Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие
.pdf
Если такая таблица составлена, то говорят, что игра приведена
A
B
p
к матричной форме (само по себе приведение игры к такой форме уже
может составить трудную задачу, а иногда и практически невыполнимую из-за необозримого множества стратегий). Заметим, что если игра
приведена к матричной форме, то многоходовая игра фактически сведена к
одноходовой: от игрока требуется сделать только один ход –
выбрать стратегию.
В таких играх стратегию можно выбирать по принципу минимакса [5], т. е. для игрока нужно выбрать ту стратегию, при которой минимальный выигрыш будет максимален. Эта величина – гарантированный выигрыш, он называется нижней ценой игры
(или «максими-
ном» – максимальным из минимальных выигрышей). Игрок В должен
выбрать ту стратегию, при которой величина проигрыша минимальна.
Это то значение выигрыша, больше которого заведомо не отдаст разум-
ный противник. Она называется верхней ценой игры
сом» – минимальным из максимальных выигрышей). Если
(или «минимак-
,
то го-
ворят о том, что минимаксные стратегии неустойчивы по отношению
к информации о поведении другой стороны и не обладают свойством
равновесия. Если они равны, то это равенство нижней и верхней цены
игры называется ценой игры , а выигрыш, достигаемый при этой паре
стратегий, называется седловой точкой матрицы. Стратегии игроков,
при которых этот выигрыш достигается, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность – решением игры. Про саму игру
в таком случае говорят, что она решается в чистых стратегиях. Обеим
сторонам, А и В, можно указать их оптимальные стратегии, при которых
их положение будет наилучшим из возможных. Бывают стратегии сме-
шанные, состоящие
в том, что игрок применяет не какую-то одну стра-
тегию, а несколько, перемежая их случайным образом. Если допустить
кроме чистых еще и смешанные стратегии, то всякая конечная игра будет иметь решение – точку равновесия.
Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель
изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из
игроков не знает, как
поведет себя противник в данной партии. Обозначим смешанные
стратегии игроков А и В соответственно
( , , ..., )
Sqq q , где
12
n
, , ...,
pp (образующие в сумме еди-
12
m
Sppp
ницу) – вероятности применения игроком А стратегий
, , ...,
qq q
а
12
– вероятности применения игроком В стратегий
n
12
, , ...,
А A А ,
12
, , , ...,()
m
m
41
, , ...,
В
A
B
ВВ. В частном случае, когда все вероятности, кроме одной,
12
n
равны нулю, а эта одна равна единице, смешанная стратегия превращается в чистую.
Основная теорема теории игр: любая конечная игра двух лиц с ну-
левой суммой имеет, по крайней мере, одно решение – пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных
SS
AB
и соответству-
**
, ,
ющую цену .
**
, ,
Пара оптимальных стратегий
SS
AB
образующих решение
игры, обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не будет выгодно отступать от своей.
Методы решения конечных игр. Перед тем как решать игру m × n,
нужно прежде всего попытаться ее упростить, избавившись от лишних
A
стратегий. Стратегия
тегией
A , если в строке iA стоят выигрыши не меньшие, чем в соот-
k
ветствующих клетках строки
ствительно больше, чем в соответствующей клетке строки
выигрыши строки
то стратегия
A называется дублирующей стратегию kA . Аналогично
i
игрока А называется доминирующей над стра-
i
A , и из них, по крайней мере, один дей-
k
A
. Если все
k
A равны соответствующим выигрышам строки kA ,
i
определяются доминирование и дублирование для стратегий игрока В:
доминирующей называется та его стратегия, при которой везде стоят
проигрыши не большие, чем в соответствующих клетках другой, и, по
крайней мере, один из них действительно меньше; дублирование означает полное повторение одного столбца другим. Естественно, что если
для какой-то стратегии
есть доминирующая, то эту стратегию можно
отбросить, также отбрасываются и дублирующие стратегии.
а
Пусть имеется игра m × n без седловой точки с матрицей
а
лицу на с. 40). Допустим, что все выигрыши
положительны (этого
ij
(см. таб-
ij
всегда можно добиться, прибавляя ко всем членам матрицы достаточно
*
большое число М; от этого цена игры увеличится на М, а решение
*
S не изменится). Если все
а
положительны, то, конечно, и цена
ij
S ,
игры, т. е. средний выигрыш при оптимальной стратегии, тоже положительна: > 0.
42
Мы хотим найти решение игры, т. е. две оптимальные смешанные
A
B
В
A
p
х
х
стратегии
*
(, ,..., )
Sppp ,
12
m
*
( , , ..., )
Sqqq , (2.16)
12
n
дающие каждой стороне максимально возможный для нее средний выигрыш (минимальный проигрыш).
*
Найдем сначала
.AS Мы знаем, что если один из игроков (в данном
случае это А) применяет свою оптимальную стратегию, то другой (В)
не может улучшить свое положение, отступая от своей. Заставим противника В отступать от своей оптимальной стратегии – он будет поль-
зоваться чистыми стратегиями
*
держимся стратегии
S ). В любом случае наш выигрыш будет
ВВ
12
(а мы тем временем упорно
n
, , ...,
не меньше, чем :
ap ap a p
11 1 12 2 1
ap ap a p
21 1 22 2 2
ap ap ap
21 22
nn mnm
... ,
mm
... ,
mm
...
... .
(2.17)
Разделим неравенства (2.17) на положительную величину v и введем
следующие обозначения:
pp
12
xx x
,,...,
12
vv v
m
m
. (2.18)
Тогда условия (2.17) примут вид
... 1,
mm
... 1,
mm
...
... 1,
, , ...,
xx
12
m
(2.19)
удовлетворяют условию.
где
, , ...,
xx – неотрицательные переменные. В силу того, что
12
рр р
12
m
... 1
n
ax ax a x
11 1 12 2 1
ax ax a x
21 1 22 2 2
ax ax a x
21 2 2
nn mnm
, переменные
Но v есть не что иное, как наш гарантированный выигрыш. Естественно,
43
мы хотим сделать его максимальным, а значит, величину 1/ – мини-
х
х
р
мальной.
Таким образом, задача решения игры свелась к математической за-
, , ...,
даче: найти такие неотрицательные значения переменных
xx,
12
m
чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям-неравенствам (2.17)
и обращали в минимум линейную функцию этих переменных:
Lx x x . (2.20)
12
... min
m
Это не что иное, как задача линейного программирования. Таким образом, задача решения игры m × n свелась к задаче линейного программирования с n ограничениями-неравенствами и m переменными. Зная
, , ...,
xx
12
, можно по формулам (2.18) найти
m
, , ...,
рр
12
и, следова-
n
тельно, оптимальную стратегию S* и цену игры .
Оптимальная стратегия игрока В находится аналогично с той разницей, что В стремится минимизировать, а не максимизировать выигрыш,
т. е. обратить не в минимум, а в максимум величину
1/ , а в ограниче-
ниях-неравенствах вместо знаков ≥ будут стоять знаки ≤. Пара задач линейного программирования, по которой находятся оптимальные страте-
гии
AB
называется парой двойственных задач линейного про-
**
, ,
SS
граммирования. Доказано, что максимум линейной функции в одной из
них равен минимуму линейной функции в другой, так что все в порядке
– разных значений цены игры мы не получим.
44
ГЛАВА 3
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА, ЧАСТИЧНО
ИЛИ ПОЛНОСТЬЮ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫЕ,
И ПОДХОДЫ К ИХ РЕШЕНИЮ
3.1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ, ОПИСАНИЕ ЗАДАЧ
И ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ ИХ РЕШЕНИЯ
Изучение системного анализа невозможно без рассмотрения такой
сферы человеческого знания и деятельности, как искусственный интел-
лект (ИИ). Приведем одно из возможных определений искусственного
интеллекта.
Искусственный интеллект можно определить как область компьютерной науки, занимающуюся автоматизацией разумного поведения [8].
Следует отметить, что такое определение искусственного интеллекта
отражает его современное состояние как область компьютерной
в основу которой искусственный интеллект и входит как важная составляющая. Однако нельзя забывать о том, что искусственный интеллект
корнями уходит в глубокую древность и философия его развития уже
насчитывает не одно тысячелетие. Логической отправной точкой здесь
следует считать труды Аристотеля. Ближе всего к обсуждаемым истокам искусственного интеллекта
познания, чему посвящена книга Аристотеля «Логика». Эта книга представляет собой инструмент познания, причем в ней содержится важный
вывод о том, что основой знания служит изучение самой мысли.
Следует также отметить исследование истинности суждений с использованием их взаимосвязи с другими утверждениями с установленной
истинностью. Это уже
имеет прямое отношение к системному анализу.
находится эпистемология, или наука
науки,
45
Достаточно вспомнить пример силлогизма: поскольку известна ис-
тина, что «все люди смертны», а «Сократ – человек», то очевидно,
что «Сократ смертен».
Использованное здесь дедуктивное правило modus ponens имело заметную популярность. В связи с этим можно привести известное высказывание Рене Декарта: «Я мыслю, следовательно, существую». В рамки
данного курса не входит рассмотрение
философии Декарта, однако
необходимо привести два имеющих особое значение для нашего изложения следствия.
Первое следствие. Понимание дуализма, объясняющего материаль-
ное и духовное (разум и физический мир) взаимодействие умственных
состояний и физических действий. Это понимание позволило Рене Декарту объединить геометрию – наглядную, «осязаемую» область математики – с математическими абстракциями алгебры и создать аналитическую геометрию. Ментальные процессы не только самостоятельно
существуют по своим законам, но и
могут развиваться внутри себя, т. е.
изучаться посредством себя тоже.
Второе следствие. Ментальное и физическое, будучи разделенными
с позиций дуализма, для человеческого существования в условиях прогресса требуют своего воссоединения. Искусственный интеллект выполняет функцию такого «соединения», так как умственные процессы,
как и материальные (физические), можно охарактеризовать с помощью
формальной математики. Ментальные процессы реализуются в таких
физических системах, как человеческий мозг или
компьютер. Еще в
XVII веке философ Томас Гоббс сформулировал важное высказывание:
«Мышление есть лишь расчет». Таким образом, мышление начало рас-
сматриваться как некая форма вычислений – и как процесс, и как результат. В его изучение основательно проникла формализация вплоть
до механизации. С этого момента системный анализ увеличил темпы
своего развития, получая
новые инструменты для решения своих задач.
Первую систему формальной логики создал Готфрид Вильгельм
Лейбниц, и уже в начале XVIII века Леонард Эйлер при решении задачи
о кёнигсбергских мостах использовал понятия системного анализа для
доказательства отсутствия нужного решения в рассматриваемой постановке. Эта задача имеет название, связанное с именем великого математика: «
Задача поиска пути Эйлера в графе».
Искусственный интеллект стал областью разработки и аккумулирования стратегий и методов решения сложных задач, возникающих
в различных областях человеческой деятельности, но обладающих
46
общностью формализаций в постановке и построении решений.
Эти стратегии и методы определяются на современном этапе развития
цивилизации умением эффективно использовать информацию во всех
ее многочисленных проявлениях, что невозможно без информационновычислительных технологий, объединяемых в информатику – науку,
всеобъемлюще изучающую получение, преобразование, передачу, использование и хранение информации. Такое положение дел определяется
произошедшей в ХХ столетии, начиная с его середины, компьютерной революцией. Практически все инструменты и методическая база
методов, приемов и подходов к решению проблемных ситуаций в современном анализе опираются на достижения информатики. Задача Эйлера,
о которой шла речь выше, привела его к созданию теории графов, оказавшейся чрезвычайно плодотворной
для построения описания постановок и алгоритмов решения так называемых «интеллектуальных задач», порождаемых проблемами, возникающими на стыке «исчислимости» и «описательности». Теория графов также используется там, где
использование формул, вычислений и математического анализа не
представляется возможным, поэтому приходится применять законы логики и специальные разделы информатики. Именно такие ситуации и
требуют применения системного анализа, позволяющего выработать
улучшающее вмешательство и справиться с имеющейся проблемой.
С позиции системного анализа весьма интересно остановиться на обсуждении одного из основополагающих понятий искусственного интеллекта – «целенаправленного поиска в пространстве состояний».
Обратиться к поиску решения некоторой рассматриваемой задачи
среди альтернативных вариантов представляется разумным с точки зрения здравого смысла, потому что именно так и решаются человеком те
или иные задачи. Действительно, анализируя и сопоставляя ряд альтернативных вариантов из числа обладающих перспективами, системный
аналитик вырабатывает улучшающее вмешательство и решает проблему, если, конечно, это вообще возможно. Таково поведение шахматиста или врача, ставящего диагноз. Математик, доказывая теорему
в сложном случае, выбирает линию доказательства среди набора возможных стратегий. Решение задачи строится методом поиска, и именно
такое интеллектуальное поведение лежит в основе поиска решения
в пространстве состояний.
Отмеченное выше понятие пространство состояний является одним из основных в теории графов и рассматривается после изучения основ этой теории.
В связи с этим дадим следующее определение.
47
Граф представляет собой множество так называемых вершин и дуг,
их соединяющих. Размеченный граф в каждой своей вершине имеет
метку (дескриптор), что позволяет различать эти вершины. Если задано
описание «пространства состояний задачи» и организуется поиск на
графах, то на графе пространства состояний отмечаются (идентифицируются) состояния, возникающие в ходе решения задачи. В
случае когда
дескрипторы вершин не различаются, такие вершины являются одинаковыми. Метки двух вершин определяют соответствующую дугу. Таким
образом, граф состоит из множества вершин, которое необязательно
должно быть конечным, и множества дуг, соединяющих некоторые
пары его вершин.
В пространстве состояний задачи вершины графа соответствуют
состояниям решения частных задач, а дуги – соответственно
этапам ре-
шения задачи.
Приведем формальное представление задачи в пространстве состоя-
ний.
Определение «поиск в пространстве состояний». Пространство
состояний принято представлять четырьмя компонентами [
N, A, S, GD]:
N – множество вершин графа (или состояний) в процессе решения
поставленной задачи;
A – множество дуг, соответствующих шагам в процессе решения за-
дачи и соединяющих вершины графа;
S – множество (непустое) начальных состояний задачи;
GD – подмножество N, тоже непустое, формируемое из целевых со-
стояний, которые описываются одним из двух способов.
Цель может описывать искомое состояние и, кроме того, включать
определенные характеристики допустимых траекторий.
Таким образом, алгоритм поиска заключается в отыскании допустимой траектории пути в пространстве состояний. Иными словами, алгоритмы должны ориентировать и направлять дуги от
начальной вершины
к целевой так, как они включают последовательность операций, ведущую к решению задачи.
Следует отметить одну из общих проблем, заключающуюся в том,
что искомые состояния могут достигаться различными путями, т. е. присутствует элемент неоднозначности. Если при этом возникают такие явления, как петли и циклы, то алгоритм не
сможет привести к цели.
Примем, что исходные данные и цель известны. Тогда поиск
в пространстве состояний можно выполнять по двум направлениям:
от исходных данных к цели и в обратном направлении: от цели задачи
48
к ее исходным данным. В математике, а именно в математической фи-
зике, отмеченная траектория от цели к исходным данным, в которые
здесь входит объект исследования (а точнее, искомые характеристики
этого объекта), является результатом интерпретации измерительных
данных, выполняющих роль цели, которые могут обеспечиваться непосредственно самим объектом (гравитация, магнетизм и др.) или
быть откликом объекта на какое-либо «рабочее» воздействие, зондирующий
сигнал.
Возникающая в таких условиях задача заключается в обращении
причинно-следственных связей, т. е. по следствию (данным измерения)
определяется причина, оказавшая свое влияние на измерения (те самые
искомые характеристики). Таким образом, поиск происходит от цели
(измерительных данных) к объекту исследования
(в данном случае
среда, к начальным условиям). Наглядным примером служат обратные
задачи геофизики [9, 10].
Данное сочетание носит очевидный характер, так как большинство
задач системного анализа в связи с его проблематикой – это так называемые интеллектуальные задачи. В отличие от задач расчетного типа,
опирающихся на соответствующую теорию – вычислительную математику, интеллектуальные задачи
изначально находились в менее выиг-
рышном положении.
Инструментарий системного анализа как нельзя лучше подходит
для решения многих интеллектуальных задач, и часто системный подход является единственным ведущим к поставленной цели. Само определение системного анализа и регламент функционирования системного аналитика предполагают направленную интеллектуальную деятельность, использующую метапроцедуры, изучаемые в психологии
мышления при моделировании творческой деятельности. Существует
несколько отмеченных метапроцедур, одна из них связана с лабиринт-
ной моделью. Суть лабиринтной гипотезы, на которой основана лабиринтная модель творческой деятельности, состоит в следующем: переход от исходных данных задачи к ее решению лежит через лабиринт
возможных альтернативных путей. Не все пути ведут
к желаемой цели,
многие из них заводят в тупик, из которого надо уметь возвращаться
к тому месту, где потеряно правильное направление. Такая процедура
носит название целенаправленный поиск в лабиринте возможностей.
Таким образом, в условиях лабиринтной модели мышления решение
всякой творческой задачи сводится к целенаправленному поиску в лабиринте альтернативных путей с
оценкой успеха после каждого шага.
49
Изначально ожидалось, что целенаправленный поиск в лабиринте возможностей – универсальная процедура, способная решать любые интеллектуальные задачи, но практика показала, что это не так. Пришлось столкнуться с задачами, в которых лабиринта возможностей
просто не существовало или он был слишком велик для этой метапроцедуры. Так, современные шахматные программы реализуют ком
-
плекс метапроцедур, связанных с различными моделями мышления.
Наряду с лабиринтной моделью существует ассоциативная модель
мышления. Здесь метапроцедура включает в себя ассоциативный поиск и ассоциативное рассуждение. Основным элементом в данном
случае является предположение, что решаемая задача может иметь
много общего с уже решенными задачами, и способ решения ее должен
быть близок к тому, который позволил решить похожую задачу.
Таким образом, на первый план выходит умение найти нечто похожее,
что раньше встречалось и было эффективно решено. Таков ассоциативный поиск. Понятие ассоциации, конечно, шире, чем просто «схожесть», «похожесть». Тут работает и «контраст», и «смежность»,
т. е. некоторые явления (события) возникали
(случались) в одной и той
же ситуации или имели временную корреляцию. Ассоциативное рассуждение переносит приемы и подходы из прошлого на рассматриваемую проблему. Близким примером может служить выработка у
спортсменов, занимающихся единоборствами, так называемого динамического стереотипа, когда в ходе тренировки закрепляется память
о ситуациях, удобных для выполнения того
или иного действия – «приема». Такая «память» позволяет успешно на автоматическом уровне
выполнять прием и добиваться успеха. Процедура ассоциативного поиска и рассуждения сыграла важную роль в создании эффективного
программного обеспечения в распознавании образов, в классификационных задачах и в обучении компьютера. Однако следует отметить, что
сказанное об ассоциативной модели и
ассоциативном рассуждении получило развитие лишь в частном, хотя и весьма важном классе ассоциаций, называемых условными рефлексами.
Для получения более общего эффективного результата оказалось необходимым использовать другую модель мышления, основанную
на идее внутреннего представления проблемной области, информации
о ее особенностях, устройстве, закономерностях и процедурах действия
с ней. Здесь
речь идет о так называемой модельной гипотезе, согласно
которой мыслительный аппарат человека (мозг) содержит модель проблемной ситуации, требующей принятия решения (поиска улучшающего
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]