Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие
.pdf
5
М
j
x
x
A
j
x
2 320
xx
12
2
.
Уравнения обеих прямых получаются из первого и третьего условий
системы (4.19) при замене их на строгие равенства. Это означает полный
расход досок и трудовых ресурсов. Однако точка
не принадлежит
2
прямой, описываемой уравнением
11
xx
12
24
65,
поэтому второе условие системы (4.19), связанное с ограниченным запасом обивочной ткани, имеет форму неравенства:
50 < 65.
Проведенный анализ показывает, что дальнейшее увеличение стоимости продукции регламентируется запасом досок и трудовыми ресурсами.
4.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ
В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Модель распределения ресурсов. Предположим, что имеется m ресур-
сов в количествах, задаваемых вектором
b [4]. Столбец
характеризует j-й способ производства; переменная
a
матрицы А
представляет
j
собой интенсивность этого способа производства, которая подлежит
выбору. При использовании j-го способа производства с интенсивно-
стью
xaxb
затрачивается
j
n
jj
j
1
. Если доход от j-го способа производства, используе-
мого с единичной интенсивностью, равен
тенсивностях
, где j = 1, …, n, равен
ax
jj
различных ресурсов. Следовательно,
c
, то общий доход при ин-
j
n
cx c x
jj
1
j
T
. Следовательно,
рассматриваемая задача может быть интерпретирована как задача распределения вектора ресурсов
b между различными производственными
71
способами таким образом, чтобы получить максимально возможный
A
x
суммарный доход. Это задача линейного программирования:
T
cx
; (4.25)
max
xb ; (4.26)
0x . (4.27)
Для некоторых практических задач такая детерминированная модель неадекватна реальности, так как коэффициенты дохода
, ...,
cc
1
n
являются не фиксированными, а случайными параметрами. Предположим, что
( , ..., )
cc c и ковариационной матрицей V. Тогда значение целевой
с – случайный вектор с математическим ожиданием
1
T
n
функции также будет случайной величиной (обозначим ее через z) с математическим ожиданием
T
cx и дисперсией
T
. В таком случае
Vx
можно рассмотреть следующие задачи:
T
cx ; (4.28)
xVx
max
T
, (4.29)
min
т. е. задачу максимизации ожидаемого значения z (4.28) либо задачу ми-
нимизации дисперсии z (4.29) при тех же условиях-ограничениях (4.26),
(4.27).
Первая задача с целевой функцией (4.28) также является задачей линейного программирования, а задача с целевой функцией (4.29) является задачей квадратичного программирования. Однако при максимизации ожидаемого дохода z мы полностью пренебрегали его
рассеянием.
С другой стороны, когда минимизировалась дисперсия, не принималось
во внимание ожидаемое значение z. В реальных задачах может возникнуть потребность иметь большое ожидаемое значение дохода и в то же
время малую дисперсию, что является многоцелевой задачей. Рассмотрим подход к одновременному изучению ожидаемых значений и их рассеяния.
Предположим
меньше некоторого значения
, требуется, чтобы ожидаемое значение было не
z , часто называемого желаемым уровнем
72
или уровнем удовлетворительности. Такая задача может быть сформу-
f
лирована в виде целевой функции
T
xVx
(4.30)
min
и ограничений (4.26), (4.27), к которым прибавится ограничение на уровень удовлетворительности:
T
с xz
. (4.31)
Эта задача также является задачей квадратичного программирова-
ния.
Другой возможный подход состоит в следующем. Пусть
Prob ( )
может быть достигнут. Очевидно, целесообразно максимизировать
Предположим теперь, что вектор случайных параметров
ставить как функцию
а y – случайная переменная. Тогда если
T
cx z , т. е. – вероятность того, что желаемый уровень
.
с можно пред-
d + y f, где d и f – фиксированные векторы,
T
0
fx , то
Prob ( ) Prob
TT
dx yf x z y
В этом случае задача максимизации
сводится к следующей задаче
T
zdx
T
x
. (4.32)
с целевой функцией:
T
zdx
T
fx
min
(4.33)
при тех же ограничениях (4.26), (4.27). Это задача дробно-линейного
программирования.
Имеются также и другие подходы к решению многоцелевых задач
[3, 15, 16].
Модель распределения ресурсов при заданном отношении
к риску
Описанные выше подходы к оптимизации дисперсий и ожидаемых
значений дохода не учитывают поведение индивидуумов, не желающих
рисковать. Например, индивидуум, который хочет избежать риска,
73
может предпочесть доход с ожидаемым значением в 100 тыс. руб. и дис-
x
персией 10 доходу с ожидаемым значением в 110 тыс. руб. и дисперсией 30. Индивидуум, выбирающий ожидаемое значение дохода
100 тыс. руб., менее расположен к риску, чем тот, кто может выбрать
альтернативу с ожидаемым значением дохода 110 тыс. руб. Эта разница
в отношении к
риску может быть учтена введением полезности денег
для индивидуума.
Для большинства индивидуумов ценность дополнительного значения одной тысячи рублей убывает при увеличении его полного чистого
богатства. Ценность, связанная с чистым богатством z, называется его
полезностью u. Удобно нормировать полезность так, чтобы u = 0 при
z = 0 и u → 1 при z → ∞.
Функция u, называемая функцией полезности
индивидуума, обычно неубывающая непрерывная функция. На рис. 4.8
изображены две типичные функции полезности для двух индивидуумов.
Для индивидуума A увеличение дохода на
,
на
больше, чем 1, то этот индивидуум будет предпочитать меньшее
а потери дохода
1
2
z
уменьшают полезность на
z
увеличивает полезность
.
Поскольку
2
рассеяние дохода. Такой индивидуум меньше расположен к риску, чем
индивидуум B, функция полезности которого также изображена на
рис. 4.8.
Различные кривые типа кривых A и B, изображенных на рис. 4.8, мо-
гут быть заданы в форме
kz
() 1
uz e
, (4.34)
где
0k называют коэффициентом неприятия риска. Чем больше k,
тем меньше индивидуум расположен к риску.
Предположим теперь, что текущее богатство равно нулю, так что
полное богатство равно доходу z. Предположим, что
пределенный случайный вектор с математическим ожиданием
вариационной матрицей
с математическим ожиданием
Функция
плотности распределения дохода записывается в виде
V. Тогда z – нормальная случайная величина
T
z с x и дисперсией
1
1
ze
()
2
2
74
2
zz
c – нормально рас-
c и ко-
2 T
.
Vx
. (4.35)
Рис. 4.8. Функции полезности
Требуется максимизировать ожидаемое значение полезности, задаваемое выражением
1exp exp
kz
(1 ) ( ) 1 exp
e z dz kz dz
11 1
2
exp
1exp
kz k
22
1
2
2
1exp2kz k
11
2
zzk
2
22
75
2
2
1
1
zzk
2
22
zz
2
kz k dz
2
. (4.36)
2
22
2
dz
Следовательно, максимизация ожидаемого значения полезности эк-
вивалентна максимизации
kz k
22
2
. Подставляя вместо
2
и
z
их
1
значения, получим задачу квадратичного программирования c целевой
функцией
1
TT
kc x k x Vx
2
max
, (4.37)
2
при этом условия-ограничения (4.26) и (4.27) остаются прежними.
76
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих / сост.
Д. А. Поспелов. – Москва : Педагогика-Пресс, 1994. – 352 с.
2. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин. – 2-е изд. – Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 285 с.
3. Казанская О. В. Модели и методы оптимизации. Практикум : учеб. посо-
/ О. В. Казанская, С. Г. Юн, О. К. Альсова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,
бие
2012. – 204 с.
4. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы : пер.
с англ. / М. Базара, К. Шетти. – Москва : Мир, 1982. – 583 с.
5. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методоло-
гия / Е. С. Вентцель. – Москва : Знание без границ, 1976. – 202 с
6. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. – June 1965. – Vol. 8,
Iss. 3. – P. 338–353.
7. Тихонов А. Н. Вводные лекции по прикладной математике / А. Н. Тихо-
нов, Д. К. Костомаров. – Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 192 с.
8. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем : пер. с англ. – 4-е изд. – Москва : Вильямс, 2003. – 864 с.
9. Яновская Т. Б. Обратные задачи
ская, Л. Н. Порохова. – 2-е изд., доп. и перераб. – Санкт-Петербург : Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2004. – 214 с.
10. Жданов М. С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике /
М. С. Жданов. – Москва : Научный мир, 2007. – 712 с.
11. Перегудов Ф. И. Введение в системный анализ :
зов / Ф. И. Перегудов, Ф. П. Тарасенко. – Москва : Высшая школа, 1989. –
367 с.
12. Торвальд Ю. Сто лет криминалистики / Ю. Торвальд. – Москва : Прогресс, 1974. – 448 с.
13. Кузнецов А. В. Руководство к решению задач по математическому про-
граммированию / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод. – Минск : Вышэйшая школа,
1978. – 256 с.
геофизики : учеб. пособие / Т. Б. Янов-
учеб. пособие для ву-
.
77
14. Шмырев В. И. Лекции по математическому программированию. Ч. 1 :
учеб. пособие / В. И. Шмырев. – Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та,
1998. – 102 с.
15. Yu P. L. The set of all non-dominated solutions in linear cases and a multicriteria simplex method / P. L. Yu, M. Zeleny // Journal of Mathematical Analysis
and Applications. – 1975. – Vol. 49, N 2. – P. 430–468. – DOI 10.1016/0022247X(75)90189–4.
16. Zelany M. A concept of compromise solutions and the method of the displaced ideal / M. Zelany // Computers & Operations Research. – December 1974. –
Vol. 1, iss. 3–4. – P. 479–496.
78
Зеркаль Сергей Михайлович
Пинигина Дарья Леонидовна
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Редактор Е.Е. Татарникова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор Л.Н. Киншт
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 17.11.2022. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.
Уч.-изд. л. 4,65. Печ. л. 5,0. Изд. № 131. Заказ № 295. Цена договорная
Новосибирского государственного технического университета
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
79
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]