Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач вычислительной математики с использованием языка программирования пакета MathCad. Учебное пособие
.pdf
31
2.5. Метод хорд (метод линейной аппроксимации)
()fx
,ab
( ) ( ) 0f a f b
( ) 0fa
( ) 0fb
()fx
( , ( ))a f a
( , ( ))b f b
()
( ) ( )
x a y f a
b a f a f b
0y
1
,xx
1
()
()
( ) ( )
fa
x a b a
f a f b
1
,ax
1
,xb
()fx
,ab
()fx
1
()
()
( ) ( )
n
n n n
n
fx
x x x a
f x f a
1
()
()
( ) ( )
n
n n n
n
fx
x x b x
f b f x
( ) ( ) 0f x f x
Пусть дано уравнение (2.1), где функция
прерывна на интервале
и выполняется соотношение
. Пусть для определенности
рически этот метод эквивалентен замене кривой
дящей через точки
и
. Уравнение хорды имеет вид
определена и не-
, а
. Геомет-
хордой, прохо-
. (2.11)
Учитывая, что
при
получаем первое приближение
корня:
. (2.12)
Для получения второго приближения формулу (2.12) применяем к
тому из отрезков
функции
имеют противоположные знаки. Так же строятся и сле-
дующие приближения. Если на отрезке
или
, на концах которого значения
вторая производная
сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум раз-
личным вариантам. В первом варианте в качестве неподвижной выбирается точка a, а точка b приближается к корню , т. е. получаем
Во втором варианте в качестве неподвижной выбирается точка b, а
точка a приближается к корню , т. е. имеем уже другую вычислительную формулу
Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в кото-
рой выполняется соотношение
. (2.13)
. (2.14)
. Для оценки абсолютной
32
погрешности приближенного корня
n
x
)(n
n
fx
x
min ( )fx
,ab
можно воспользоваться форму-
лой
, где
на интервале
.
Контрольные вопросы
1. Какие приближенные методы решения нелинейных уравнений
вы знаете?
2. Из каких этапов складывается приближенное нахождение корней
нелинейных уравнений?
3. Для чего необходим первый этап – отделение корней?
4. Что можно сказать о точности метода половинного деления, ме-
тода касательных, метода простых итераций?
5. По каким параметрам можно провести сравнение методов поло-
винного деления, Ньютона, простых итераций?
6. Всегда ли можно найти решение нелинейного уравнения мето-
дами половинного деления, Ньютона, простых итераций?
7. Опишите алгоритм метода касательных (Ньютона). Сформули-
руйте условие выбора начальной точки.
8. Сформулируйте условия окончания вычислений по методу про-
стых итераций.
9. Какие способы отделения корней вы знаете?
10. Опишите процедуру решения нелинейных уравнений с исполь-
зованием метода половинного деления.
33
()
b
a
f x dx
0
()
n
kk
k
C f x
k
C
,
k
x a b
0,1, ,kn K
0
( ) ( )
b
n
kk
k
a
f x dx C f x
k
x
0
( ) ( )
b
n
n k k
k
a
R f x dx C f x
k
C
k
x
,ab
i
x a i h
0,1, ,in K
( )/ ,h b a n
3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.1. Формула прямоугольников
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании некоторого ряда значений подынтегральной функции. Рассмотрим способы приближенного
вычисления определенных интегралов
, (3.1)
когда интеграл заменяется конечной суммой
, (3.2)
где
– числовые коэффициенты, а
Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а
ность определяется соотношением
В общем случае погрешность зависит от выбора коэффициентов
и от расположения узлов
мерную сетку с шагом h, то
мы интегралов по частичным отрезкам:
,
.
(3.3)
– узлами формулы. Погреш-
. (3.4)
. Если на отрезке
ввести равно-
, где
и тогда выражение (3.1) можно представить в виде сум-
,
34
1
1
( ) ( )
i
i
x
b
n
i
ax
f x dx f x dx
. (3.5)
1,ii
xx
0.5
0.5
ii
x x h
1
0.5
( ) ( )
i
i
x
i
x
f x dx f x h
0.5
1
( ) ( )
b
n
i
i
a
f x dx f x h
2
2
,
24
n
b a h
RM
2
max ( )M f x
,x a b
,ab
i
x
()
n
Lx
1, 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i
f x L x x x f x x x f x
h
В случае замены подынтегральной функции на частичном отрезке
полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в точке
, получаем формулу
. (3.6)
После подстановки формулы (3.6) в выражение (3.5) имеем формулу средних прямоугольников
, (3.7)
погрешность которой определяется выражением
(3.8)
где
,
.
3.2. Метод трапеций
Общий подход к решению задачи заключается в разбиении отрезка
[a,b] на множество отрезков меньших размеров и вычислении интегра-
ла как суммы приближенно вычисленных площадей полосок, полученных при таком разбиении.
Метод трапеций – приближенный, потому что при вычислении
площади трапеции кривую заменяем на прямую. Для каждой маленькой трапеции эта погрешность своя. Сумма погрешностей должна давать отклонение полученного значения от истинного.
Итак, предполагается, что отрезок
ми
, что необходимо при построении полинома Лагранжа
вой степени:
разбит на n частей точка-
пер-
.
35
Для равноотстоящих узлов
00
, ( )/ , ,
in
x x ih h b a n x a x b
()
b
a
f x dx
()
b
n
a
Lx
dx
0 1 2 1
1
( ) ( ( ) ... ),
2
b
nn
a
f x dx h f f f f f
i
f
2
2
,
12
n
b a h
RM
2
max ( )M f x
,x a b
()fx
ln(sin( )xxe
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
f x( )
x
( ) ln(sin( )
x
f x x e
f(х)
х
имеем
. (3.9)
Формула трапеций имеет следующий вид:
(3.10)
где
значения функции в узлах интерполяции.
Получаем следующую оценку погрешности метода интегрирования
по формуле трапеций:
(3.11)
где
,
.
Пример 3.1. Вычислить методом трапеций интеграл
на интервале [0,3], n=3.
Решение. Для того чтобы найти приближенное решение заданного
уравнения, сначала построим график заданной функции (рис. 3.1).
Рис. 3.1. График функции
36
Ниже приведен программный модуль, осуществляющий прибли-
Trap a b f n( ) x0a
h
b a
n
xix
i 1
h
J
i
h
2
f x
i 1
f x
i
i 1 nfor
J
1ni
J
i
J
Error a b f n( ) h
b a
n
KL 0
a 2k 1( )
h
2
g
k 2
f
d
d
2
KL KL gk
k 1 nfor
KL
KL
n
b a( ) h2
12
женное вычисление интеграла методом трапеций (рис.3.2).
Рис. 3.2. Программный модуль для вычисления корня
уравнения методом трапеций
Далее приведен программный модуль функции для определения
погрешности вычислений (рис.3.3).
Рис. 3.3. Программный модуль для определения
погрешности вычислений
37
3.3. Формула Симпсона
2, 1/2 1
2
2
( ) ( ) [( )( ) ( )
i i i i
f x L x x x x x f x
h
1 1/2 1 1/2
2( )( ) ( ) ( )( ) ( )]
i i i i i i
x x x x f x x x x x f x
1,ii
x x x
1ii
h x x
11
2, 1 1/2
( ) ( ) ( 4 )
6
ii
ii
xx
i i i i
xx
h
f x dx L x dx f f f
,ab
0 1 2 1
( ) ( 2( ... )
6
b
nn
a
h
f x dx f f f f f
1/2 3/ 2 1/2
4( ... ))
n
f f f
0.5
i
x a hi
0,1, 2, , 2in K
0 2 2 4 2 2
( ) ( 2( ... )
6
b
nn
a
h
f x dx f f f f f
1 3 2 1
4( ... ))
n
f f f
1
1/2 1
1 2 1
( ) ( )
36
i
i
xh
i i i
x
f x dx f f f
h
()fx
i
x
i
xh
В этом методе подынтегральная функция аппроксимируется интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
, (3.12)
где
,
.
Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона (формулу
парабол)
. (3.13)
Надо отметить, что во многих случаях формула Симпсона оказывается более точной. На отрезке
формула Симпсона имеет вид
. (3.14)
Если ввести обозначения
, где
формула Симпсона преобразуется к виду
. (3.15)
Если формулу (3.13) перепишем в виде
, то
то получим, что формула Симпсона основана на приближенной замене
среднего значения f функции
на промежутке от
, (3.16)
до
на
38
1/2 1
21
()
36
i i i
f f f f
. (3.17)
1/2 1
11
()
24
i i i
f f f f
y ax b
2
y ax bx c
32
y ax bx cx d
4
4
,
180
n
b a h
RM
(4)
4
max ( )M f x
,x a b
4
4
180
b a h
M
( )/n b a h
1
0
1
1
I dx
x
x
0
0.5
1
y
1
0.6667
0.5
Формула трапеций дала бы следующий результат (проверьте!):
. (3.18)
Замеим, что формула (3.18) точна для линейных функций (вида
), а формула (3.17) – и для квадратичных функций (вида
). На самом деле формула (3.17) является точной и для
кубических функций (вида
). Абсолютную по-
грешность можно определить исходя из формулы
(3.19)
где
,
. Для обеспечения заданной точности
при вычислении интеграла шаг h определяется из неравенства
и затем округляется в сторону уменьшения так, чтобы
было целым числом. Так как определение шага вычисле-
ний hи связанного с ним числа n несколько затруднительно, то на
практике шаг hопределяют грубой прикидкой, а затем, получив результат, удваивают число n, то есть шаг h делят пополам.
Пример 3.2. Найти по формуле трапеций и по формуле Симпсона
интеграл
.
Решение. Разобьем промежуток интегрирования на части и вычис-
лим интеграл. Найдем необходимые значения подынтегральной функции (табл. 3.1).
Т а б ли ца 3.1
39
Формула трапеций дает
1 1 0.5
( 0.6667) 0.7083
22
I
1
(1 4 0.6667 0.5) 0.6944
6
I
1
0
ln(1 ) ln2 0.6931Ix
1
2
0
ln(1 )1x
I dx
x
2
ln(1 )1x
dx
x
x
0
0.5
1
y
0
0.324
0.346
1 0.346
0.324 0.248
22
I
1
(0.324 4 0.346) 0.274
6
I
По формуле Симпсона получаем
.
.
Так как
, то формула Симпсона дала
ошибку примерно 0.2 %, а формула трапеций 2 %.
Пример 3.3. Найти по формуле трапеций и по формуле Симпсона
интеграл
. Заметим, что интеграл
не бе-
рется в элементарных функциях.
Решение. Разобьем промежуток на части и найдем значения по-
дынтегральной функции (табл. 3.2).
Т а б ли ца 3.2
По формуле трапеций получаем
.
Формула Симпсона дает
.
Точное значение этого интеграла 0.272, поэтому ошибка при вычислениях по методу трапеций составила около 10 %, а по формуле
Симпсона – менее 1 %.
Преимущество формулы Симпсона особенно сказывается при увеличении числа n интервалов разбиения. Покажите, что при этом
40
ошибка формулы трапеций убывает обратно пропорционально
2
n
4
n
5
1
ln
1
x
dx
x
( ) ln
1
x
fx
x
ошибка формулы Симпсона – обратно пропорционально
.
Пример 3.4. В пакете MathCad вычислить по формуле Симпсона
, а
интеграл
на интервале [1,5] при n=8.
Решение. Для того чтобы найти приближенное значение интеграла, сначала построим график подынтегральной функции (рис. 3.4).
Рис. 3.4. График функции
Ниже приведен программный модуль, осуществляющий приближенное вычисление интеграла по формуле Симпсона. Заметим,
что приведенные вычисления показывают, насколько быстро и просто численные методы позволяют находить интегралы. Если для интеграла нужна точная формула, то иногда быстрее и легче найти его
методами численного интегрирования (рис. 3.5).
Далее приведен программный модуль функции для определения
погрешности вычислений (рис. 3.6).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]