Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дисциплине «Информатика». Методические указания к проведению практических занятий по дисциплине «Информатика», для студентов первого
.pdf
Двоичное число
Десятичное число
00000010
2
00000100
4
00001000
8
00010000
16
00100000
32
Ускорить процедуру устного перевода двоичных чисел в десятичные числа можно с
помощью ещѐ одного способа, который публикуется здесь впервые. Назовѐм его «Способом
перевода с делением байта на тетрады».
Идея преобразования двоичных чисел заключается в умножении переводимого числа
на число 2 столько раз, на сколько разрядов оно сдвинуто влево. Проиллюстрируем идею с
помощью таблицы.
Из таблицы видно, что смещение единицы на один разряд влево эквивалентно умноже-
нию десятичного числа на 2. Способ рекомендуется использовать при устном переводе двоичных чисел в десятичные числа. Чаще всего приходится переводить восьмиразрядные двоичные числа (байты).
Для практического использования этого способа перевода следует байт разделить по-
полам (на две тетрады А и В) и переводить эти части по-отдельности.
Пример 12. Перевести двоичное число 11110000 в десятичную СС.
Решение.
Разобьѐм байт на две тетрады и выполним их перевод в десятичную СС. А = 1111, В
=0000.
Традиционный перевод числа А в десятичную СС даѐт число 15 (см. Пример 10). Пере-
вод числа В даѐт 0.
Число 15 сдвинуто на четыре разряда влево. Последовательное умножение результата
на 2 даѐт числа: 30, 60, 120, 240 (вычисления выполняются в уме).
Ответ.
Перевод двоичного числа 11110000 в десятичную СС дал число 240.
Пример 13. Перевести двоичное число 11000100 в десятичную СС.
Решение.
Разобьѐм байт на две тетрады и выполним их перевод в десятичную СС. А = 1100, В
=0100.
Перевод числа А в десятичную СС даѐт число 12, а числа В даѐт 4.
Число 12 сдвинуто на четыре разряда влево. Последовательное умножение результата
на 2 даѐт числа: 24, 48, 96, 192. Перевод числа В даѐт 4.
Ответ.
Перевод двоичного числа 11000100 в десятичную СС дал число:
192 + 4 = 196.
Восьмиразрядные двоичные числа, которые содержат большое число единиц, можно
быстро переводить в десятичную СС методом вычитания. Для этого из числа 255 вычитаются веса разрядов, в которых расположены нули.
Пример 14.
Перевести число 11111001B из двоичной СС в десятичную СС.
Решение.
Если бы в байте были все восемь разрядов единицами, то такое число в десятичной СС
имело бы значение 255. Две отсутствующие в числе единицы дают в сумме десятичное число
6. После вычитания числа 6 из 255 получим:
11111001B → 249D.
11
1001
0111
0000
0011
Рассмотрим ещѐ один способ кодирования чисел – двоично-десятичную систему счис-
ления.
Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в совре-
менных ЭВМ ввиду лѐгкости перевода в десятичную систему счисления и обратно. Она используется при решении задач учѐтно-статистического характера. В этой системе счисления
все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (тетрадами) и в
таком виде записываются последовательно друг за другом.
Пример 15. Записать десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе счисления.
Решение.
Таким образом, перевод десятичного числа 9703D в двоично-десятичную СС дал такой
результат: 1001011100000011. Этот перевод напоминает перевод шестнадцатеричных чисел в
двоичную СС,
Несерьёзное примечание. В силу физиологического строения человека наибольшее
распространение на Земле получила десятичная СС (у человека десять пальцев на руках). Но
если бы первую систему счисления изобретали разумные осьминоги или сороконожки, то
наибольшее распространение имели бы другие СС.
12
Зада-
ча
Задания
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
1
11001.011
123.250
1111111.101
0.345
10010001
2
10110.101
185.750
1010110.011
0.456
10100001
3
11100.011
112.125
1110110.101
0.567
10110001
4
11011.101
192.625
1010110.001
0.678
11000001
5
10100.011
116.750
1110100.111
0.789
11010001
6
11110.111
115.375
1101110.101
0.234
11100001
7
10011.011
178.750
1100101.011
0.123
10010011
8
11110.101
159.125
1110101.101
0.246
10100011
9
10111.111
145.625
1100100.011
0.357
10110011
10
11010.101
129.750
1011011.101
0.682
11000011
11
11011.011
103.250
1110111.100
0.343
11010011
12
10111.101
105.750
1011110.010
0.121
11100011
13
11101.011
102.125
1110100.101
0.232
00110001
14
11010.101
182.625
1010110.011
0.353
01000001
15
10101.011
106.750
1111100.111
0.454
01100001
16
10110.111
125.375
1101010.110
0.565
01110001
4. Задания для выполнения практической работы
«Системы счисления»
4.1. Перевести числа из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС (см. таб-
лицу 1.1).
4.2. Перевести числа из десятичной СС в двоичную СС.
4.3. Перевести числа из двоичной СС в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
счисления.
4.4. Перевести числа из десятичной СС в двоичную СС с точностью до седьмого знака
после запятой.
4.5. Перевести числа из двоичной СС в десятичную СС способом деления байта на тет-
рады.
Таблица 1.1.
13
Задача
Шестнадцатеричные
числа
Целые
десятичные
числа 1 7AC8
7654 2 BC51
9163 3 DE73
4387 4 14FD
7417 5 DA3B
3174 6 3А2В
3057 7 A03C
4509 8 B49D
3263 9 C98A
1462
10
DF0A
1094
11
E37D
2486
12
FA84
2179
13
2B8C
5104
14
48DA
5902
15
5DA7
6582
16
69FC
8729
4.6. Перевести числа из шестнадцатеричной СС в восьмеричную СС (табл. 1.2).
4.7. Перевести целые числа из десятичной СС в двоично-десятичную СС.
Таблица 1.2.
Домашнее задание
1. Перевести десятичный номер зачѐтки в двоичную СС.
2. Полученное двоичное число перевести в шестнадцатеричную СС.
3. Перевести десятичный номер зачѐтки в двоично-десятичную СС.
14
Аргументы
Функция
x2
x1 F 0 0 1 0 1
0
1 0 0
1 1 1
x
F0(x)
F1(x)
F2(x)
F3(x)
0 0 0 1 1 1 0 1 0
1
Практическая работа № 2
«Логические основы работы ЭВМ»
1. Цель работы
Изучить основные логические операции.
2. Связь с другими темами практических работ
Данная практическая работа является фундаментом для практических работ, связанных
с криптографией и стеганографией.
3. Теоретические сведения и расчѐтные формулы
Для описания работы аппаратных и программных средств ЭВМ используется алгебра
логики или, как еѐ часто называют, булева алгебра. Основоположником этого раздела математики был Джордж Буль. Булева алгебра оперирует с логическими переменными, которые
могут принимать только два значения: истина или ложь, обозначаемые соответственно 1 и 0.
Логические операции широко используются при аппаратной реализации самой ЭВМ и
при программной реализации многих приложений (например, слияние объектов в векторных
графических редакторах осуществляют с помощью логических операций И, ИЛИ, И-НЕ).
Совокупность значений логических переменных x1, x2, ..., xn называется набором пере-
менных.
Логической функцией от набора логических переменных (аргументов) F(x1, x2, ..., xn )
называется функция, которая может принимать только два значения: истина или ложь (1 или
0). Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой
части которой записываются возможные наборы аргументов, а в правой части — соответствующие им значения функции. Логическую функцию порой называют функцией алгебры
логики (ФАЛ).
Ниже приведена таблица истинности для логической функции «Равнозначность».
В случае большого числа аргументов табличный способ задания функции алгебры ло-
гики становится громоздким, поэтому ФАЛ удобно выражать через другие, более простые
ФАЛ.
Общее число ФАЛ n переменных определяется возведением числа 4 в степень n, т. е.
4n. Существуют четыре ФАЛ одной логической переменной.
Таблица 1
Функции F0(х) = 0 и F3(х) = 1 являются константами (функции не изменяются при из-
менении аргумента). Функция F1(х) = х повторяет значение аргумента х. Функция F2(x) на-
зывается отрицанием переменной или инверсией и обозначается так:
F2(x) = x.
Число ФАЛ двух переменных x1 и x2 равно 16: F0(x) ... F15(x). Шесть функций являются
15
2
x
1
x
)()( abacbaF
10
01
1xx
0xx
xx0
xx1
11 x
00 x
xxx
xxx
xyyx
Инверсия
х
x
0 1 1
0
x2
x1
x2 x
1
дизъюнк.
x2 x
1
конъюнк.
x2 x
1
неравноз.
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0
вырожденными: F0(x) = 0, F3(x) = x1, F5(x) = x2, F10(x) =
, F12(x) =
, F15(x) = 1.
Из оставшихся десяти логических функций широкое распространение имеют функции
F1(х) (конъюнкция, логическое умножение, логическая операция И) и F7(х) (дизъюнкция, ло-
гическое сложение, логическая операция ИЛИ), которые совместно с функцией инверсии
составляют функционально полную систему логических функций. С помощью этих трѐх
функций можно представить (аналитически выразить) любую сколь угодно сложную логическую функцию. Очень важной для вычислительной техники и информатики является логическая функция Исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два). Ниже
приведены таблицы истинности для трѐх функций и их условные обозначения.
Логические переменные, объединѐнные знаками логических операций, составляют ло-
гические выражения. Приведѐм пример логического выражения.
.
При определении значения логического выражения принято следующее старшинство
(приоритет) логических операций: сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция и в последнюю очередь — дизъюнкция. Для изменения указанного порядка используют скобки.
Рассмотрим аксиомы, тождества и основные законы алгебры логики.
В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два
значения: 0 и 1. Базируется алгебра логики на отношении эквивалентности и трѐх упомянутых ранее операциях: дизъюнкции (синонимы — логическое сложение, операция ИЛИ),
конъюнкции (логическое умножение, операция И) и отрицании (инверсия, операция НЕ).
Отношение эквивалентности обозначается знаком =.
Дизъюнкция обозначается знаком , а иногда символом +.
Конъюнкция обозначается символом либо точкой, которую можно опускать.
Отрицание обозначается чертой над переменной: x.
Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:
x = 0, если x 1.
x = 1, если x 0.
1 1 = 1 0 0 = 0
0 0 = 0 1 1 = 1
0 1 = 1 0 = 1 1 0 = 0 1 = 0
.
Если в аксиомах произвести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а
также элементов 0 и 1, то из одной аксиомы данной пары получается другая. Это свойство
называется принципом двойственности.
С помощью аксиом можно получить ряд тождеств:
Перечислим законы алгебры логики:
переместительный (или коммутативный)
,
16
xyyx
)()( zyxzyx
)()( zyxzyx
zxyxzyx )(
)()( zxyxzyx
yxyx
yxyx
xx
xyxx
xyxx )(
xyxyx
xyxyx )()(
1)( ABBAF
.1 xx
yxyxyx
1y
.1 xx
)( ABBAF
BAABBABA )(
.
От перестановки местами аргументов результат не изменяется.
сочетательный (или ассоциативный)
Указанные операции можно выполнять в любом порядке.
распределительный (или дистрибутивный)
двойственности (или де Моргана)
,
.
Инверсия от дизъюнкции дает конъюнкцию инверсий.
Инверсия от конъюнкции дает дизъюнкцию инверсий.
двойного отрицания
.
поглощения
,
.
,
.
,
.
склеивания
,
.
Рассмотрим пример преобразования логических выражений.
Пример.
Упростить логическое выражение:
.
Решение.
При проведении преобразований нужно использовать соотношение:
Этот результат получается из определения операции Исключающее ИЛИ:
. При подстановке в это выражение
, получим
Используя закон де Моргана, получим:
.
Выражая операцию неравнозначности через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию,
получим:
.
17
Задача
А В 1
132
201
2
133
202
3
134
203
4
135
204
5
136
205
6
137
206
7
138
207
8
139
208
9
140
209
10
141
210
11
142
211
12
143
212
13
144
213
14
145
214
15
146
215
16
147
216
4. Задания для выполнения практической работы
«Логические основы работы ЭВМ»
4.1.Десятичные числа А и В (табл.2.1) преобразовать в двоичные числа, над которыми
поразрядно выполнить логические операции конъюнкции, дизъюнкции, Исключающее ИЛИ,
инверсии.
Таблица 2.1
18
)()()(
00123
MCASBSBSBASBAF
Задача
S3
S2
S1
S0 M 1 1 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 1 1 0 1 4 1 0 0 1 1 5 1 1 0 0
1
6 0 0 1 1
1
7 1 0 1 0 1 8 0 1 0 1 1 9 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 0 12 1 0 0 1 0 13 1 1 0 0 0 14 0 0 1 1 0 15 1 0 1 0 0 16 0 1 0 1
0
4.2. Работа арифметико-логического устройства (АЛУ) описывается выражением:
.
Определить, какую операцию выполняет АЛУ при заданных значениях управляющих
сигналов (табл.2.2).
Таблица 2.2
Домашнее задание
1. Сформировать двоичное число А. Для этого перевести число, состоящее из двух по-
следних цифр зачѐтки, в двоичную СС .
2. Перевести 3-ю и 4-ю цифры зачѐтки справа в двоичную СС (число В).
3. С двоичными числами А и В выполнить поразрядно пять логических операций (дизъ-
юнкция, конъюнкция, неравнозначность, инверсия чисел А и В).
4. Результаты расчѐтов представить в двоичной СС.
19
. . . . .
13 01101
+ 7 + 00111
20 10100
10 2
. . . . . .
55,25 0110111.01
+ 19,5 + 0010011.10
74,75 1001010.11
10 2
Умножение двоичных многоразрядных чисел производится пу-
тѐм образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1.
7,5
x 5
37,5
10
111.1
x 101
1111
+ 0000
1111 .
100101.1
2
множимое
x множитель
1-е част. произв.
+ 2-е част. произв.
3-е част. произв. .
п р о и з в е д е н и е
Практическая работа № 3
«Арифметические основы работы ЭВМ»
1. Цель работы
Изучить арифметические операции.
2. Связь с другими темами практических работ
Данная практическая работа является фундаментом для практических работ, связанных
с криптографией и стеганографией. Знание арифметических основ необходимо для понимания принципа работы ЭВМ.
3. Теоретические сведения и расчѐтные формулы
Правила арифметики во всех позиционных СС аналогичны.
Пример 1. Выполнить операцию арифметического сложения в двоичной системе счис-
ления.
Решение.
Точками показаны переносы.
В устройствах, реализующих операцию арифметического
сложения двоичных чисел, операнды представляют числами определѐнной разрядности (одинаковой для обоих операндов). При этом
неиспользуемые старшие разряды заполняются нулями.
Следует заметить, что в реальных ЭВМ чаще всего ис-
пользуются 32-, 64-разрядные сетки. Однако для учебных
целей при рассмотрении правил выполнения арифметических операций будем использовать малую разрядность.
Пример 2. Выполнить операцию арифметического
сложения двух вещественных чисел в двоичной системе
счисления.
Решение.
Результаты сложения двух чисел показаны на рисунке слева. При сложении веществен-
ных чисел в общем случае перенос осуществляется и из дробной части числа в целую часть.
Рассмотрим правило умножения многоразрядных двоичных чисел.
Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел внутри ЭВМ
сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от
дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.
Пример 3. Перемножить в двоичной СС числа 7,5D и 5D.
Решение.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]