Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сетевое планирование и управление. Учебное пособие
.pdf
3.1. Для сокращения выбирается критическая работа с min коэф-
k i j,
t i j,
i j,
Z i j,
T i jу,
Z i j t i j T i j
т у
, , ,
t i jт,
t i j T i j
т н
, ,
T
к р
T
п
T T T
к п
р
i j,
t t i j Z i j T
т
, min , ,
T
Z i j,
T
Z i j,
C k i j t ,
фициентом нарастания затрат
, у которой есть запас сокращения
времени.
3.2. Определяется время
длительность работы
. При этом руководствуются следующими
, на которое необходимо сжать
соображениями.
3.2.1. Максимально возможный запас времени для сокращения ра-
боты на текущий момент
, где
(
только для работ, еще не подвергшихся сокращению).
3.2.2. Кроме критического пути длительностью
подкритический путь длительностью
сократить больше, чем
ограничивается значением
– текущее время выполнения работы
, в сети есть
. Критический путь нельзя
, поскольку в этом случае крити-
, т.е.
ческий путь перестанет быть таковым, а подкритический путь, наоборот, станет критическим.
3.2.3. Исходя из вышесказанного время сокращения длительности
выбранной работы
равно
. Другими слова-
ми, если разность между длительностью критического и подкритического путей
, то имеет смысл сокращать работу только на
ном случае можно сокращать работу полностью на величину
меньше текущего запаса времени сокращения работы
дней. В против-
.
В результате сжатия критической операции получают новый календарный план, возможно, с новыми критическими и подкритическими путями, и обязательно с новыми более высокими затратами на
выполнение проекта. Это происходит вследствие удорожания ускоренной работы. Общая стоимость проекта увеличивается на
.
В результате оптимизации строится график «время – затраты»
(рис. 8.3).
21
Затраты
Время
A
B
T
пр max
T
пр min
C
пр min
C
пр max
t
a m b
o
4
6
Рис. 8.3
8.5. ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ
В описанных методах анализа сетей предполагалось, что время
выполнения работ точно известно, однако на практике сроки выполнения работ обычно довольно неопределенны. В таких случаях обычно используют экспертные оценки минимальной (a), максимальной
(b) и наиболее вероятной длительности (m) работ для расчета их ожи-
даемой продолжительности. Тогда ожидаемая продолжительность
работы определяется по формуле
.
Данный метод основан на предположении, что время выполнения
каждой отдельной работы аппроксимируется -распределением. При
таком подходе можно оценивать вероятность наступления событий в
пределах их ранних и поздних сроков, вероятность завершения проекта к заранее установленной дате и другие вероятностные характеристики.
8.6. ЗАДАЧА
Структура сетевой модели (СМ) и оценки продолжительности
работ (в сутках) заданы в таблице. Требуется:
а) получить все характеристики СМ;
22
б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за
Работа
Продолжительность
Ожидаемая
Дисперсия
(i, j)
tmin(i, j)
tmax(i, j)
Продолжительность
tож(i, j)
S2 (i, j)
(1.2)
5
7.5 5 0.25
(2.3)
4
6.5 5 0.25
(2.4)
3
6 3 1.00
(2.5)
1
5.5 4 0.25
(3.7)
0.5
3.5 1 0.36
(4.5)
5
7.5 6 0.25
(4.6)
3
5.5 4 0.25
(4.9)
5
10 7 1.00
(5.8)
2
4.5 3 0.25
(5.10)
7
12 9 1.00
(6.9)
0
0 0 0.00
(6.11)
3
8 5 1.00
(7.10)
4
9 6 1.00
(8.10)
2
7 4 1.00
(9.10)
1
6 3 1.00
(10.11)
8
10.5 9 0.25
35 дней, за 30 дней;
в) оценить максимально возможный срок выполнения всего ком-
плекса работ с надежностью 95 % (т.е. р = 0,95).
Три первые графы в табл. 8.2 содержат исходные данные, а две
последние графы – результаты расчетов по формулам.
Таблица 8.2
Решение задачи.
Исходя из данных табл. 8.2, получим следующие вычисления:
tож(1,2)=(3*5 +2*7,5):5 =6;
tож(2,3)=(3*4 +2*6,5):5 =5;
S2 (1,2) = (7,5 – 5)^2:25 =0,25;
S2 (2,3) = (6,5 – 4)^2:25 =0,25.
Отсюда получим сетевую модель (рис. 8.4).
23
6 5 1 4 3 6 4
1 2 3 4 7
5 18 9 6
1
7 0 3 5 9 9 3 4 6
6 5 1
4
3 6 4
1 2 3 4 7
5
10
8 9 6
11
7 0 3
5
9 9 3
4
6
1
Рис. 8.4
Напомним, что критическим является путь: Lкр = (1,2,4,5,10,11),
а его продолжительность равна tкр= tож= 33 дня.
Дисперсия критического пути составляет:
S2Kp = S2(l, 2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10, M) =
= 0,25 + 1,00 + 0,25 + 1,00 + 0,25 = 2,75.
Тогда имеем:
Р(tкр <35) = 0.5 + 0.5 Ф (1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885;
Р(tкр <30) = 0,5 – 0,5Ф (1,8) = 0,5 – 0,5 0,95 = 0,035.
Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет
выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5 %, в то время как
вероятность его выполнения за 30 дней – всего 3,5 %.
Решение обратной задачи.
Для решения второй (по существу, обратной) задачи прежде всего найдем в исходной таблице значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95 %. В графе Ф(z) наиболее близкое к
ней значение (0,9545100 %) соответствует г = 1,9. Тогда получим:
Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.
24
Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса
работ при заданном уровне вероятности р = 95 % составляет 36,2 дня [8].
9. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
9.1. ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Задача для нахождения путей минимальной длины из данной
вершины во все остальные называется задачей о кратчайшем пути
(вершины – город; стрелки-дуги – дороги).
Пример 1. Предположим, что в вершине 1 находится электро-
станция, вырабатывающая электроэнергию. Необходимо передать
выработанную электроэнергию в город, который находится в вершине 6. Передача проводится по линиям электропередач, соединяющим
промежуточные подстанции – вершины 2, 3, 4, 5. Расстояния между
всеми пунктами показаны на рис. 9.1.
Рис. 9.1
Предполагая, что стоимость передачи электроэнергии прямо пропорциональна длине передающих линий, необходимо найти оптимальное (с минимальной стоимостью) маршрут передачи электроэнергии.
Сетевое представление допускает и многие задачи, не связанные
непосредственно с какими-либо перевозками или территориальными
перемещениями.
Пример 2. В 0-й момент времени приобретается новая машина
по цене 120 000. Годовые расходы на эксплуатацию зависят от возраста автомобиля и приведены в табл. 9.1.
25
Для того чтобы избежать высоких расходов на эксплуатацию,
12
20 120 70 70C
13
20 40 120 60 120C
14
20 40 50 120 20 210C
15
20 40 50 90 120 10 310C
16
20 40 50 90 120 120 0 440C
Таблица 9.1
Таблица 9.2
Возраст
автомобиля
Ежегодный
расход
на эксплуатацию
Возраст
автомобиля
Продажная
стоимость
автомобиля
0
20 000
0
70 000
1
40 000
1
60 000
2
50 000
2
20 000
3
90 000
3
10 000
4
120 000
4
0
имеет смысл в какой-то момент продать автомобиль и купить новый.
Продажная стоимость автомобиля в зависимости от возраста приведена в табл. 9.2.
Предположим, что стоимость покупки нового автомобиля всегда
составляет 120 000. Требуется минимизировать затраты на автомобиль в ближайшие 5 лет. Под затратами понимается: «стоимость покупки нового автомобиля» + «стоимость эксплуатационных расходов» – «стоимость продажи подержанного автомобиля».
Решение. Сформулируем данную задачу о кратчайшем пути. Сеть
будет содержать 6 вершин. i-тый номер вершины соответствует началу
i-того года. Ситуации i j (дуга (i, j) соответствует ситуация покупки
нового автомобиля в начале года и содержание его до начала года.
Длина дуги (i, j) , обозначаемая C
разом: C
=«стоимость эксплуатации в течение года» + «стоимость
i,j
, вычисляется следующим об-
i,j
покупки в начале года» – «стоимость продажи подержанного автомобиля». Используя данные задачи, вычислим (в тыс. руб.):
26
23
20 120 70 70C
24
20 40 120 60 120C
25
20 40 50 120 20 210C
26
20 40 50 90 120 10 310C
34
20 120 70 70C
35
20 40 120 60 120C
36
20 40 50 120 20 210C
45
20 120 70 70C
46
20 40 120 60 120C
56
20 120 70 70C
Теперь легко заметить, что длина любого пути из вершины 1 в
вершину 6 соответствует 5-летним затратам на автомобиль при выборе соответствующей стратегии продажи и покупки. Соответствующая
сеть должной задачи изображена на рис. 9.2.
Рис. 9.2
Например, предположим, что машина продается в начале 3-го года. Затем покупается новая машина и продается в конце 5-го года
(начало года 6). Эта стратегия соответствует пути 1-3-6. Длина данного пути составляет C
томобиль за рассматриваемый период.
13
+ C
= 330 и соответствует затратам на ав-
36
27
9.2. ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
Объем
капиталовложений
(млн руб.)
Прирост выпуска продукции в зависимости от объема
капиталовложений (млн руб.)
1 2 3
4
X
1
()fx
2
()fx
3
()fx
4
()fx
0
0 0 0 0 40
32
14
20
20
80
56
32
30
38
120
72
50
54
54
160
78
78
84
68
200
88
102
118
122
1
max
k
k k k
jj
j
Z c x
4
1
200, 0, 1,2,3,4.
kk
k
x x k
Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным
спросом продукции, изготавливаемой четырьмя предприятиями города, выделены с = 200 млн руб. (табл. 9.3). Использование i-тым предприятием X млн руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением f
(x). Требуется найти
i
распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции.
Таблица 9.3
Будем считать, что прибыль f
(x) не зависит от вложения средств
i
в другие предприятия; прибыль от каждого предприятия выражается
в одних единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.
Целевая функция для данной задачи имеет вид
.
Переменные х удовлетворяют ограничениям:
Существуют различные способы решения подобных задач, применяемые в зависимости от вида целевой функции, ограничений,
размерности и т.д.
28
Особенности модели. Ограничения линейные, переменные цело-
11
max , ,
n n n n n
Z s f s x
1 1 1
max , ( ) , 1, 2, ,2,1.
k k k k k k k
Z s f s x z s k n n
44
( ) max .z c f c
3 3 4
( ) max ( ) .
xc
z c f x z c x
44
( ) .z c f c
*
3
z
3
(40) max 0 20;20 0 20,z
3
(80) max 0 38;20 20;30 0 40,z
3
(120) max 0 54;20 38;30 20;54 0 58,z
3
(160) max 0 68;20 54;30 38;54 20;84 0 84,z
3
(200) max 0 122;20 68;30 54;54 38;84 20;118 0 122.z
*
3
z
численные, а функции f
(x) заданы таблично, поэтому нельзя исполь-
i
зовать методы целочисленного программирования. Вычислительная
схема связана с принципом оптимальности и использует рекуррентные соотношения:
Распределение ресурсов будем производить с точностью до 40
единиц. Согласно обратной схеме Беллмана, показатель эффективности деятельности одного предприятия
Объединенный показатель эффективности деятельности двух
предприятий определяется выражением
Следовательно,
Произведем вычисления значений функции
и результаты за-
пишем в табл. 8.
Аналогично вычисляются показатели эффективности деятельности трех и четырех предприятий.
Произведем вычисления значений функции
пишем в табл. 9.4.
29
и результаты за-
2 2 3
( ) max ( ) , 0,40,80,120,160,200.
xc
z c f x z c x c
(9.1)
2
(40) max 0 20;14 0 20,z
2
(80) max 0 40;14 20;32 0 40,z
2
(120) max 0 58;14 40;32 20;50 0 58,z
2
(160) max 0 84;14 58;32 40;50 20;78 0 84,z
2
(200) max 0 122;14 84;32 58;50 40;78 20;102 0 122.z
1 1 2
( ) max ( ) , 0,40,80,120,160,200.
xc
z c f x z c x c
1
(40) max 0 20;32 0 32,z
1
(80) max 0 40;32 20;56 0 56,z
1
(120) max 0 58;32 40;56 20;72 0 76,z
1
(160) max 0 84;32 58;56 40;72 20;78 0 96,z
2
(200) max 0 122;36 84;36 50;72 38;78 14;88 0 122.z
x
1
()fx
1
()zx
2
()fx
2
()zx
3
()fx
3
()zx
4
()fx
4
()zx
0 0 0 0 0 0 0 0 0
40
32
32
14
20
20
20
20
20
80
56
56
38
40
30
40
38
38
120
72
78
50
58
54
58
54
54
160
78
96
78
84
84
84
68
68
200
84
122
102
122
118
122
122
122
max 1
(200) 122.zz
1 1 2 1
(0) (0) (200) 0,z f z x
(9.2)
Результаты вычислений по формулам (9.1)-(9.2) запишем в
табл. 9.4.
Таблица 9.4
Из таблицы находим оптимальный план распределения выделенных средств. Максимальное значение целевой функции составляет:
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]