28
Рис. 3.2.‒ Кумулятивная кривая эмпирической функции распределения F*(x)
После этого по формуле (3.5) вычисляем средние выборочные предела
прочности при сжатии:
(в качестве значения предела прочности при сжатииxiвзята середина
соответствующего интервала).
По формулам (3.6) и (3.7) определяем выборочную дисперсию и
выборочное среднее квадратическое отклонение соответственно:
29
x
Полуширина доверительного интервала для математического ожидания
определяется по формуле (2.8)
где коэффициент t взят из таблицы функции Лапласа (Приложение 1) из
условия Ф(t) = 0,5 = 0,5∙0,99 = 0,495. Тогда с вероятностью = 0,95
генеральное среднее предела прочности при сжатии лежит в интервале
= (31,330,35)или (30,98 <x<31,68).
В заключении проводится проверка гипотезы о том, что распределение
предела прочности при сжатии является нормальным:
H0: распределение предела прочности при сжатии образцов бетона
является нормальным;
H1: распределение предела прочности при сжатии образцов бетона
не является нормальным.
Если крайние интервалы имеют эмпирические частоты mi меньше 4, то
их объединяют с соседними. Данные заносим в таблицу 2.3 (столбец mi),
причём первый интервал начинаем с –, а последний интервал заканчиваем
+.
Считая, что данное распределение является нормальным с
математическим ожиданием 31,33 и средним квадратическим отклонением
2,21, с помощью Приложения 1 вычисляем вероятности попадания в
соответствующий интервал piпо формуле 3.9:
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]