Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач вычислительной математики с использованием языка программирования пакета MathCad. Учебное пособие
.pdf
41
Рис. 3.5. Программный модуль для вычисления
интеграла по формуле Симпсона
Рис. 3.6. Программный модуль для определения
погрешности вычислений
42
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу численного интегрирования.
2. Каким образом осуществляется построение квадратурных фор-
мул?
3. В каких случаях осуществляется численное интегрирование?
4. Каковы преимущества формулы парабол по сравнению с форму-
лой трапеций?
5. Предложите и обоснуйте пути повышения точности расчетов
при решении задачи численного интегрирования методом трапеций.
6. В каких случаях приближенные формулы трапеций и парабол
оказываются точными?
7. Как величина шага влияет на точность численного интегрирова-
ния?
8. Верны ли формулы трапеций и Симпсона для неравноотстоящих
узлов?
43
1 1 2
212
12
( , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) 0
n
n
nn
f x x x
f x x x
f x x x
K
K
KKKKK
K
( ) 0fx
1
2
n
x
x
x
x
K
1
2
n
f
f
f
f
K
4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1.Метод Ньютона
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с nнеизвестными
(4.1)
с действительными левыми частями. Систему (4.1) можно представить
в матричном виде
. (4.2)
Здесь приняты следующие обозначения:
Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений
системы линейных частей, которые являются главными при малых
приращениях аргументов. Для решения системы (4.2) будем использовать метод последовательных приближений. Предположим, что найдено k-е приближение одного из изолированных корней уравнения (4.2).
Тогда точный корень уравнения (4.2) можно записать в виде
– вектор аргументов,
– вектор-функция.
44
( ) ( )kk
xx
, (4.3)
( ) ( ) ( ) ( )
12
( , , , )
k k k k
n
K
()fx
()k
x
()k
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
k k k k k
f x f x f x
()fx
12
, , ,
n
f f fK
12
( , , , )
n
x x xK
1 1 1
12
2 2 2
12
12
( ) ( ) .
n
n
n n n
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f x W x
f f f
x x x
K
K
K K K K
K
( ) ( )
i
j
f
f x W x
x
, 1,2, ,i j n K
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
k k k
f x W x
()
()
k
Wx
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )
k k k
W x f x
где
ложим, что функция
выпуклой области, содержащей x и
– погрешность корня на n-м шаге. Предпо-
непрерывно дифференцируема в некоторой
. Тогда, подставив выражение
(4.3) в уравнение (4.2), разложим левую часть полученного уравнения
в ряд Тейлора по степеням малого вектора
, ограничиваясь при
этом линейными членами:
. (4.4)
Отметим, что под производной
Якоби системы функций
следует понимать матрицу
относительно переменных
, т. е.
(4.5)
Выражение (4.5) в краткой форме можно представить в виде
Подставляя выражение (4.6) в уравнение (4.4), получаем
Далее, предполагая, что матрица
, (
). (4.6)
. (4.7)
неособенная, записываем
. (4.8)
45
Наконец, подставляя выражение (4.8) в формулу (4.3), окончатель-
( 1) ( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )
k k k k
x x W x f x
0,1, , .km K
2
( 1) ( )kk
xx
2
22
0.3 ,
0.9 2 1.
tg xy x
xy
но получаем
,
(4.9)
В качестве нулевого приближения в вычислительной формуле
Ньютона (4.9) можно взять приближенное значение искомого корня.
Отметим, что в достаточно малой окрестности корня уравнения итерационный процесс сходится с квадратичной скоростью. Для окончания
итерационного процесса можно использовать условие
Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона схо-
дится очень быстро.
Пример 4.1. Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций
Решение. Для того чтобы решить систему нелинейных уравнений,
проведем преобразования исходных функций, входящих в систему нелинейных уравнений (рис. 4.1), а затем построим графики полученных
функций (рис. 4.2).
.
На рис. 4.3 представлены результаты решения системы нелинейных уравнений по методу простых итераций.
Рис. 4.1. Преобразования исходных функций
46
2
(arctg( ) 0.3)
1( )
x
gx
x
2
2( ) 0.5 0.45g x x
g1(x)
g2(x)
Рис. 4.2. Графики функций
и
Рис. 4.3. Решение системы нелинейных уравнений
методом простых итераций
47
Пример 4.2. Найти методом Ньютона положительный корень сис-
22
3
1 0,
0.
xy
xy
11
12
22
12
( ) ( ) ,
ff
xx
f x W x
ff
xx
AC
W
BD
1
1
DC
W
BA
AD BC
(0)
0.5
0.5
x
(0)
()fx
(0)
0.5
()
0.375
fx
2
22
31
xy
W
x
11
0.75 1
W
(0)
det ( ) 1.75Wx
темы нелинейных уравнений:
(4.10)
Решение. Для системы из двух уравнений якобиан в общем виде
выглядит следующим образом:
или его можно записать в виде:
. Если матрица W неосо-
бенная, тогда обратную матрицу вычислим по формуле
, (4.11)
где
дем
нелинейных уравнений (4.10) получим
. Зададим начальное приближение:
. Най-
. После подстановки начального приближения в систему
. Далее вос-
пользуемся формулой (4.9) для выполнения первых трех итераций.
Якобиан выглядит следующим образом:
. (4.12)
После подстановки начального приближения в выражение (4.12)
получим:
. Тогда
. Найдем об-
48
ратную матрицу по формуле (4.11). Получим
1 (0)
()Wx
11
1
0.75 1
(1)
0.5 1 1 0.5 1
1
0.5 0.75 1 0.375 0.5
1.75
x
(1)
1
0.5
x
(1)
0.25
()
0.5
fx
(1)
1
0.5
x
21
31
W
(1)
det ( ) 5Wx
1 (1)
()Wx
11
1
32
(2)
1 1 1 0.25 0.85
1
0.5 3 2 0.5 0.55
5
x
(3)
0.85 1 1.1 0.025 0.827
1
0.55 2.17 2 0.064 0.563
4.084
x
(3)
0.827
0.563
x
(3)
0.0009
()
0.0026
fx
2
22
tg ,
0.8 2 1.
xy x
xy
. По формуле (4.9) найдем
.
После подстановки
(4.10) получим
жения
в выражение (4.12) найдем
в систему нелинейных уравнений
. После подстановки первого прибли-
. Найдем обратную матрицу:
. По формуле (4.9) найдем следующее приближение:
.
Выполнив аналогичные действия, получим
.
Для
имеем
. Другие корни нахо-
дятся аналогичным образом.
Пример 4.3. Решить методом Ньютона систему нелинейных урав-
нений
. Тогда
49
Решение. Для того чтобы решить систему нелинейных уравнений,
2
arctg( )()x
yg xx
2
(1 0.8 )
1( )
2
x
yh x
2
(1 0.8 )
2( )
2
x
yh x
проведем преобразования исходных функций, входящих в систему нелинейных уравнений (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Преобразования исходных функций
Далее построим графики функций (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Графики функций
и
,
Определим начальные приближения 0x=0.612 и 0y= 0.608 . Ниже
представлены результаты решения системы нелинейных уравнений по
методу Ньютона (рис. 4.6).
50
Рис. 4.6. Решение системы нелинейных уравнений
( 1) ( ) T ( )k k k
kk
x x W f
()k
x
( 1)kx
1k
T
k
W
()()k
i
k
k
j
f
W
x
, 1,2, ,i j n K
( ) T ( )
T ( ) T ( )
( , )
( , )
kk
kk
k
kk
k k k k
f W W f
W W f W W f
методом Ньютона
4.2. Метод градиента
Для решения системы (4.1) используется формула
, (4.13)
где
и
– транспонированная матрица Якоби на k-м шаге;
– векторы неизвестных на k и
, (
шагах итераций;
); (4.14)
. (4.15)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]