Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Распределение случайных величин. Учебное пособие
.pdf
МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра информатики и математики
С. Н. Буренин, О. В. Гаврилова
Распределение
случайных величин
Учебное пособие
Издательство Московского гуманитарного университета
2014
УДК 519.22
ББК 22.17
Б91
Рецензенты:
Е. В. Никульчев, доктор технических наук, профессор,
проректор по научной работе НОУ ВПО «Московский
технологический институт «ВТУ»;
В. В. Филатов, кандидат технических наук, доцент,
заместитель заведующего кафедрой «Управление
и моделирование систем» Московского государственного
университета приборостроения и информатики.
Буренин, С. Н.
Распределение случайных величин : учеб. пособие /
С. Н. Буренин, О. В. Гаврилова. — М. : Издательство Московского
Б91
гуманитарного университета, 2014. — 58 с.
ISBN 978-5-906768-18-6
Учебное пособие представляет собой теоретический материал для
быстрого знакомства с разделом дисциплины «Теория вероятностей
и статистика», посвященным распределению случайных величин. Для
легкости восприятия применяется визуальный подход с использованием графических возможностей MS Excel 2010. В конце пособия
представлены упражнения для самостоятельной работы.
Целесообразно применение этого пособия для студентов факультета экономики и управления.
ISBN 978-5-906768-18-6
ББК 22.17
© Буренин С. Н., Гаврилова О. В., 2014
© Московский гуманитарный университет, 2014
Оглавление
Функция распределения случайной величины и ее свойства .....................4
Функция распределения дискретной случайной величины .........................5
Формы распределения. Коэффициенты асимметрии и эксцесса .................6
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной
случайной величины .......................................................................................10
Основные виды дискретных распределений ...............................................11
Бимодальное распределение ..................................................................11
Нормальное распределение ....................................................................12
Биномиальное распределение ................................................................13
Геометрическое распределение .............................................................14
Вырожденное распределение .................................................................14
Распределение Пуассона ........................................................................15
Распределение Бернулли .........................................................................15
Примеры решения задач. Подготовка к ФЕПО .........................................16
Построение графиков в среде Excel 2010 ...................................................21
Изменение макета элементов диаграммы .............................................23
Добавление названия диаграммы ..........................................................25
Добавление названий осей .....................................................................26
Отображение и скрытие легенды .........................................................27
Отображение и скрытие осей диаграммы или линий сетки .................28
Порядок подключения надстроек в Excel 2010 ........................................29
Упражнения .....................................................................................................32
Литература .......................................................................................................57
3
Функция распределения случайной величины
и ее свойства
Одним из основных понятий теории вероятностей яв-
ляется случайная величина. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно
и количественно. Количественная характеристика, которая
в результате случайного эксперимента может принять одно
из некоторого множества значений, — это случайная вели-
чина. Качественный результат случайного эксперимента —
случайное событие.
Каждая случайная величина полностью определяется сво-
ей функцией распределения. Если x — случайная величина,
то функция F(x) = F
пределения случайной величины x. Здесь P(x < x) — вероят-
н о с т ь т о г о , ч т о с л у ч а й н а я в е л и ч и н а x п р и н и м а е т з н а ч е н и е ,
меньшее x.
Функция распределения содержит всю информа-
цию о случайной величине, и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто
распределением.
Функция распределения любой случайной величины обла-
дает следующими свойствами:
(x) = P(x < x) называется функцией рас-
x
F(x) определена на всей числовой прямой R;
F(x) не убывает, т. е. если x
F(-
)=0, F(+ )=1, т. е. и ;
, то F(x1) F(x2);
1x2
F(x) непрерывна справа, т. е.
4 5
.
Функция распределения
дискретной случайной величины
Если x — дискретная случайная величина, прини-
мающая значения x
< p2 < … < pi < …, то таблица вида
p
1
x
1
p
1
называется распределением дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины с таким рас-
пределением имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения
ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших
при одном бросании игральной кости, распределение, функция
распределения и график функции распределения имеют вид:
1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
< x2 < … < xi < … с в е р о я т н о с т я м и
1
x
2
p
2
… x
… p
…
i
…
i
Формы распределения.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса
Любое реальное распределение можно изобразить схемати-
чески в виде кривой, воспроизводящей основные особенности
данного распределения. Под кривой распределения понимается
графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанных с изменением вариант.
Элементами распределения являются:
● варианта;
● частота.
В зависимости от вида кривых, изображающих рас-
пределение, выделяют несколько основных типов
распределения:
● одновершинные;
● многовершинные.
К одновершинным относятся те, в которых один, обычно
центральный, вариант имеет наибольшую частоту (плотность
распределения). Частоты же остальных вариантов убывают по
мере удаления от центрального.
Если частоты убывают слева и справа от центрально-
го значения одинаково, то такие распределения называются
симметричными.
Если частоты убывают слева и справа от центра распреде-
ления с разной скоростью, то такие распределения называют
асимметричными.
Многовершинные распределения — это распределения, в ко-
торых несколько центров, т. е. такие, у которых несколько максимумов частот. Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность
распределения свидетельствует о неоднородности изучаемого
явления. В этом случае необходимо произвести перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.
6 7
Выяснение общего характера распределения предполагает,
наряду с оценкой его однородности, вычисление показателей
асимметрии и эксцесса.
Кривые распределения бывают:
● симметричными;
● асимметричными.
В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения
вытянута, различают:
● правостороннюю асимметрию;
● левостороннюю асимметрию.
Для характеристики степени асимметрии двух или
нескольких рядов пользуются коэффициентом асимметрии.
Для одновершинных распределений:
Более точным является коэффициент асимметрии, рас-
считанный как отношение центрального момента третьего
3
порядка (μ
пени (_
) к среднеквадратическому отклонению в 3-й сте-
3
):
1. Для симметричного распределения:
Соответственно в симметричном распределении цен-
3
тральный момент третьего порядка равен нулю (μ
= 0 ) ,
т. е. алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака (вариант), расположенных слева и справа от
средней, равна нулю. График симметричного распределения симметричен относительно точки максимума.
Для несимметричных распределений центральные момен-
ты нечетного порядка отличны от нуля.
2. Асимметрия положительна (A
>0), если длинная
s
часть кривой распределения расположена с п р а в а о т м о -
ды (М
). В этом случае соотношение между средней, медианой
о
и модой нарушено:
8 9
3. Асимметрия отрицательна (As<0), если длинная часть
кривой распределения расположена слева от моды (М
As< 0.25 — слабая асимметрия;
A
= 0.25–0.5 — умеренная асимметрия;
s
A
> 0.5 — крайне асимметричное распределение.
s
).
о
Для оценки «крутизны» (островершинности)
р а с п р е д е л е н и я п о л ь з у ю т с я х а р а к т е р и с т и к о й —
эксцессом.
Коэффициент эксцесса
1. Для нормального распределения
2. Выше нормального (островершинное
распределение)
3. Ниже нормального (плосковершинное
распределение)
Функция распределения и плотность вероятности
непрерывной случайной величины
Если функция распределения Fx(x) н е п р е р ы в н а ,
то случайная величина x называется непрерывной случайной
величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление
10 11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]