Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сетевое планирование и управление. Учебное пособие
.pdf
2 2 3 2
(0) (0) (200) 0,z f z x
3 3 4 3
(0) (0) (200) 0,z f z x
4 4 4
(200) (200), 200.z f x
Таким образом, для обеспечения максимальной эффективности
деятельности всех предприятий (получения максимальной прибыли),
равной 122 млн руб., необходимо все средства (200 млн руб.) выделить четвертому предприятию. Полученный оптимальный план x* составляет x* = (0,0,0,200).
9.3. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Возникновение теории управления запасами можно связать с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившимися в конце XIX – начале XX века, в которых исследовалась простая оптимизационная
модель для определения экономичного размера партии поставки для
складской системы с постоянным равномерным расходом и периодическим поступлением хранимого продукта.
Запасом называется любой ресурс, который хранится для удовлетворения будущих нужд. Примерами запасов могут стать полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, различные товары, а также
денежная наличность, находящаяся в хранилище.
Существуют причины, побуждающие фирмы создавать запасы:
1) дискретность поставок при непрерывном потреблении;
2) упущенная прибыль в случае отсутствия запаса;
3) случайные колебания:
а) спроса за период между поставками;
б) объема поставок;
в) длительности интервала между поставками;
4) предполагаемые изменения конъюнктуры:
а) сезонность спроса;
б) сезонность производства.
Существуют также причины, побуждающие предприятия стре-
миться к минимизации запасов на складах:
31
1) плата за хранение запаса;
2) физические потери при хранении;
3) моральный износ продукта.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе,
вы будете уметь формулировать и использовать для экономического
анализа следующие понятия:
– запас;
– заказ;
– издержки выполнения заказа (издержки заказа);
– издержки хранения;
– упущенная прибыль (издержки дефицита);
– срок выполнения заказа;
– точка восстановления.
Существует проблема классификации имеющихся в наличии за-
пасов. Для ее решения используется методика административного
наблюдения. Цель ее заключается в определении той части запасов
фирмы, которая требует наибольшего внимания со стороны отдела
снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по
двум параметрам:
1) его доля в общем количестве запасов фирмы;
2) его доля в общей стоимости запасов.
Методика 20/80. В соответствии с этой методикой компоненты запаса, составляющие 20 % его общего количества и 80 % его общей стоимости, должны отслеживаться отделом снабжения более
внимательно.
Методика АВС. В рамках этой методики запасы, имеющиеся в
распоряжении предприятия, подразделяются на три группы: А, В и С.
Группа А: 10 % общего количества запасов и 65 % их стоимости;
В: 25 % общего количества запасов и 25 % их стоимости;
С: 65 % общего количества запасов и около 10 % их стоимости.
Именно наименьшая по объему и наиболее ценная часть запасов
может стать предметом особого контроля и математического моделирования. Необходимо отметить, что классификация запасов мо-
32
жет быть основана не только на показателях доли в общей стоимости
и в общем количестве. Некоторые виды запасов могут быть причислены к более высокому классу на основании таких характеристик, как
специфика поставок, качество и т.д. Преимущество методики деления
запасов на классы заключается в том, что для каждого из них можно
выбрать свой порядок контроля и управления.
Отметим некоторые моменты политики управления запасами,
классификация которых проведена на основе АВС-анализа.
1. Запасы группы А требуют более внимательного и частого проведения инвентаризации; правильность учета запасов этой группы
должна подтверждаться чаще.
2. Планирование и прогнозирование запасов группы А должно
характеризоваться большей степенью точности, нежели планирование запасов групп В и С.
3. Для группы А нужно стараться создать страховой запас, чтобы
избежать больших расходов, связанных с отсутствием запасов этой
группы.
9.4. ЗАДАЧА О ЗАМЕНЕ ОБОРУДОВАНИЯ
Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, штампов, производственных зданий и т.п.). Под старением оборудования понимается
как физический, так и моральный износ. При этом растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижается
производительность труда.
Ставится задача максимизации, если критерием оптимальности
является прибыль от эксплуатации оборудования, или задача минимизации, если критерием оптимальности являются суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода. Основная характеристика оборудования − это его возраст t (параметр состояния).
Таким образом, задача замены оборудования сводится к определению
оптимального срока эксплуатации оборудования (механизма).
33
В начале каждого года принимается решение либо о замене
оборудования новым, либо об эксплуатации его в течение еще одного года. При составлении динамической модели процесс замены
рассматривается как n-шаговый. Возможные управления на каждом
шаге характеризуется качественными признаками, например, Xc −
сохранить оборудование, Xз − заменить оборудование, Xр − ремонт
оборудования.
Введем обозначения:
C(t) − прибыль от эксплуатации t-летнего оборудования на протяжении года;
R(t) − затраты на его обслуживание за тот же период;
S(t) − стоимость продажи оборудования, которое эксплуатирова-
лось t лет;
D − стоимость нового оборудования. Принимаем, что стоимость
оборудования остается неизменной на протяжении всех лет.
Особенности модели динамического программирования:
– этап i представляется номером года i, i =1,2,…, n;
– вариантами решения на i-том этапе (т.е. для i-го года) являются
альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить оборудование
в начале i-того года.
Пусть fi (t) − максимальная прибыль, получаемая за годы от i до n
при условии, что в начале i-того года оборудование t-летнего возраста.
Рекуррентное соотношение имеет вид
,
если эксплуатировать оборудование;
,
если заменить оборудование.
Пример.
Оборудование эксплуатируется в течение пяти лет, затем продается. В начале каждого года принимается решение сохранить оборудование или заменить новым. Стоимость нового оборудования
руб.
34
После t лет эксплуатации ( ) оборудование можно продать
1, если ,
1,2,3,4.
1, если .
c
k
k
з
k
t X X
sk
XX
1200( 1), если ,
, 1,2,3,4.
9200 8000 2 , если .
c
k
kk
t з
k
t X X
f X t k
XX
за рублей − ликвидная стоимость. Затраты на содержание в течение года зависят от возраста оборудования t и равны
. Определить оптимальную стратегию эксплуатации
оборудования, чтобы затраты были минимальны с учетом начальной
покупки и конечной продажи.
Решение. Рассматриваем способ деления управления на шаги по
годам, n = 5. Параметр состояния − возраст оборудования – ,
, оборудование новое в начале первого года эксплуатации.
Управление на каждом шаге зависит от двух переменных: −
сохранить оборудование, − заменить оборудование.
Уравнение состояний зависит от управления:
(9.3)
Если к k-тому шагу , то при сохранении оборудования
( ) через год возраст оборудования увеличится на 1. Если обо-
рудование заменяется новым ( ), то это означает, что к началу
k-того шага его возраст будет t=0, а после года эксплуатации t=1, т.е.
.
Показатель эффективности k-того шага:
При имеем затраты только на эксплуатацию оборудования
возраста t, при оборудование продается (-8000·2t руб.), покупается новое оборудование (8000 руб.) и эксплуатируется в течение пер-
вого года (1200 руб.), общие затраты равны
(8000·2t+8000+1200) руб.
35
Пусть − условные оптимальные затраты на эксплуатацию
( 1)
( 1)
1200( 1) 8000 2 , если ,
( ) min 1,2,3,4.
9200 8000 2 8000 2 , если .
tc
k
k
tt з
k
t X X
Z t k
XX
1
1
1200( 1) ( 1), если ,
( ) min 1,2,3,4.
9200 8000 2 (1), если .
c
kk
k
t з
kk
t Z t X X
Z t k
Z X X
min 1
(0)ZZ
9200 8000 2 .
зt
X
оборудования начиная с k-того шага до конца, при условии, что к началу k-того шага оборудование имеет возраст t лет.
Запишем для функции уравнение Беллмана, заменив задачу
максимизации на задачу минимизации:
Величина 80002
-(t+1)
– стоимость оборудования возраста t лет (по
условию оборудование после 5 лет эксплуатации продается)
Из определения следует:
.
Представим геометрическое решение задачи. По оси абсцисс
будем откладывать номер шага k, по оси ординат − возраст t оборудования. Точка (k-1) на плоскости соответствует началу k-того года
эксплуатации оборудования возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-том шаге показано
на рис. 9.3.
Состояние начала эксплуатации оборудования соответствует точке , конец − точкам (6; t). Любая траектория, переводящая
точку из в (6; t), состоит из отрезков – шагов, соответствующих годам эксплуатации.
Над отрезком, соединяющим точки и , указаны
затраты, соответствующие управлению , а над отрезком, соединяющим точки и – затраты, соответствующие
Таким образом можно разметить все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из состояния в
(рис. 9.4).
36
Рис. 9.3
Рис. 9.4
Например, над отрезками, соединяющими точки и ,
стоит число 3600, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года оборудования возраста года, а над отрезками, соединяющими точки и , стоит число 7200 − это
сумма затрат на покупку и эксплуатацию нового оборудования в течение года без «затрат» за проданное оборудование возраста t лет,
.
Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 9.4) условную оптимизацию.
37
V шаг. Начальное состояние – точка (4;1), конечное состояние –
5
точка (5;t). В состоянии (5;t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен 8000·2t, но поскольку целевая
функция связана с затратами, в кружке (5;t) поставим величину дохода со знаком минус.
Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное состояние на V шаге.
Состояние (4;1). Из него можно попасть в состояние (5;2), затратив на эксплуатацию 2400 и выручив затем от продажи 2000, т.е.
суммарные затраты равны 400, и в состояние (5;1) с затратами 5200-
4000=1200. Значит, если к последнему шагу система находилась в
точке (4;1), то следует идти к точке (5;2) (будем указывать это направление двойной стрелкой). А неизбежные минимальные затраты,
соответствующие этому переходу, равны 400 (пометим эту величину
в кружке (4;1).
Состояние (4;2): из него можно попасть в точку (5;3) с затратами
3600-1000=2600 и в точку (5;1) с затратами 7200-4000=3200. Выбира-
ем первое управление. Отмечаем его двойной стрелкой, а Z
(2)=2600
проставляем в кружке точки (4;2).
Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего
шага, найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на
V шаге, отметим его на рис. 9.4 двойной стрелкой. Далее планируем
IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться
система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до
конца процесса, т.е. решаем для всех при k=4 уравнения
(9.3). Например, если начало IV шага соответствует точке (3;1), то
при управлении система переходит в точку (4;2). Затраты на этом
шаге 2400, а суммарные затраты равны 2400+2600=5000. При управлении затраты за два шага равны 5200+400=5600. Выбираем минимальные затраты 5000, ставим их в кружок (3;1), а соответствующее управление на этом шаге помечаем двойной стрелкой, ведущей
из состояния (3;1), в состояние (4;2). Так поступаем для каждого состояния (3;t) (см. рис. 9.4).
38
Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, получим на
, , , ,
ccз c c
X X X X X X
рис. 9.4 следующую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит
стрелка, указывающая, куда следует перемещаться на данном шаге,
если система оказалась в точке, а в кружках записаны минимальные
затраты на переход из этой точки в конечное состояние. На каждом
шаге графически решались уравнения (9.3).
После проведения условной оптимизации получим в точке (0;0)
минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет
с последующей продажей: . Далее строим оптимальную
траекторию, перемещаясь из точки по двойным стрелкам в
. Получаем набор точек
{(0;0),(1;1),(2;2),(3;1),(4;2),(5;3)},
который соответствует оптимальному управлению
.
Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить оборудование на новое в начале 3-го года [3, 5].
10. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Построить фрагмент сетевого графика, если начало ра-
боты A5 зависит только от окончания работ A1и A3, начало работы
A4 – только от окончания работы A3, начало работы A6 – только от
окончания работ A2 и A3.
Задача 2.Построить фрагмент сетевого графика, содержащего
шесть работ, если начало работы A4 зависит от результата выполнения работы A2, работа A5 может быть начата после выполнения
работ A1, A2, работа A6 может быть начата после завершения работ A3 и A4.
Задача 3.Построить фрагмент сетевого графика, если он включает семь работ и при этом работа A3 выполняется после работ A1 и
A4, работа A4 начинается после выполнения работы A2, работа A6
39
может быть выполнена после работ A4 и A5, работа A7 выполняется
Объем
капиталовложений
(млн руб.)
Прирост выпуска продукции в зависимости от объема
капиталовложений (млн руб.)
1
2
X
1
()fx
2
()fx
0
44
76
120
160
200
0
32
56
72
78
88
0
24
50
62
53
96
после завершения работ A3 и A6.
Задача 4. Построить сетевой график по следующим данным: ра-
боты A1,A2, A3 могут выполняться одновременно после свершения
исходного события, работы A4 и A5 начинаются после окончания работы A1, работы A6 и A7 могут начаться после выполнения работ A2
и A4, начало работ A8 и A9 зависит от результата работы A3, работа
A10 может быть начата после выполнения работ A5, A6, к работе A11
можно приступить после завершения работ A7 и A8, работу A12 следует начать после окончания работы A9, работа A13 будет выполняться после завершения работ A10, A11, A12.
Задача 5. Для увеличения объемов выпуска пользующейся по-
вышенным спросом продукции, изготавливаемой двумя предприятиями города, выделены с=200 млн руб. Использование i-тым предприятием X млн руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением . Требуется найти
распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции.
Таблица 10.1
Задача 6. Оборудование эксплуатируется в течение 10 лет, затем
продается. В начале каждого года принимается решение – сохранить
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]