Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие
.pdf
Как и в предыдущем случае, при
02rr V
отрицательна и функция l(r) убывает, при
3
2
rr
2
2
производная
производная поло-
жительна и функция l(r) возрастает. Следовательно, своего наименьшего значения эта функция достигает в точке
, в которой ее про-
rr
2
изводная обращается в нуль. График функции показан на рис. 4.1, б.
а б
Рис. 4.1. Графики функций:
а – S(r); б – l(r)
Итак, радиус и высота банки, наилучшие с точки зрения условия минимальности, определяются следующими формулами:
V
3
r
2
,
2
2
22
, (4.8)
2hr
при этом
()34 ()lr V lr. (4.9)
3
2
61
Мы видим, что при разных критериях оптимизации получаются су-
x
x
x
x
f
щественно различные ответы. В первом случае (формула (4.5)) высота
наилучшей банки равна ее диаметру, во втором (формула (4.8)) она
в π раз больше диаметра.
4.3. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода [7]. Ежедневно
с первого склада вывозится 50 т муки, со второго – 70 т. Эта мука доставляется на хлебозаводы, причем первый завод получает 40 т, второй – 80 т. Допустим, что перевозка одной тонны муки с первого склада
на первый завод стоит 1200 руб., с первого склада на
второй завод –
1600 руб., со второго склада на первый завод – 800 руб. и со второго
склада на второй завод – 1000 руб. Как нужно спланировать перевозки,
чтобы их стоимость была минимальной?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, дадим математическую постановку задачи. Обозначим через
и
1
количество муки, которую
2
следует перевезти с первого склада соответственно на первый и второй
заводы, а через
и
3
– количество муки, которую нужно перевезти
3
со второго склада на первый и второй заводы. Эти условия приводят к
системе уравнений
xx
12
50,
xx
34
xx
13
70,
(4.10)
40,
xx
24
80;
x
i
0
,
1, 4i
. (4.11)
Первые два уравнения системы определяют, сколько муки нужно
вывезти с каждого склада, два следующих уравнения показывают,
сколько муки нужно привезти на каждый завод. Неравенства (4.11)
означают, что в обратном направлении с заводов на склады муку не возят. Общая стоимость всех перевозок определяется формулой
1200 1600 800 1000
xxx x
1234
62
. (4.12)
С математической точки зрения задача заключается в том, чтобы
x
x
xxxxx
найти числа
(i = 1, 2, 3, 4), удовлетворяющие условиям (4.10), (4.11)
i
и минимизирующие стоимость перевозок (4.12).
Рассмотрим систему (4.10). Это система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако независимыми в ней являются только
первые три уравнения, четвертое – их следствие (если сложить первое и
второе уравнения и вычесть третье, получится четвертое). Таким образом, фактически нужно рассмотреть следующую систему, эквивалентную (4.10):
xx
12
xx
34
50,
70,
(4.13)
xx
13
40.
В ней число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, поэтому
мы можем выбрать какую-нибудь неизвестную, например
, и выра-
1
зить через нее с помощью уравнений (4.13) три остальные. Соответствующие формулы имеют вид:
50 ,
21
40 ,
31
(4.14)
41
x
30 .
Учитывая условие (4.11), получаем систему
0,
x
1
50 0,
x
1
40 0,
x
1
(4.15)
30 0,
x
1
из которой следует
040x
. (4.16)
1
63
Таким образом, задавая любое
x
x
x
x
x
x
x
и вычисляя
,
,
2
по формулам (4.14), мы получим один из воз-
3
4
, удовлетворяющее условию (4.16),
1
можных планов перевозки. При реализации этого плана с каждого
склада будет вывезено и на каждый завод доставлено нужное количество муки.
Вычислим стоимость перевозок. Для этого поставим выражения (4.14) в формулу (4.12). В результате получим
142 000 20fx
. (4.17)
1
Эта формула определяет величину f как функцию одной переменной
которую можно выбирать произвольно в пределах усло-
,
1
вий (4.16). Стоимость окажется минимальной, если мы придадим величине
1
величин
наибольшее возможное значение
находятся по формулам (4.14).
i
. Значения остальных
40x
1
Итак, оптимальный по стоимости план перевозок имеет вид
1
40,x
2
10,x
0,x
3
4
(4.18)
70.x
Стоимость перевозок в этом случае составляет 134 000 руб. При любом другом допустимом плане перевозок она окажется выше:
min
134 000ff
.
Как видно из постановки задачи, она является довольно простой.
Однако если повысить размерность задачи, то ее уже будет довольно
трудно решить аналитически. Для решения так называемой транспортной задачи существуют специальные методы, которыми она решается
достаточно эффективно [13, 14].
4.4. ЗАДАЧА ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РЕСУРСОВ
Мебельная фабрика выпускает стулья двух типов [7]. На изготовление одного стула первого типа стоимостью 8 тыс. руб. расходуется 2 м
досок стандартного сечения, 0,5 м
времени. Для стульев второго типа аналогичные данные составляют
12 тыс. руб., 4 м, 0,25 м
2
и 2,5 чел.-ч.
2
обивочной ткани и 2 чел.-ч рабочего
Допустим, что в распоряжении фабрики имеется 440 м досок, 65 м
обивочной ткани, 320 чел.-ч рабочего времени. Какое количество стульев каждого типа надо изготовить, чтобы в рамках этих ресурсов стоимость произведенной продукции была максимальной?
2
64
Для ответа на этот вопрос постараемся опять сформулировать за-
x
x
x
x
f
x
x
x
x
дачу как математическую. Обозначим через
и
1
запланированное
2
к производству число стульев соответственно первого и второго типа.
Ограниченный запас сырья и трудовых ресурсов означает, что
и
1
2
должны удовлетворять неравенствам
2 4 440,
xx
12
11
xx
12
24
5
2 320.
xx
12
2
65,
(4.19)
Кроме того, по смыслу задачи они должны быть неотрицательными:
0,x
1
(4.20)
0.x
2
Стоимость запланированной к производству продукции определяется формулой
(, )8 12
xx x x
12 1 2
. (4.21)
Итак, с математической точки зрения задача составления оптимального по стоимости выпущенной продукции плана фабрики сводится к
и
определению пары целых чисел
1
, удовлетворяющих линейным
2
неравенствам (4.19), (4.20) и дающих наибольшее значение линейной
функции (4.21). Мы опять получили типичную задачу линейного программирования. По своей постановке она несколько отличается от
транспортной задачи, однако это различие несущественно.
Для анализа сформулированной задачи рассмотрим плоскость и введем на ней декартову систему координат
,
. Найдем на этой плос-
1
2
кости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям
(4.19) и (4.20). Неравенства (4.20) означают, что это множество лежит
в первой четверти. Выясним теперь смысл ограничений, которые задаются неравенствами (4.19).
65
Проведем на плоскости прямую, определяемую уравнением
2 4 440xx
12
, (4.22)
как показано на рис. 4.2. Она делит плоскость на две полуплоскости.
На одной из них, расположенной ниже прямой, описываемой уравнением (4.22), функция
(,)2 4 440Fx x x x
112 1 2
принимает отрица-
тельные значения; на другой, расположенной выше данной прямой, –
положительные. Таким образом, первое из неравенств (4.19) выполняется на множестве точек, которое включает в себя прямую (4.22) и полуплоскость, расположенную ниже этой прямой. На рис. 4.2 соответствующая часть плоскости закрашена серым цветом.
Рис. 4.2. Решение неравенства
2 4 440xx
12
Совершенно аналогично можно найти множества точек, удовлетворяющих второму и третьему неравенствам из системы (4.19). Они показаны на рис. 4.3 и 4.4 серым цветом.
Возьмем пересечение трех найденных множеств и выделим его
часть, расположенную в первой четверти. В результате получим множество точек, удовлетворяющих всей совокупности ограничений (4.19),
(4.20). Это множество имеет вид пятиугольника,
показанного на рис. 4.5.
Его вершинами являются точки пересечения прямых, на которых неравенства (4.19), (4.20) переходят в точные равенства. Координаты вершин пятиугольника указаны на рис. 4.5.
66
Рис. 4.3. Решение неравенства
11
xx
12
24
65
Рис. 4.4. Решение неравенства
67
5
2320
xx
12
2
Рис. 4.5. Пятиугольник
х
х
х
удовлетворяют системе неравенств (4.19), (4.20)
OM M M M
1234
, точки которого
Любой точке P с целочисленными координатами
(, )
х
12
, принад-
лежащей полученному пятиугольнику, соответствует план выпуска стульев, который может быть выполнен при имеющихся запасах сырья и
трудовых ресурсах (реализуемый план). Если же точка P не принадлежит пятиугольнику, то соответствующий план не может быть выполнен
(нереализуемый план).
,
Рассмотрим на плоскости
1
линии уровня целевой функ-
2
ции (4.21):
812 .xxС
12
(4.23)
Это уравнение описывает семейство прямых, параллельных прямой
812 0xx
12
68
. (4.24)
При параллельном переносе этой прямой вправо параметр С возрас-
f
M
тает, влево – убывает.
Свойства функции (4.21) тесно связаны с прямыми (4.23). Вдоль
каждой из них она сохраняет постоянное значение, равное С, а при переходе с одной прямой на другую ее значение меняется.
Будем рассматривать только первую четверть. Предположим, что
мы перешли из точки
, расположенной на одной прямой, в точку
P
1
P
2
расположенную на другой прямой (рис. 4.6). Если вторая прямая расположена дальше от начала координат, чем первая, то функция f при этом
переходе возрастет. Отсюда следует важный вывод: оптимальный план
должен располагаться на прямой семейства (4.23), наиболее удаленной
от начала координат.
,
Рис. 4.6. Линии уровня функции
Возрастание функции при переходе из точки
,2()81
xx x x .
12 1 2
P в точку 2P
1
Этот вывод позволяет закончить решение задачи. На рис. 4.7 воспроизведен пятиугольник реализуемых планов и проведена прямая семей-
ства (4.23), проходящая через точку
69
с координатами (60, 80).
2
Она является предельной прямой семейства, имеющей общую точку
с пятиугольником. Если мы попытаемся с помощью параллельного переноса отодвинуть ее дальше от начала координат, то получим прямую,
не имеющую общих точек с пятиугольником, т. е. соответствующие
планы нереализуемы.
Рис. 4.7. Определение оптимального плана
производства стульев
Итак, оптимальный план найден, он предписывает производство
60 стульев первого типа и 80 стульев второго типа. Стоимость этой продукции 1440 тыс. руб. На выполнение плана нужно затратить 440 досок,
2
50 м
обивочной ткани и 320 чел.-ч рабочего времени.
Мы видим, что оптимальный план требует полного использования
запаса досок и трудовых ресурсов, в то время как обивочная ткань будет
израсходована не полностью – останется 15 м
Этот результат ясен из рис. 4.7. Точка
2
.
,М определяющая опти-
2
мальный план, является вершиной пятиугольника. Она лежит на пересечении прямых, заданных уравнениями
24 440,xx
12
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]