Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистический анализ для повышения качества строительных материалов. Учебное пособие
.pdf
11
накопленного опыта, преодоления психологического барьера у многих
работников, отдающих предпочтение сплошному контролю,
переходить на более сложные объекты.
При мелкосерийном и опытном производстве статистические
методы рекомендуется внедрять для систематической оценки точности
и стабильности технологического оборудования и рационального
размещения индивидуальных заказов. Выбор контролируемых
показателей качества и места проведения контроля осуществляется
службами и производственными подразделениями, отвечающими за
разработку нормативно-технической документации на
технологические процессы совместно с отделом технического
контроля (ОТК), при этом выбор следует осуществлять на основании
статистического анализа, поскольку показателем качества может быть
один или совокупность показателей, например:
– показатели, определяющие точностные характеристики
результатов анализа продукции;
– показатели, связанные с использованием результатов анализа или
испытаний продукции;
– показатели ресурсных характеристик анализа продукции;
– обобщенные показатели;
– показатели, связанные с сертификацией продукции.
Контролируемый показатель качества рекомендуется выбирать так,
чтобы он мог оказывать решающее влияние на качество продукции и
обеспечивать нормальный ход технологического процесса
изготовления продукции. Разработку технологии контроля
целесообразно начинать с установления перечня контролируемых
параметров, возможных дефектов и причин их возникновения.
Последовательность распределения контроля в технологических
процессах должна планироваться таким образом, чтобы неисправимые
дефекты, по возможности, обнаруживались на более ранних этапах.
Если статистическим анализом будет установлено, что
технологический процесс разлажен и уровень настройки не
соответствует заданным допускам, технологи цеха совместно со
службами, ответственными за разработку научно-технической
документации, должны установить причины разладки, а
соответствующие технические службы отрегулировать объект и
привести его в стабильное состояние.
Выбор методов статистического управления качеством продукции
осуществляется технической службой, ответственной за внедрение
статистических методов.
12
∑
=
i
x
n
x
1
( )
∑
−=
2
2
1
xx
n
s
i
x
( )
∑
−=
2
1
xx
n
s
i
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ
В процессе производства изделий невозможно точно соблюсти
заданную величину признака, характеризующего качество изделия.
Качество сырья, настройка станков и другие существенные для
производства показатели подвержены случайным колебаниям, которые
в конечном счете влияют на качество изделий, а это в свою очередь
вызывает рассеяние значений признака. Если признак,
характеризующий качество изделий, хотят оценивать численно, то
нельзя ограничиваться измерением только одного изделия.
Необходимо произвести измерения либо всех изделий данной серии,
всей партии, либо выборки из нее. Но простой перечень полученных
при измерениях значений еще не отражает результатов проверки или
исследования. Имеются две важнейшие характеристики, которые
отражают результат исследования: одна из них описывает среднее
положение наблюдаемых значений, а другая – отклонения единичных
значений от средней. Если в результате n измерений получены
значения x
, x2, ..., хn, то средняя арифметическая величина:
1
.
Другая статистическая характеристика ряда наблюдаемых значений
показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг
средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой
средней. За меру рассеяния принимают сумму квадратов отклонений
отдельных значений от средней арифметической, деленную на
количество наблюдений. Эту меру называют дисперсией и обозначают
2
через s
отклонение s. Оно имеет ту же размерность, что и средняя
арифметическая
совокупности σ и среднее квадратическое отклонение выборки или
эмпирического ряда наблюдений s.
отклонения в среднем меньше, чем значение среднего квадратического
:
. (2.2)
2
Вместо дисперсии s
Следует различать среднее квадратическое отклонение генеральной
Численное значение выборочного среднего квадратического
часто применяют среднее квадратическое
:
.
(2.1)
(2.3)
13
22
1snn−
=
s
( )
∑
−
−
=
2
2
1
1
xx
n
s
i
n
1
11−n
x
~
)1(
2
1
+n
n
2
1
отклонения генеральной совокупности, из которой взята эта выборка.
Если n – объем выборки, то:
. (2.4)
Поэтому выборочную дисперсию вычисляют по формуле:
.
При определении среднего квадратического отклонения
эмпирического ряда не имеет большого значения тот факт, делят ли
сумму квадратов отклонений на n или n–1. Величина среднего
квадратического отклонения зависит в основном не от коэффициентов
или
Медиана . Если n значений измеряемой величины расположить в
порядке их возрастания, то измеренное значение, находящееся в самом
центре, называют медианой
В том случае, когда n является нечетным числом, медианой будет
значение, которое находится точно на
крайнего значения.
Если же n является четным числом, то медианой будет значение,
являющееся средним арифметическим из двух соседних значений,
находящихся в центре последовательности и занимающих
соответственно
больших значений измеряемой величины.
Качество отдельного изделия, взятого из текущего процесса,
изменяется от изделия к изделию. Если во время процесса
изготовления отбирать выборки, то статистические характеристики
этих выборок тоже будут колебаться. Если же по статистическим
характеристикам выборок нужно сделать вывод о числовых
характеристиках (параметрах) генеральной совокупности, то выборка
меньшего объема менее благоприятна для этого, чем выборка
большего объема. Но все-таки выгоднее вместо одной большой
использовать несколько выборок небольшого объема, которые
охватывали бы продолжительный промежуток времени, чтобы
получить представление о системе случайных причин,
воздействующих на процесс изготовления, т.е. всей генеральной
совокупности.
, а от точности измерений.
(читается «икс-медиана»).
месте от любого
место как со стороны малых, так и со стороны
(2.5)
14
x
x
x
2
x
s
n
x
s
s
=
minmax
xxR −=
.
(2.6)
%
100⋅=
x
s
v
Рассмотрим сначала обратную задачу. Пусть известны числовые
характеристики генеральной совокупности. Берем из нее большое
число выборок объема n и вычисляем для каждой выборки среднюю
арифметическую
другом, располагаем их в возрастающем порядке. Построив по
упорядоченным значениям интервальный ряд, получим распределение
средних арифметических.
Если количество выборок достаточно велико, то:
1. Средняя арифметическая
совпадает с математическим ожиданием генеральной совокупности.
2. Дисперсия
объема выборки n и связана с дисперсией σ
. Так как не все средние значения совпадают друг с
распределения выборочных средних
распределения выборочных средних зависит от
2
генеральной совокупности
соотношением
.
3. Если генеральная совокупность распределена по нормальному
закону, то распределение средних значений тоже будет нормальным.
Но если генеральная совокупность имеет другой закон распределения,
то распределение выборочных средних будет приближаться к
нормальному, и тем лучше, чем больше объем выборок.
Этот закон играет большую роль в технике составления
контрольных карт для средних значений.
В контрольных картах вместо среднего квадратического
отклонения используется легко вычисляемая мера рассеяния – размах
R, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда
наблюдений:
Отношение среднего квадратического отклонения к средней
арифметической, выраженное в процентах, называется коэффициентом
вариации v:
. (2.7)
Коэффициент вариации показывает относительное колебание
отдельных значений около средней арифметической. Дисперсия
больших чисел будет больше дисперсии малых чисел. Коэффициент
вариации исключает влияние значения величины.
Интервальная оценка показателей качества. Доверительный
интервал. Доверительная вероятность. Интервальной называют
оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала,
покрывающего параметр.
15
b
x
n
txa
n
tx
bb
ss
+<<−
n
t
s
n
s
txa
n
s
tx
bb
γγ
+<<−
dzexФ
x
z
∫
−
=
0
2
2
2
1
)(
π
x
Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) 1 2 3 4 5 6 7 8
0,00
0,0000
0,34
0,1331
0,68
0,2517
1,02
0,3461
0,01
0,0040
0,35
0,1368
0,69
0,2549
1,03
0,3485
0,02
0,0080
0,36
0,1406
0,70
0,2580
1,04
0,3508
0,03
0,0120
0,37
0,1443
0,71
0,2611
1,05
0,3531
0,04
0,0160
0,38
1480
0,72
0,2642
1,06
0,3554
0,05
0,0199
0,39
1517
0,73
0,2673
1,07
0,3577
0,06
0,0239
0,40
1554
0,74
0,2703
1,08
0,3599
0,07
0,0279
0,41
1591
0,75
0,2734
1,09
0,3621
0,08
0,0319
0,42
1628
0,76
0,2764
1,10
0,3643
0,09
0,0369
0,43
1664
0,77
0,2794
1,11
0,3665
0,10
0,0398
0,44
1700
0,78
0,2823
1,12
0,3686
0,11
0,0438
0,45
1736
0,79
0,2852
1,13
0,3708
0,12
0,0478
0,46
1772
0,80
0,2881
1,14
0,3729
0,13
0,0517
0,47
1808
0,81
0,2910
1,15
0,3749
0,14
0,0557
0,48
0,1844
0,82
0,2939
1,16
0,3770
0,15
0,0596
0,49
0,1879
0,83
0,2967
1,17
0,3790
0,16
0,0636
0,50
0,1915
0,84
0,2995
1,18
0,3810
0,17
0,0675
0,51
0,1950
0,85
0,3023
1,19
0,3830
Доверительным называют интервал, который с заданной
надежностью γ покрывает оцениваемый интервал.
Для оценки математического ожидания а нормально
распределенного количества признака x по выборочной средней
при известном среднеквадратическом отклонении σ генеральной
совокупности служит доверительный интервал:
где
,
= δ – точность оценки;
(2.8)
n – объем выборки;
t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (см. табл. 2.1), при
котором Ф(t) = γ/2.
При неизвестном σ (и объеме выборки n > 30):
,
(2.9)
где s – исправленное среднее квадратическое отклонение;
– находят по таблице по заданным n и γ (табл. 2.2).
t
γ
Таблица 2.1
Значения функции
16
1 2 3 4 5 6 7 8 0,18
0,0714
0,52
0,1985
0,86
0,3051
1,20
0,3849
0,19
0,0753
0,53
0,2019
0,87
0,3078
1,21
0,3869
0,20
0,0793
0,54
0,2054
0,88
0,3106
1,22
0,3883
0,21
0,0832
0,55
0,2088
0,89
0,3133
1,23
0,3907
0,22
0,0871
0,56
0,2123
0,90
0,3159
1,24
0,3925
0,23
0,0910
0,57
0,2157
0,91
0,3186
1,25
0,3944
0,24
0,0948
0,58
0,2190
0,92
0,3212
1,26
0,3962
0,25
0,0987
0,59
0,2224
0,93
0,3238
1,27
0,3980
0,26
0,1026
0,60
0,2257
0,94
0,3264
1,28
0,3997
0,27
0,1064
0,61
0,2291
0,95
0,3289
1,29
0,4015
0,28
0,1103
0,62
0,2324
0,96
0,3315
1,30
0,4032
0,29
0,1141
0,63
0,2357
0,97
0,3340
1,31
0,4049
0,30
0,1179
0,64
0,2389
0,98
0,3365
1,32
0,4066
0,31
0,1217
0,65
0,2422
0,99
0,3389
1,33
0,4082
0,32
0,1255
0,66
0,2454
1,00
0,3413
1,34
0,4099
0,33
0,1293
0,67
0,2486
1,01
0,3438
1,35
0,4115
1,36
0,4131
1,67
0,4525
1,98
0,4761
2,58
0,4951
1,37
0,4147
1,68
0,4535
1,99
0,4767
2,60
0,4953
1,38
0,4162
1,69
0,4545
2,00
0,4772
2,62
0,4956
1,39
0,4177
1,70
0,4554
2,02
0,4783
2,64
0,4959
1,40
0,4192
1,71
0,4564
2,04
0,4793
2,66
0,4961
1,41
0,4207
1,72
0,4573
2,06
0,4803
2,68
0,4963
1,42
0,4222
1,73
0,4582
2,08
0,4812
2,70
0,4965
1,43
0,4236
1,74
0,4591
2,10
0,4821
2,72
0,4967
1,44
0,4251
1,75
0,4599
2,12
0,4830
2,74
0,4969
1,45
0,4265
1,76
0,4608
2,14
0,4838
2,76
0,4971
1,46
0,4279
1,77
0,4606
2,16
0,4846
2,78
0,4973
1,47
0,4292
1,78
0,4625
2,18
0,4854
2,80
0,4974
1,48
0,4306
1,79
0,4633
2,20
0,4861
2,82
0,4976
1,49
0,4319
1,80
0,4641
2,22
0,4868
2,84
0,4977
1,50
0,4332
1,81
0,4649
2,24
0,4875
2,86
0,4979
1,51
0,4345
1,82
0,4656
2,26
0,4881
2,88
0,4980
1,52
0,4357
1,83
0,4664
2,28
0,4887
2,90
0,4981
1,53
0,4370
1,84
0,4671
2,30
0,4893
2,92
0,4982
1,54
0,4382
1,85
0,4678
2,32
0,4898
2,94
0,4984
1,55
0,4394
1,86
0,4686
2,34
0,4904
2,96
0.4985
1,56
0,4406
1,87
0,4693
2,36
0,4909
2,98
0,4986
1,57
0,4418
1,88
0,4699
2,38
0,4913
3,00
0,49865
1,58
0,4429
1,89
0,4706
2,40
0,4918
3,20
0,49931
1,59
0,4441
1,90
0,4713
2,42
0,4922
3,40
0,49966
1,60
0,4452
1,91
0,4719
2,44
0,4927
3,60
0,49984
1,61
0,4463
1,92
0,4726
2,46
0,4931
3,80
0,49992
1,62
0,4474
1,93
0,4732
2,48
0,4934
4,00
0,49996
1,63
0,4484
1,94
0,4738
2,50
0,4938
4,50
0,49999
1,64
0,4495
1,95
0,4744
2,52
0,4941
5,00
0,49999
1,65
0,4505
1,96
0,4750
2,54
0,4945
1,66
0,4515
1,97
0,4756
2,56
0,4948
Окончание табл. 2.1
17
γ n γ
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
5
19
2,78
2,10
4,60
2,88
8,61
3,92
20
2,093
2,861
3,883
γ
γ
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
5
19
1,37
0,39
2,67
0,60
5,64
0,92
20
250
0,37
0,089
0,58
0,120
0,88
0,162
Таблица 2.2
Таблица значений t
n
= t(γ, n)
γ
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
∞
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,797
2,756
2,729
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально
распределенного количественного признака x с надежностью γ по
исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s
служат доверительные интервалы:
s(1 – q) < σ < s(1 + q) при q < 1;
0 < σ < s(1 + q) при q > 1.
Значение q находят по табл. 2.3.
Таблица 2.3
Таблица значений q = q (γ, n)
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
n
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,221
0,185
18
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки n
1. Квантиль стандартного нормального
n
x
x∑=
n
u
K
α
−
=
1
1
n
u
K
2/1
2
α
−
=
х
Ф(z)
Ф(0,5+z)
Ф(1,0+z)
Ф(1,5+z)
Ф(2,0+z)
Ф(2,5+z)
Ф(3,0+z)
1 2 3 4 5 6 7
8
0,00
0,09
0,50000
0,53586
0,69146
0,72240
0,84134
0,86214
0,93319
0,94408
0,97725
0,98169
0,99379
0,99520
0,99865
0,99900
0,10
0,19
0,53983
0,57535
0,72575
0,75490
0,86433
0,88298
0,94520
0,95449
0,98214
0,98574
0,99534
0,99643
0,99903
0,99929
0,20
0,21
0,57926
0,58317
0,75804
0,76115
0,88493
0,88686
0,95543
0,95637
0,98610
0,98645
0,99653
0,99664
0,99931
0,99934
Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего
значения при известной дисперсии приведен в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Алгоритм точечного и интервального оценивания
среднего значения при известной дисперсии
2. Сумма значений наблюдаемых величин
∑x
3. Известное значение дисперсии
генеральной совокупности σ
2
или стандартного отклонения σ
закона распределения уровня 1–α: u
2. Квантиль стандартного нормального
закона распределения уровня 1–α/2: u
3. Вычисляем:
4. Выбранная доверительная вероятность
1–α
4. Вычисляем:
5. Вычисляем:
Квантили стандартного нормального закона распределения
определяют по табл. 2.5.
Таблица 2.5
Значения функции
стандартного нормального закона распределения
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,69497
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,84375
0,84614
0,84850
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,93448
0,93574
0,93699
0,93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,97778
0,97831
0,97882
0,97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,99396
0,99413
0,99430
0,99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
1–α
1–α/2
0,99869
0,99874
0,99878
0,99882
0,99886
0,99889
0,99893
0,99896
0,11
0,54380
0,12
0,54776
0,13
0,55172
0,14
0,55567
0,15
0,55962
0,16
0,56356
0,17
0,18
0,56750
0,57142
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,94630
0,94738
0,94845
0,94950
0,95053
0,95154
0,95254
0,95352
0,98257
0,98300
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,99547
0,99560
0,99573
0,99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99906
0,99910
0,99913
0,99916
0,99918
0,99921
0,99924
0,99926
1 2 3 4 5 6 7
8
0,22
2,29
0,58706
0,61409
0,76424
0,78524
0,88877
0,90147
0,95728
0,96327
0,98679
0,98899
0,99674
0,99736
0,99936
0,99950
0,30
0,39
0,61791
0,65173
0,78814
0,81327
0,90320
0,91774
0,96407
0,97062
0,98928
0,99158
0,99744
0,99807
0,99952
0,99965
0,40
0,49
0,65542
0,68793
0,81594
0,83891
0,91924
0,93189
0,97128
0,97670
0,99180
0,99361
0,99813
0,99861
0,99966
0,99976
xa =
ss
22
KxaKx
+<<−
s
1
Kxa +<
s
1
Kxa −>
xa =
2
SD =
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65910
0,66276
0,66640
0,67030
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,76731
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,92894
0,83147
0,93398
0,83646
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90490
0,90658
0,90824
0,90988
0,91149
0,91308
0,91466
0,91621
0,92073
0,92220
0,92364
0,92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
19
0,95818
0,95907
0,95994
0,96080
0,96164
0,96246
0,96485
0,96562
0,96638
0,96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97193
0,97257
0,97320
0,97381
0,97441
0,97500
0,97558
0,97615
Окончание табл. 2.5
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,99840
0,99870
0,98956
0,98983
0,99010
0,99036
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99202
0,99224
0,99245
0,99266
0,99287
0,99305
0,99324
0,99343
0,99683
0,99693
0,99702
0,99711
0,99720
0,99728
0,99752
0,99760
0,99767
0,99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99819
0,99825
0,99831
0,99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99938
0,99940
0,99942
0,99944
0,99946
0,99948
0,99953
0,99955
0,99957
0,99958
0,99960
0,99961
0,99962
0,99964
0,99968
0,99969
0,99970
0,99971
0,99972
0,99973
0,99974
0,99975
Результаты:
1. Точечная оценка параметра а:
.
2. Двусторонний симметричный доверительный интервал для а:
.
3. Односторонние доверительные интервалы для а:
или
.
Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего
значения при неизвестной дисперсии приведен в табл. 2.6.
Квантили распределения Стьюдента определяют по табл. 2.7.
Результаты:
1. Точечная оценка параметра а:
.
2. Точечная оценка параметра D:
.
20
SIxaSIx
22
+<<−
SIxa1+<
SIxa1−>
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки n
1. Квантиль распределения Стьюдента
n
x
x
∑
=
1
)(
2
−
∑
−nxx
1
)(
2
−
∑
−
=
n
x
x
S
n
t
I
v)(1
1
α
−
=
n
t
I
v)(2/1
2
α
−
=
Значение квантилей распределения Стьюдента при уровне доверия α
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,9995
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14 1 2
0,158
0,142
0,325
0,289
0,510
0,445
0,727
0,617
1,000
0,816
1,376
1,061
1,963
1,386
3,078
1,886
6,314
2,920
12,706
4,303
31,821
6,965
63,657
9,925
636,619
31,598
3
5
0,137
0,132
0,277
0,267
0,424
0,408
0,584
0,559
0,765
0,727
0,978
0,920
1,250
1,156
1,638
1,476
2,353
2,015
3,182
2,571
4,541
3,365
5,841
4,032
12,924
6,869
6
10
0,131
0,129
0,265
0,260
0,404
0,397
0,543
0,542
0,718
0,700
0,906
0,879
1,134
1,093
1,440
1,372
1,943
1,812
2,447
2,228
3,143
2,764
3,707
3,169
5,959
4,587
11
13
0,129
0,128
0,260
0,259
0,396
0,394
0,540
0,538
0,697
0,694
0,876
0,870
1,088
1,079
1,363
1,350
1,796
1,771
2,201
2,160
2,718
2,650
3,106
3,012
4,437
4,221
3. Двусторонний симметричный доверительный интервал для
параметра а:
.
4. Односторонние доверительные интервалы для параметра а:
или
Алгоритм точечного и интервального оценивания
среднего значения при неизвестной дисперсии
.
Таблица 2.6
2. Сумма значений наблюдаемых величин
∑x
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых
величин ∑x
2
4. Степени свободы v = n–1
5. Выбранная доверительная вероятность
1–α
Значения квантилей распределения Стьюдента
v
4
0,134
0,271
0,414
7
0,130
0,263
8
9
0,130
1,129
0,262
0,261
0,402
0,399
0,398
0,569
0,549
0,546
0,543
0,741
0,711
0,706
0,703
0,941
0,896
0,889
0,883
уровня 1–α: t
(v)
1–α
2. Квантиль распределения Стьюдента
уровня 1–α/2 с v степенями свободы: t
(v)
3. Вычисляем:
4. Определяем:
5. Вычисляем:
6. Вычисляем:
7. Вычисляем:
Таблица 2.7
1,190
1,533
2,132
2,776
3,747
1,119
1,415
1,895
2,365
2,998
2,306
1,108
1,100
1,397
1,383
1,860
1,833
2,262
2,896
2,821
4,604
3,499
3,355
3,250
1–α/2
8,610
5,408
5,041
4,781
12
0,128
0,259
0,395
0,539
0,695
0,873
1,083
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
4,318
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]