δ |
UZ |
(%)= γ |
U |
U Z max |
=1,5 50 |
=1,5% ; |
δ |
U R |
(%)= γ |
U |
U R max |
=1,5 50 |
= 2,5% . |
|
U Z |
U R |
|||||||||||||
|
|
50 |
|
|
|
30 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительную неопределенность измерения тока рассчитаем исходя из класса точности амперметра
δ |
|
(%)= γ |
|
Imax |
=1,0 |
1 |
= 2,0% . |
|
|
|
0,5 |
||||
|
I |
|
I IZ |
|
|||
Отсюда, относительная неопределенность измерения импеданса равна
δZ (%)= 
[δUZ (%)]2 + [δI (%)]2 = 
1,52 + 2,02 = 2,5% ,
относительная неопределенность измерения сопротивления равна
δR (%)= 
[δU R (%)]2 + [δI (%)]2 = 
2,52 + 22 =3,2% .
Согласно соотношению (10.6) относительная неопределенность числителя формулы (10.1) равна
δX = δ Z 2 −R2 (%)= 
(Z 2Z−2 R2 ) [δZ (%)]2 + (Z 2 R−2 R2 ) [δR (%)]2 =
|
100 |
2 |
|
2 |
602 |
2 |
|
= |
|
|
2,5 |
|
+ (1002 − 602 ) 3,2 |
|
= 4% |
(1002 − |
602 ) |
|
|
Относительная неопределенность измерения индуктивности согласно формуле
(10.3) равна
δL (%)= 
[δX (%)]2 + [δf (%)]2 = 
42 +12 = 4,2% ,
здесь учтено, что при округлении до 2 значащих цифр округление производится в большую сторону.
Неопределенность измерения индуктивности равна
L = δ100L (%)L =1004,2 0,127 = 0,005 Г
10.3. Результат |
измерения индуктивности. |
L = 0,127Г ± 0,005 |
Г ; L = 0,127Г ± 4,2% |
Задача 11. Измерение длины электромагнитной волны методом дифракции Фраунгофера.
Определить длину световой волны после красного светофильтра методом дифракции Фраунгофера. Рассчитать неопределенности измерения.
Длина волны определяется из соотношения
λ = |
d |
|
l |
, |
(11.1) |
|
m L |
||||||
|
|
|
||||
где период дифракционной решетки d =10мкм =10−5 м, порядок дифракционного максимума m = 2 , расстояние от решетки до экрана равно L = 0,7м, неоп-
ределенность этого расстояния L = 0,5см =5 10−3 м, расстояние от центра экрана до красного максимума второго порядка равно l =10см = 0,1м, неопределенность этого расстояния составляет l =1мм =10−3 м.
28
11.1.Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (11.1).
11.2.Вычисление длины волны и неопределенностей ее измерения.
11.2.1.Расчет длины волны после красного светофильтра.
λ = |
d |
|
l |
= |
10 |
−5 0,1 |
≈ 6,8 |
10 |
−7 |
м = 680нм |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m L |
2 0,74 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.2.2. Расчет неопределенностей.
Согласно задаче 4 (формула (4.7), относительная неопределенность длины волны равна
δλ (%)= δd l (%)= [δl (%)]2 + [δL (%)]2 , |
(11.2) |
|
|
|
|
|
m L |
|
|
здесь δl (%)= |
|
l 100 = |
10−3 |
100 =1% , δL (%)= |
L |
100 = |
|
|
|||||||
|
l |
0,1 |
|
L |
|
||
В результате относительная неопределенность равна |
|||||||
δλ (%)= [δl (%)]2 + [δL (%)]2 = 1 +1,42 =1,8% . |
|
|
|||||
Неопределенность измерения длины волны равна |
|
||||||
λ = δλ (%)λ = |
|
1,8 |
6,8 10−7 |
= 0,13 10−7 м =13нм. |
|
|
|
100 |
|
|
|||||
100 |
|
|
|
|
|
||
11.3. Результат измерения длины волны. |
|
|
|||||
λ = 680нм ±13нм; |
λ = 680нм ±1,8% . |
|
|
||||
10 |
−2 |
100 =1,4% . |
|
0,74 |
|||
|
|||
Задача 12. Измерение радиуса кривизны плоско – выпуклой линзы. Определить радиус R кривизны линзы в методе интерференционных колец Ньютона. Рассчитать неопределенности измерения.
Радиус кривизны линзы рассчитывается по соотношению
R = |
r 2 |
− r2 |
|
|
m |
n |
|
||
|
, |
(12.1) |
||
λ(m − n) |
||||
здесь rm , rn – радиусы колец Ньютона с номерами m = 6 и n = 2, соответственно; λ = 680нм = 6,8 10−7 м – длина световой волны экспериментальной установ-
ки. Радиус шестого кольца Ньютона |
r = 6 мм = 6 10−3 |
м, неопределенность его |
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
измерения m = |
6 = 0,1мм =10−4 м; |
радиус второго |
кольца Ньютона равен |
|||
r = 4мм = 4 10−3 |
м, неопределенность его измерения |
n |
= |
2 |
= 0,1мм =10−4 м. |
|
2 |
|
|
|
|
||
12.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (12.1).
12.2. Вычисление радиуса кривизны линзы и неопределенностей ее измере-
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
12.2.1. Расчет радиуса кривизны линзы. |
|||||||
|
rm2 − rn2 |
(6 |
10−3 )2 − (4 10−3 )2 |
|
20 10−6 |
||
R = |
|
= |
|
(6,8 10−7 )(6 − 2) |
= |
|
≈ 7,4 м |
λ(m − n) |
|
27,2 10−7 |
|||||
29
12.2.2. Расчет неопределенностей.
Неопределенность радиуса кривизны линзы рассчитаем по формуле (А14)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂R |
2 |
2 |
|
∂R 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
∂r |
|
m |
|
|
|
n . |
(12.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∂r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Дифференцируя соотношение (12.1) получаем |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= |
|
1 |
|
|
4r 2 |
2 |
+ 4r 2 |
2 = |
|
2 10−4 |
|
|
(6 |
10−3 )2 + (4 10−3 )2 = |
|
||||
|
|
λ(m − n) |
|
6,8 10−7 (6 − 2) |
|
||||||||||||||||
|
R |
|
|
m |
m |
n |
|
n |
|
|
|
||||||||||
= |
2 |
|
36 |
+16 |
|
10−4 |
|
10−3 |
= 0,6 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6,8 |
4 |
|
10−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Относительная неопределенность измерения равна |
|
|
|||||||||||||||||||
δR (%)= |
R 100 = |
|
0,6 |
100 =8,2% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12.3. Результат измерения радиуса кривизны линзы. |
|
|||||||||||||||||||
R = 7,4 м ± 0,6м; |
|
R = 7,4 м ±8,2% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 13. Измерение поляризации электромагнитных волн.
Определить степень поляризации электромагнитных волн при их отражении от диэлектрика. Рассчитать неопределенности измерения.
Степень поляризации электромагнитных волн рассчитывается по соотношению
χ = |
I1 |
− I2 |
, |
(13.1) |
|
I1 |
+ I2 |
||||
|
|
|
здесь I1 =90мА=9 10−2 А, I1 = 40мА= 4 10−2 А– показания миллиамперметра, класс точности которого γ = 2,0 , верхний предел измерения шкалы миллиамперметра Imax =100мА= 0,1А.
13.1.Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (13.1).
13.2.Вычисление степени поляризации и неопределенностей ее измерения.
13.2.1.Расчет степени поляризации.
χ = |
I1 |
− I2 |
= 90 |
− 40 = 0,38. Степень поляризации – величина безразмерная. |
|||||
I1 |
+ I2 |
||||||||
|
90 |
+ 40 |
|
|
|
|
|||
13.2.2. Расчет неопределенностей. |
|
|
|||||||
Для упрощения расчетов обозначим I1 − I2 = X , |
I1 + I2 =Y , тогда |
|
|||||||
|
|
|
|
χ = |
X |
. |
|
(13.2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
||
Относительная неопределенность частного определяется соотношением |
|
||||||||
|
|
|
|
δχ (%)= δX / Y (%)= [δX (%)]2 |
+ [δY (%)]2 . |
(13.3) |
|||
Относительные неопределенности δX (%) и δY найдем через неопределенность измерения тока, которая постоянна ( I1 = I 2 = I ) и равна
30
I =100γ Imax =1002,0 0,1 = 2 10−3 A.
Неопределенность числителя и знаменателя расчетной формулы (13.1) определяется как неопределенность разности и суммы.
|
|
|
|
|
|
|
|
I1−I 2 = I1+I 2 |
= |
2I1 + |
2I 2 . |
(13.4) |
|||
Отсюда |
X |
= Y = |
|
2I1 + 2I 2 = |
|
2I1 + |
|
2I 2 = 2 |
2I = 2 (2 10−3 )2 |
≈ 2,9 10−3 A |
|||||
Относительная неопределенность числителя и знаменателя равна |
|
||||||||||||||
δX (%)= |
X |
100 = |
|
X |
|
|
100 = |
|
2,9 10−3 |
100 =5,8% , |
|
||||
|
|
|
|
|
5 10−2 |
|
|||||||||
|
X |
|
|
|
I1 − I2 |
|
|
|
|
||||||
δY (%)= |
Y |
100 = |
|
|
X |
|
100 = |
2,9 10−3 |
|
100 = 2,3% . |
|
||||
|
I1 + I |
|
13 10−2 |
|
|||||||||||
|
Y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
При вычислениях ограничились двумя значащими цифрами и округлили результат в большую сторону.
Относительная неопределенность степени поляризации равна
δχ (%)= δX / Y (%)= 
[δX (%)]2 + [δY (%)]2 = 
5.82 + 2,32 = 6,3%
Неопределенность степени поляризации равна
χ = δ100χ(%)χ =1006,3 0,38 = 0,024.
13.3. Результат измерения степени поляризации электромагнитных волн.
χ = 0,380 ± 0,024 ; χ = 0,380 ± 6,3% .
Числовые значения измеренной величины и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов. Поэтому для поляризации приведено значение 0,380, а не 0,38.
2.4.ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ
Чтобы уменьшить случайную неопределенность используют многократные наблюдения при прямых измерениях физической величины в одних и тех же условиях. Такие измерения называют равноточными.
Далее единичное измерение будем именовать наблюдением.
При многократных наблюдениях результатом измерения называют не результат отдельного наблюдения (т.е. показание прибора), а уже обработанный результат всех наблюдений.
Результаты наблюдений и случайные погрешности – суть случайные величины и для их математического описания используется аппарат теории вероятности. Свойства случайной величины описываются функцией распределения. Случайные погрешности чаще всего описываются нормальной функцией распределения, поэтому дальнейшие результаты приводятся для этого случая.
Результат измерения физической величины при многократных наблюдениях.
31