Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы математики. Моделирование динамических процессов. Учебное пособие
.pdf
Рис. 9. Отображение Пуанкаре для уравнения Ван-дер-Поля [7,
с. 117]
на правой ветви кривой (6.3)). Следовательно, должна суще-
(k)
ствовать неподвижная точка отображения Φ(y
), то есть пре-
дельный цикл. Можно показать [7], что этот предельный цикл
единственный.
6.3. Метод установившихся решений
Рассмотрим систему (6.2) при очень большом ε. В силу второго из уравнений (6.2) производная ˙y
дулю значение, поэтому решение будет очень быстро приближаться к положению равновесия по y
(6.3). Выражая y
из (6.3) и подставляя в первое уравнение си-
2
стемы (6.2), получаем дифференциальное уравнение первого
порядка
˙y
1
=
ε(1 − y
y
1
31
имеет большое по мо-
2
в окрестности кривой
2
.
2
)
1
Проинтегрировав это уравнение, получаем
2
y
1
2
− ln |y
1
| = −
t
ε
+ C.
Если при больших y
пренебречь логарифмом, то эти кривые
1
представляют собой параболы. На рис. 10 представлены решения уравнения Ван-дер-Поля при ε =10в сравнении с кривы-
ми, полученными методом установившихся решений.
Рис. 10. Решение уравнения Ван-дер-Поля в сравнении со стационарными приближениями [7, с. 118]
6.4. Метод малого параметра
Рассмотрим случай малого ε. Будем искать периодическое
решение y(t) уравнения (6.1) в виде разложения по степеням ε:
y(t)=y
где y
0,y1,y2
,... — периодические функции одного и того же
периода. Для того чтобы свести неизвестный период к стандартному (2π), сделаем замену независимой переменной s = at,
где величину a также разложим по степеням ε:
+ εy1+ ε2y2+ ...,
0
s = t(1 + εγ
+ ε2γ2+ ...).
1
Используя правила дифференцирования сложной функции, получаем
˙y =
dy
dt
= a
dy
ds
= ay
, ¨y = a
2
d2y
ds
= a2y.
2
32
Подставляя разложения для y, ˙y, ¨y и величины a в уравне-
ние (6.1), получим
+ε((y
+ εy
(y
0
1
+εy1+...)2−1)(y
0
+ ε2y
+(y
+ ...)(1 + εγ1+ ε2γ2+ ...)2+
2
+εy
0
1
+ εy1+ εy2+ ...)=0. (6.4)
0
+ε2y
+...)(1+εγ1+ε2γ2+...)+
2
Приравнивая к нулю в левой части уравнения (6.4) слагаемые, не содержащие сомножитель ε, получаем уравнение гармонических колебаний
+ y0=0,
y
0
общее решение которого
= A cos s + B sin s.
y
0
Вместо начальных условий для нахождения констант будем
использовать условия, обеспечивающие периодичность y(s):
(0) = 0,y
y
0
(0) = 0,y
1
(0) = 0,...,
2
откуда получаем B =0. Таким образом,
= A cos s,
y
0
где константа A будет определена на следующем шаге.
Приравнивая к нулю в левой части уравнения (6.4) слагаемые, содержащие сомножитель ε, получаем уравнение
+ y1= −2γ1y
y
1
Подставляя функцию y
+ y1=2Aγ1cos s −A sin s + A3(sin s −sin3s).
y
1
, получаем
0
+(1− y
0
2
)y
.
0
0
Используя формулу тройного угла sin(3s)=3sins − 4sin
приводя подобные, получаем
y
+ y1=2Aγ1cos s + A(
1
2
A
− 1) sin s +
4
3
A
sin(3s). (6.5)
4
33
3
s и
Чтобы не возник резонанс, при котором функция y1(s) не
будет периодической, занулим слагаемые с cos s и sin s, положив γ
=0,A=2. В этом случае общее решение уравнения
1
(6.5) выражается формулой
3
= A sin s + B cos s +
y
1
sin s −
4
при этом константа A зануляется из условия y
1
sin(3s),
4
(0) = 0.
1
Продолжая этот процесс, получаем разложение для периодического решения уравнения Ван-дер-Поля
y =2coss + ε(
3
sin s −
4
1
sin(3s)) + ...,
4
при этом
2
s = t(1 +
ε
8
+ ...).
6.5. Заключительные замечания по теории
предельных циклов
Теория предельных циклов разработана для автономных
систем произвольной размерности, однако в двумерном случае
имеется важное уточнение. У двумерной автономной системы
вида (5.1) может быть только два вида притягивающих множеств (аттракторов — в широком смысле этого термина), так
как справедлива следующая теорема.
Теорема 3 (Пуанкаре–Бендиксона). Всякое ограниченное решение двумерной автономной системы является либо точкой
покоя, либо циклом, либо неограниченно приближается к точке покоя или циклу.
Таким образом, в двумерном случае аттракторами могут
быть только устойчивое положение равновесия и устойчивый
предельный цикл. В системах размерности три и выше разнообразия гораздо больше. Этим вопросам посвящены следующие главы.
Подробнее вопросы, связанные с изучением предельных циклов, изложены в монографиях [1, 2,4, 5, 7].
7. Аттракторы диссипативных систем
7.1. Фазовый поток. Диссипативность.
Аттракторы
В теории дифференциальных уравнений принято исходным
объектом считать систему уравнений (для простоты — автономную)
˙x = f(x),x∈ R
Если функция f удовлетворяет определенным условиям, обеспечивающим существование, единственность и бесконечную
продолжимость решения, то всякой начальной точке x
времени t>0 однозначно можно поставить в соответствие век-
n
тор x = x(t) ∈ R
— значение в момент t решения системы (7.1)
с начальными условиями x(0) = x
n
называют фазовым пространством. Таким образом, система
R
(7.1) задает отображение R
n
→ R
которое принято называть фазовым потоком.
В ряде монографий и учебников (см., например, [8, 9]) при
изучении дифференциальных уравнений принят иной подход:
исходным объектом считается не система, а фазовый поток.
Дадим определения. Фазовым пространством будем называть
пространство R
n+2
в пространство Rnбудем называть фазовым потоком.
R
n
. Отображение x = ϕ(t, t0,x0) пространства
Если функция, задающая фазовый поток, зависит не от t и t
а лишь от их разности t − t
, то фазовый поток называется
0
автономным, в этом случае можно считать t
(в дальнейшем t
поток x = ϕ
=0). Будем обозначать автономный фазовый
0
). В дальнейшем будем рассматривать только
t(x0
автономные фазовые потоки.
Пусть для множеств Ω из некоторого класса измеримых
подмножеств фазового пространства определена мера mes(Ω).
Будем считать, что фазовый поток x = ϕ
измеримое множество Ω
в измеримое множество Ωtза вре-
0
мя t. Фазовый поток назовем лиувиллевым или консервативным, если для любого t 0 и для любого измеримого мно-
35
n
. (7.1)
. При этом пространство
0
n+1
вида x = ϕt(x0)=x(t, x0),
фиксированным
0
) переводит
t(x0
∈ Rnи
0
,
0
жества функция m(t)=mes(Ωt) постоянна, и будем называть
фазовый поток диссипативным, если эта функция убывающая.
Для фазовых потоков систем вида (7.1) имеется критерий лиувиллевости [9,10].
Теорема 4. Для того чтобы фазовый поток системы (7.1)
был лиувиллев, необходимо и достаточно чтобы выполнялось
условие
div(f )=
n
i=1
∂f
∂x
i
i
(x)=0.
Если же div(f ) < 0, система будет диссипативна и ее фазовый объем будет со временем сокращаться. В конечном счете
(то есть при t →∞) все решения такой системы сосредоточат-
ся на некотором подмножестве фазового пространства, которое
называется аттрактором. Более точно аттрактором по Лэнд-
форду называется такое множество B фазового пространства
n
, которое удовлетворяет условиям:
R
1) B инвариантно относительно фазового потока;
2) существует окрестность G (область притяжения), которая сжимается к B под действием потока;
3) B нельзя разложить на два непересекающихся инвариантных множества.
Рассмотрим виды аттракторов диссипативной системы (7.1)
в зависимости от размерности n.
При n =1существует только один вид аттракторов: устойчивые особые точки. При n =2существует два вида аттракторов: устойчивые особые точки и устойчивые предельные циклы
(аттракторы в узком значении этого термина, см. главу 3.). Эти
аттракторы имеют размерность соответственно0и1.Других
видов аттракторов нет в силу теоремы Пуанкаре–Бендиксона.
При n 3 кроме устойчивых особых точек и устойчивых
предельных циклов появляются устойчивые инвариантные то-
ры. В частности, двумерные инвариантные торы представляют
36
собой поверхности, образованные траекториями квазипериодических решений с двумя рационально независимыми частотами. Отметим, что многомерные притягивающие торы являются
неустойчивым образованием, так как под воздействием всегда
присутствующих в системе возмущений происходит синхронизация колебаний.
Все перечисленные аттракторы называются простыми, поскольку являются многообразиями целой размерности. Но в
системах размерности n 3 могут существовать и аттракторы,
не являющиеся простыми, они получили название странные.
7.2. Модель Лоренца
Рассмотрим систему Лоренца, которая получается из уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости:
⎧
˙x = σy −σx,
⎨
˙y = rx −y − xz,
⎩
˙z = xy − bz.
Здесь σ – число Прандля, r – приведенное число Рэлея, b –
постоянная, характеризующая размеры физической системы.
8
Будем считать, что σ =10, b =
, и проследим эволюцию си-
3
стемы при изменении положительного параметра r.
Дивергенция системы div(f )=−(b + σ +1) < 0, поэтому
система диссипативна. Система Лоренца симметрична относительно замены x →−x, y →−y, z → z, поэтому ее фазовый
портрет симметричен относительно оси Oz.
Найдем положения равновесия из уравнений
(7.2)
σy − σx =0,rx− y − xz =0,xy− bz =0,
откуда получаем, что начало координат O(0, 0, 0) при любых
значениях параметра является положением равновесия.
Если r>1, то в системе возникает еще два положения равновесия: точки O
−
b(r − 1),r− 1).
(b(r − 1),b(r − 1),r−1) и O2(−b(r − 1),
1
37
Исследуя корни линеаризованной системы вблизи положения равновесия, получаем, что при r<1 точка O устойчива, а
при r>1 теряет устойчивость. Точки O
чивость при r>r
= σ(σ + b +3)/(σ − b − 1) = 23.
c
и O2теряют устой-
1
Численными расчетами можно обнаружить [9] в диапазоне
13.926 <r<r
точки O
r = r
и O2, радиус которых уменьшается с ростом r. При
1
предельные циклы сливаются с точками и точки теряют
c
наличие предельных циклов, окружающих
c
устойчивость. Единственным устойчивым предельным множеством при r>r
кривых, переходящих от вращения вокруг точки O
нию вокруг точки O
будет аттрактор Лоренца — совокупность
c
к враще-
1
. Поведение траекторий выглядит хаотич-
2
но. На рис. 11 приведено поведение траекторий при r =28.
Рис. 11. Две проекции решения системы (7.2) [7, с. 127]
Можно попытаться исследовать аттрактор Лоренца методом сечений Пуанкаре, проведя в фазовом пространстве плоскость Π:z = r − 1. Численное изучение отображения P (Π)
показывает, что существует критическая линия, выше которой
решения идут вправо, а ниже — влево. Следовательно, образ
P (Π) состоит из двух множеств, как показано на рис. 12.
38
Рис. 12. Отображение Пуанкаре [7, с. 128]
2
Отсюда вытекает, что образ P
3
— восемь слоев и т. д., причем слои размещаются все ближе
P
включает четыре слоя, образ
друг к другу. Поэтому аттрактор состоит из бесконечного числа листов, расположенных наподобие канторова совершенного
множества. Причина возникновения аттракторов сложной природы — в двух явлениях, могущих одновременно возникать в
нелинейных системах: глобальной (структурной) устойчиво-
сти и локальной неустойчивости.
7.3. Количественные характеристики аттракторов
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (7.1) и
для нее два решения x
x
(0) и x2(0) соответственно. Обозначим d(t)=x2(t) − x1(t).
1
Назовем энтропией Колмогорова–Синая
ks = lim
Отметим, что эта характеристика глобальная по тому множеству фазового пространства, откуда берутся начальные условия. В частности, если начальные условия берутся из окрестности устойчивого положения равновесия, то, как можно проверить, ks < 0. Для устойчивых предельных циклов и инвариантных торов ks =0. В случае странных аттракторов ks > 0.В
последнем случае часто используют также t
(t) и x2(t) с начальными условиями
1
d(t)
1
d(0)→0,t→∞
ln
t
d(0)
.
=1/ks — время
mix
39
перемешивания, начиная с которого описание поведения системы может быть только вероятностным.
Введем другую характеристику. Зафиксируем начальную
точку x(0) = x
приращение ξ ∈ R
(t), соответствующее начальному условию x0+ δξ. Введем
x
1
d(t)=x
(t) −x(t). Показателем Ляпунова, определенным на
1
и соответствующее ей решение x(t). Дадим
0
n
начальной точке и рассмотрим решение
векторах начального смещения, назовем
Λ(ξ) = lim
δ→0,t→∞
ln
t
|δ|ξ
.
1
d(t)
Функция Λ(ξ) меняется скачками и принимает лишь конечное число значений Λ
, Λ2,...,Λn, совпадающих с показателя-
1
ми Ляпунова в смысле определений раздела 2. пособия [3] для
системы уравнений в вариациях, линеаризованной вблизи решения x(t). Отметим некоторые свойства показателей Ляпунова [9]:
1. Один из показателей Ляпунова, отвечающий смещению
вдоль траектории, не оканчивающейся в особой точке,
всегда равен нулю.
2. Сумма показателей Ляпунова равна среднему вдоль траектории значению дивергенции.
3. Максимальный из показателей Ляпунова равен энтропии
Колмогорова–Синая.
Опираясь на эти свойства, проведем классификацию аттракторов диссипативных систем в зависимости от знаков показателей Ляпунова.
Для одномерной системы аттракторами могут быть только
устойчивые особые точки, для которых существует один показатель Ляпунова, который является отрицательным (–).
Для двумерной системы аттракторами могут быть устойчивые особые точки, для которых существуют два отрицатель-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]