Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач вычислительной математики с использованием языка программирования пакета MathCad. Учебное пособие
.pdf
51
Пример 4.4. Методом градиента, ограничиваясь тремя итерациями,
2
2
5 0,
2 7 0.
yx y x
x yx
(0)
2
1
x
(0)
()fx
(0)
2
()
1
fx
2
2 1 1
4
xx
W
x y x
0
35
92
W
T (0)
0
3 9 2 15
()
5 2 1 8
W f x
T (0)
00
3 5 15 85
()
9 2 8 119
W W f x
(0) T (0)
00
0
T (0) T (0)
0 0 0 0
( , )
0.0135
( , )
f W W f
W W f W W f
найти приближенно положительный корень системы нелинейных
уравнений:
(4.16)
Решение. Зададим начальное приближение:
. Найдем
. После подстановки начального приближения в систему нели-
нейных уравнений (4.16) получим
. Далее воспользуемся
формулой (4.13) для выполнения первых трех итераций. Матрица
Якоби выглядит следующим образом:
. (4.17)
После подстановки начального приближения в выражение (4.17)
получим:
. Далее, используя транспонированную матрицу
Якоби на нулевом шаге, найдем
.
Для дальнейших преобразований вычислим следующее выражение:
.
Исходя из формулы (4.15) при нулевом приближении получим
.
52
Далее по формуле (4.13) найдем первое приближение:
(1) (0) (0)
00
2 15 2.203
0.0135
1 8 0.892
T
x x W f
(2)
1.83
0.86
x
(3)
1.637
0.899
x
22
sin 1.5 0.1,
1.
x y x
xy
0.59
0
0.72
x
0.8
0
0.78
y
.
Проведя аналогичные действия, определим
. Другие корни находят по такой же схеме.
Пример 4.5. Решить систему нелинейных уравнений:
Решение. Для того чтобы решить систему нелинейных уравнений,
проведем преобразования исходных функций, входящих в систему нелинейных уравнений (рис. 4.7), а затем построим графики полученных
функций (рис. 4.8).
,
Рис. 4.7. Преобразования исходных функций
Начальные приближения
программном модуле, представленном на рис. 4.9. Результаты решения
системы нелинейных уравнений методом градиента представим на
рис. 4.10.
и
используем в
53
Рис. 4.8. Графики функций
( ) arcsin(0.1 1.5 )yg x x x
2
1( ) 1yh x x
2
2( ) 1yh x x
yg(x)
yh1(x)
yh2(x
,
и
Рис. 4.9. Программный модуль для вычисления
минимума функции
54
Рис. 4.10. Решение системы нелинейных
уравнений методом градиента
Контрольные вопросы
1. В чем заключается основная идея метода Ньютона при решении
системы нелинейных уравнений?
2. Каким образом можно определить начальное приближение для
решения системы нелинейных уравнений: а) методом Ньютона; б) методом градиента?
3. Когда можно закончить итерационный процесс при решении
системы нелинейных уравнений: а) методом Ньютона; б) методом градиента?
4. Как строится итерационная последовательность для нахождения
решения системы нелинейных уравнений: а) методом Ньютона; б) методом градиента?
5. В чем отличие итерационного процесса метода Ньютона от ите-
рационного процесса методом градиента?
6. Как определяется матрица Якоби?
55
00
( ; )xy
11
( ; )xy
11
( ; )
nn
xy
()y f x
x
n
x
()y f x
00
()y f x
11
()y f x
11
()
nn
y f x
0 1 1
, ,...,
n
y y y
0 1 1
, , ,
n
x x x
K
00
( ; )xy
11
( ; )xy
11
( ; )
nn
xy
( ) ( )
n
P x P x
i
x
0,1, 2,...,in
()
ii
P x y
0
()
n
P x a
2
12
n
n
a x a x a x K
i
x
0,1, 2,...,in
01
, , ,
n
a a aK
5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
5.1. Интерполяционная формула Лагранжа
Если пары значений
заданному уравнению
,
, … ,
удовлетворяют
, то задача интерполирования заключа-
ется в том, чтобы найти приближенное значение y для произвольного
, при этом значение x не выходит за пределы ряда данных значений
. Основное применение интерполяции – вычисление значений
функции для промежуточных (не узловых) значений аргумента. Для
реализации интерполяции надо построить функцию
, которая
должна удовлетворять следующим условиям:
,
, …,
,
т. е. интерполяционная функция должна принимать заданные значения
для узловых значений аргумента
. Можно
построить множество непрерывных функций, графики которых будут
проходить через n заданных точек
,
, … ,
поэтому существуют разные типы интерполяции: полиномиальная,
тригонометрическая, экспоненциальная и т. д.
Обычно задача интерполирования формулируется следующим об-
разом: построить многочлен
которого в точках
(
ной функции, т. е.
. При этом многочлен
степени не выше n, значения
) совпадают со значениями задан-
называется интерполяционным, а точки
(
ентов
) – узлами интерполяции. Для определения коэффици-
решают систему уравнений вида
,
56
2
0 1 2
()
n
i i n i i
a a x a x a x f x K
, (5.1)
0,1, 2,...,in
()
n
Px
1n
1n
2
2
( ) ( )P x P x ax bx c
()fx
11
( ) ( )P x f x
22
( ) ( )P x f x
33
( ) ( )P x f x
()Px
2 3 1 3
( ) ( )( ) ( )( )P x A x x x x B x x x x
12
( )( )C x x x x
,,A B C
,,A B C
1 2 3
,,x x x x
1 1 2 1 3
( ) ( )( )f x A x x x x
2 2 1 2 3
( ) ( )( )f x B x x x x
3 3 1 3 2
( ) ( )( )f x C x x x x
,,A B C
23
21
1 2 1 3
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
x x x x
f x P x f x
x x x x
13
12
23
2 1 2 3 3 1 3 2
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
x x x x
x x x x
f x f x
x x x x x x x x
где
. Решение системы (5.1) можно найти разными спо-
собами. Наиболее часто используются запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
Так как многочлен
содержит
параметров, которыми яв-
ляются коэффициенты, то при его нахождении можно поставить
условий. Рассмотрим для простоты многочлен второй степени
. (5.2)
Сформулируем три условия. Обычно требуется, чтобы этот много-
член совпадал с функцией
в некоторых трех заданных точках:
,
,
. (5.3)
Эти значения считаются известными. Лагранж предложил искать
многочлен
в виде
, (5.4)
где
зуемся условиями (5.3). Заметим, что при подстановке
– постоянные. Для выбора постоянных
восполь-
в
правой части формулы (5.4) остается лишь одно слагаемое. Получим
,
,
Найдя отсюда
и подставляя их в (5.4), получаем интерпо-
ляционную формулу Лагранжа
В общем случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится
.
. (5.5)
57
аналогично:
12
0
0 1 0 2 0
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
n
n
x x x x x x
f x f x
x x x x x x
K
K
02
1
1 0 1 2 1
( )( ) ( )
()
( )( ) ( )
n
n
x x x x x x
fx
x x x x x x
K
K
K
0 1 1 1
0 1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )
()
( )( ) ( )( ) ( )
k k n
k
k k k k k k k n
x x x x x x x x x x
fx
x x x x x x x x x x
KK
KK
0 1 1
0 1 1
( )( ) ( )
( ) ,
( )( ) ( )
n
n
n n n n
x x x x x x
fx
x x x x x x
K
K
K
0
()
( ) ( )
()
j
n
jk
nk
k
kj
jk
xx
L x f x
xx
0x
x
–2 1 2
y
25
–8
–15
2
( 1)( 2) ( 2)( 2)
( ) 25 ( 8)
( 2 1)( 2 2) (1 2)(1 2)
x x x x
Lx
( 2)( 1)
( 15)
(2 2)(2 1)
xx
2
2
( ) 10 1L x x x
0x
1y
(5.6)
или в более краткой записи
. (5.7)
Пример 5.1. Функция задана таблицей. Построить интерполяцион-
ный многочлен Лагранжа и найти значение y при
(табл. 5.1).
Т а б л и ц а 5.1
+
Решение. Использовав формулу (5.6) или (5.7), получим:
.
Проведя необходимые преобразования, найдем:
Отсюда при
получим
.
.
58
5.2. Интерполяционная формула Ньютона
()y f x
( ) ( )y f x h f x
()fx
1 ( ) ( )f x h f x
y
hh
1 2 1 2
()y y y y
( ) ( )C y C y
const
2
( ) ( ( ) ( ))y y f x h f x
( ( 2 ) ( )) ( ( ) ( ))f x h f x h f x h f x
2
0 1 0
y y y
()fx
00
()f x y
11
()f x y
22
()f x y
33
()f x y
10
x x h
20
2x x h
30
3x x h
()Px
( ) ( ) ( )( 2 )P x A Bq Cq q h Dq q h q h
0
q x x
Прежде чем перейти к интерполяционной формуле Ньютона, рас-
смотрим понятие конечной разности – одно из самых важных в прикладной математике. Пусть
ние
, тогда при заданном h выраже-
(5.8)
называется конечной разностью первого порядка функции
гом h. Выражение
– первая разделенная раз-
с ша-
ность. Из очевидных свойств разностей отметим, например, следующие:
где C –
,
. Возьмем вторую разность
,
или, иначе:
. Аналогично определим вторую разде-
ленную разность. По такой же схеме можно определить третью разность и третью разделенную разность. Вычисление этих разностей, как
правило, удобно, если функция задана табличным способом.
Если расстояние h между соседними значениями x, при которых
задается функция
, постоянно, то можно воспользоваться более
удобной формулой, чем интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пусть, например, известны значения:
где
,
,
,
,
,
. Тогда многочлен
,
, при-
нимающий те же значения при указанных значениях x, будет иметь
третью степень. Ньютон предложил искать его в виде
где
. Согласно условию имеем
, (5.9)
59
00
()y P x A
,
11
()y P x A Bh
2
22
( ) 2 2y P x A B h C h
23
33
( ) 3 3 2 3 2y P x A B h C h D h
0
y Bh
2
1
2y Bh C h
23
2
2 2 3 2y Bh C h D h
22
0
2y C h
2 2 2
1
2 3 2y C h D h
32
0
32y D h
0
Ay
0
y
B
h
2
0
2
2!
y
C
h
3
0
3
3!
y
D
h
2
0
00
( ) ( ) 1
2!
y
q q q
f x P x y y
h h h
3
0
12
3!
y
q q q
h h h
0
q x x
0
x
k
x
2
( ) ( ) 1
2!
k
kk
y
t t t
f x P x y y
h h h
3
12
3!
k
y
t t t
h h h
k
t x x
2
0
00
( ) ( ) ( 1)
2!
y
f x P x y s y s s
K
0
( ( 1) ( 1))
!
n
y
s s s n
n
K
,
.
Составляя разности для левых и правых частей, получаем
,
,
,
.
Вторично, а затем и в третий раз составляя разности, находим
Отсюда находим
,
,
,
,
,
.
. Подстав-
ляя эти значения в формулу (5.9), получаем формулу Ньютона
, (5.10)
где
табличное значение
. Заметив, что если вместо
, получим формулу Ньютона в виде
будем использовать любое
,
где
. Аналогичный вид имеет формула для интерполяционных
многочленов других степеней. Для общего случая получаем интерполяционную формулу Ньютона в следующем виде:
, (5.11)
60
где
0
xx
s
h
0 1 0
y y y
2
0 1 0
y y y
i
xx
0,1, 2,...,in
i
y
0,1, 2,...,in
1n
2n
()Px
1
0
( ) ( 1) ( )
( 1)!
n
n
y
R x s s s n
n
K
1
0
0
ny
x
0 1 3
3
y
1 4 15
40
1h
0 1 0
4 1 3y y y
1 2 1
15 4 11y y y
2 3 2
40 15 25y y y
2
0 1 0
11 3 8y y y
2
1 2 1
25 11 14y y y
3 2 2
0 1 0
14 8 6y y y
и
,
, … – последователь-
ные конечные разности функции y. При
(
) интер-
поляционный многочлен Ньютона принимает табличные значения
(
линейное интерполирование, при
). Как частные случаи формулы Ньютона получаем при
– квадратичное. Для
удобства применения формулы Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конечных разностей. Степень интерполяционного многочлена
выбирают, руководствуясь значениями разно-
стей. Например, если третьи разности очень малы, то последний член в
формуле (5.10) мал и его можно отбросить, т. е. ограничиться многочленом второй степени. Погрешность формулы (5.11) можно оценить с
помощью выражения
.
Число n следует выбирать так, чтобы разность
в преде-
лах заданной точности.
Пример 5.2. Функция задана таблицей. Построить интерполяцион-
ный многочлен Ньютона.
Т а б л и ц а 5.2
Решение. Вычислим шаг
первого порядка:
Затем определим конечные разности второго и третьего порядков:
. Далее найдем конечные разности
,
,
.
,
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]